Рассмотренный в предыдущем разделе случай больших зарядов ядра $Z$ не единственный, когда надо рассматривать диаграммы высших порядков. Существует область энергий, когда и при малых $Z$ теория возмущений неверна.

Действительно, мы уже рассматривали процессы рассеяния электрона на тяжелой частице:

Вторая диаграмма отвечает кулоновскому рассеянию и пропорциональна $Z e^{2} / q^{2}$ ( $q$ – переданный импульс), третья уже содержит интеграл
\[
\left(Z e^{2}\right)^{2} \int \frac{d^{3} q_{1}}{q_{1}^{2}} \frac{\hat{p}_{1}+\hat{q}_{1}+m}{m^{2}-\left(p_{1}+q_{1}\right)^{2}} \frac{1}{\left(q-q_{1}\right)^{2}} .
\]

Если электрон тоже нерелятивистский, т. е. $p_{10} \simeq m+\mathbf{p}_{1}^{2} / 2 m$, тогда
\[
m^{2}-\left(p_{1}+q_{1}\right)^{2}=m^{2}-(m+E)^{2}+\left(\mathbf{p}_{1}+\mathbf{q}_{1}\right)^{2}=2 m E+\left(\mathbf{p}_{1}+\mathbf{q}_{1}\right)^{2},
\]

где $E=\mathbf{p}_{1}^{2} / 2 m$, и если $q_{1} \sim p_{1}$, то $d^{3} q_{1} \sim p_{1}^{3}$ и интеграл по порядку величины есть
\[
\left(Z e^{2}\right)^{2} \frac{m}{p_{1}^{3}},
\]

а сумма двух диаграмм есть
\[
\frac{Z e^{2}}{p_{1}^{2}}\left(1+\frac{Z e^{2} m}{4 p_{1}}\right) .
\]

Второй член $\sim Z e^{2} / v$ может быть большим при достаточно малой скорости электрона $v=\left|\mathbf{p}_{1}\right| / m$, а следовательно, нужно суммировать все порядки по $Z e^{2}$, т. е. точно решать уравнение Дирака.

Мы уже просуммировали все поправки по $Z e^{2}$ и получили интегральное уравнение для электронной функции Грина в поле ядра (эквивалентное уравнению Дирака):
\[
=
\]

Вычислим теперь поправки $\left(Z e^{2}\right)^{n} e^{2}$ к движению электрона, для этого нам нужно рассмотреть процессы типа:

Посмотрим, как при этом изменится уравнение для функции Грина. Во-первых, из-за поляризации вакуума изменится потенциал, т. е.
\[
u(q) \longrightarrow u(q)\left[1+\Pi^{c}\left(q^{2}\right)\right] .
\]

Кроме того, в уравнении добавится еще один член, связанный с испусканием и поглощением фотона. В результате будем иметь

Рассмотрим поправку к собственной энергии электрона во внешнем поле. Если электрон нерелятивистский, т. е. энергия связи мала: $p_{0}-m \sim \mathbf{q}^{2} / 2 m \ll m$, то в промежуточном состоянии его можно считать свободным, когда испускаемые фотоны достаточно жесткие, так как при этом энергия электрона $p_{0}-k_{0}-m$ велика по сравнению с энергией связи. Поскольку
\[
\frac{\mathbf{q}^{2}}{2 m} \sim \frac{Z^{2} \alpha^{2} m}{2},
\]

то для атома водорода ( $Z=1$ ) электрон, действительно, нерелятивистский. Так что можем написать:

где в промежутках свободный электрон. (Вклад мягких фотонов обсудим позднее.) Таким образом, наша поправка свелась к уже вычисленным поправкам к собственной энергии свободного электрона и вершинной части.
Аналогично, в процессе

тоже можно считать электрон свободным, поскольку основной вклад в интеграл дают электроны с большой энергией. Оценим, какова величина этих поправок по сравнению с $u=Z e^{2} / q^{2}$.
1.
\[
\frac{\Pi^{c} u}{u}=\Pi^{c}=-\frac{\alpha}{15 \pi} \frac{q^{2}}{m^{2}} .
\]

В атоме $|\mathbf{p}| \sim m Z \alpha,|\mathbf{p}|^{2} \sim q^{2} \sim m^{2}(Z \alpha)^{2}$, так что
\[
\Pi^{c} \sim(Z \alpha)^{2} \alpha \text {. }
\]
2.
\[
\Lambda_{\mu}^{c}=\left[\frac{\alpha}{3 \pi} \frac{q^{2}}{m^{2}}\left(\ln \frac{m}{\lambda}-\frac{3}{8}\right)+\left(\hat{p}_{1}-m\right) C_{1}+\left(\hat{p}_{2}-m\right) C_{2}\right] \gamma_{\mu} .
\]

Первый член (4.119) отвечает электрону на массовой поверхности, т. е. $p_{1}^{2}=m^{2}, p_{2}^{2}=m^{2}$. Он был найден ранее в (4.98). Последние слагаемые учитывают то, что электрон находится в связанном состоянии, и представляют собой первые члены разложения $\Lambda_{\mu}$ по степеням $\left(\hat{p}_{1}-m\right)$ и $\left(\hat{p}_{2}-m\right)$. Эти величины порядка $p_{0}-m \sim q^{2} / 2 m \sim Z^{2} \alpha^{2} m / 2$.
3.
При $\hat{p} \sim m$ имеем
\[
\Sigma_{c}=c(\hat{p}-m)^{2} \sim q^{4} .
\]

Однако, поскольку в эту часть не входит множитель $u(q)$, нужно рассмотреть $\Sigma_{c} / u$, а эта величина
\[
\frac{\Sigma_{c}}{u} \sim q^{2},
\]
т. е. того же порядка, что поправки от последних членов $\Lambda_{\mu}$; более того, в силу тождества Уорда,
\[
\Gamma_{\mu}(p, p)=\frac{\partial G^{-1}}{\partial p_{\mu}},
\]

эти поправки сокращаются с поправкой от $\Sigma_{c}$.
Таким образом, остается вклад первого члена от $\Lambda_{\mu}^{c}$ и поправка от поляризации вакуума. В результате получаем эффективный потенциал вида
\[
\begin{array}{l}
u(q)\left[1+\frac{\alpha}{3 \pi} \frac{q^{2}}{m^{2}}\left(\ln \frac{m}{\lambda}-\frac{3}{8}-\frac{1}{5}\right)\right]= \\
=\frac{Z \alpha}{q^{2}}\left[1+\frac{\alpha}{3 \pi} \frac{q^{2}}{m^{2}}\left(\ln \frac{m}{\lambda}-\frac{3}{8}-\frac{1}{5}\right)\right] .
\end{array}
\]

Видим, что радиационная поправка не зависит от переданного импульса, поэтому в координатном пространстве ей будет соответствовать $\delta$-образный потенциал
\[
\tilde{u}(r)=\delta(r) \frac{4}{3} \frac{Z \alpha^{2}}{m^{2}}\left[\ln \frac{m}{\lambda}-\frac{3}{8}-\frac{1}{5}\right] .
\]

Таким образом, для функции Грина получим уравнение:
\[
\left[i \gamma_{\mu} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}-m+\gamma_{0}\left(\frac{Z e^{2}}{4 \pi r}+\tilde{u}(r)\right)\right] G_{e}=-i \delta(x),
\]

и, соответственно, для волновой функции:
\[
E \Psi=\left\{\alpha \mathbf{p}+m \gamma_{0}+\frac{Z \alpha}{r}+\delta(r) \frac{4}{3} \frac{Z \alpha^{2}}{m^{2}}\left[\ln \frac{m}{\lambda}-\frac{3}{8}-\frac{1}{5}\right]\right\} \Psi .
\]

Поправку за счет высших приближений можем вычислить по теории возмущений, пользуясь нерелятивистскими волновыми функциями водородоподобного атома. Тогда
\[
\Delta E_{n j l}=\frac{4}{3} \frac{Z \alpha^{2}}{m^{2}}\left[\ln \frac{m}{\lambda}-\frac{3}{8}-\frac{1}{5}\right]\left|\Psi_{n j l}(0)\right|^{2},
\]

где $n$ – главное квантовое число, $j$ – полный момент, $l$ – орбитальный момент электрона.

В нерелятивистском случае $\Psi_{n j l}(0)$ отлична от нуля только для $S$-состояний (т. е. при $l=0$ ). Для них имеем
\[
\left|\Psi_{n s}(0)\right|^{2}=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\alpha Z m}{n}\right)^{3},
\]
т. e.
\[
\Delta E_{n s}=\frac{4}{3} \frac{\alpha(Z \alpha)^{4} m}{n^{3} \pi}\left[\ln \frac{m}{\lambda}-\frac{3}{8}-\frac{1}{5}\right],
\]

или, выражая эту величину через энергию первой боровской орбиты $E_{B}=\alpha^{2} m / 2$, получим
\[
\Delta E_{n s}=\frac{8}{3 \pi} \frac{Z^{4} \alpha^{3}}{n^{3}}\left[\ln \frac{m}{\lambda}-\frac{3}{8}-\frac{1}{5}\right] E_{B} .
\]

Сдвиг $2 S_{1 / 2}$-уровня относительно $2 P_{1 / 2}$ обусловлен как раз этой поправкой (впервые этот сдвиг обнаружили Лэмб и Резерфорд в 1947 г.).

Выясним теперь вопрос, почему в выражение для лэмбовского сдвига (4.126) вошла величина $\lambda$ ? При рассмотрении рассеяния электронов у нас возникла расходимость, связанная с малой энергией фотона; чтобы от нее избавиться, мы и приписали фотону малую массу $\lambda$. Мы говорили, что при создании заряженной частицы возникает большое число мягких фотонов, и если их корректно учесть, то эта масса
исчезает из конечного результата. В последнем же случае мы имеем нейтральную систему – атом, т. е. никаких фотонов нет, поэтому в выражение для радиационного сдвига уровней не должна входить никакая масса. Почему же она возникла? Потому что мы заменили в диаграмме функцию Грина связанного электрона на свободную функцию Грина. Для мягких фотонов это явно несправедливо. При $k_{0} \gg Z \alpha m$ такое приближение работает, однако, когда $k_{0}$ меньше энергии связи, тогда существенно то, что электрон связан.

Однако при $k_{0} \ll m$ электрон нерелятивистский, и вклад от таких фотонов можно вычислить при помощи нерелятивистской квантовой механики. Поскольку в нашем случае $\alpha Z \ll 1$, то области $k_{0} \gg Z \alpha m$ и $k_{0} \ll m$ перекрываются; приравнивая интегралы по области перекрытия, вычисленные двумя способами, можно выразить величину $\lambda$ через параметры нерелятивистской теории. Из такого сравнения вытекает, что
\[
\ln \frac{m}{\lambda}=\ln \frac{m}{2 \varepsilon_{0}}+\frac{5}{6},
\]

где $\varepsilon_{0}$ – средний потенциал ионизации атома. Здесь является существенным то обстоятельство, что $Z \alpha \ll 1$. При $Z \alpha \sim 1$ области перекрытия вообще нет, поскольку электрон в этом случае всегда релятивистский, и поэтому расчеты возможны только численные.

Чтобы получить полное выражение для лэмбовского сдвига, следует еще добавить вклад аномального магнитного момента (4.98). Это приводит к дополнительному слагаемому $3 / 8$ в квадратных скобках в уравнении (4.126). Окончательно получаем
\[
\Delta E_{n s}=\frac{4}{3 \pi} \frac{\alpha(Z \alpha)^{4} m}{n^{3}}\left[\ln \frac{m}{2 \varepsilon_{0}}+\frac{19}{30}\right] .
\]