Пусть частица в некоторый момент времени $t_{1}$ описывалась волновой функцией
\[
\varphi\left(x_{1}\right)=\frac{e^{-i p x}}{\sqrt{2 E}},
\]

тогда в некоторый другой момент она будет описываться функцией
\[
\Psi\left(y_{1}\right)=\int G\left(y_{1}-x_{1}\right) i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial x_{10}} \varphi\left(x_{1}\right) d^{3} x_{1}
\]

где
\[
G\left(y_{1}-x_{1}\right)=\quad \overline{x_{1}} .
\]

Однако она может и развалиться, например, на две, т. е.
\[
=G\left(y_{2}, y_{3} ; x_{1}\right) \text {. }
\]

И волновая функция системы будет уже такой:
\[
\Psi\left(y_{2}, y_{3}\right)=\int G\left(y_{2}, y_{3} ; x_{1}\right) i \frac{\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}}{\partial x_{10}} \varphi\left(x_{1}\right) d^{3} x_{1}
\]

и отвечать двухчастичному состоянию.
Вероятность обнаружения ровно одной частицы во всем объеме, как мы уже говорили, есть
\[
\int \varphi^{*} i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial x_{0}} \varphi d^{3} x=P_{1} .
\]

Величина $P_{1}<1$, поскольку при наличии взаимодействия имеется некоторая вероятность найти 2 и более частиц: $P_{2}, P_{3}$ и т. д. Например,
\[
P_{2}=\int \varphi^{*}\left(x_{1}\right) \varphi^{*}\left(x_{2}\right) i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial x_{10}} i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial x_{20}} \varphi\left(x_{1}\right) \varphi\left(x_{2}\right) d^{3} x_{1} d^{3} x_{2}
\]

Согласно нашему условию ортогональности (1.72) амплитуда вероятности перехода частицы с импульсом $p_{1}$ в состояние с импульсом $p_{2}$ в определенный момент времени есть
\[
\int \varphi_{p_{2}}^{*}(y) i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial y_{0}} \Psi(y) d^{3} y=\int \varphi_{p_{2}}^{*}(y) i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial y_{0}} G(y-x) i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial x_{0}} \varphi_{p_{1}}(x) d^{3} x d^{3} y
\]

Амплитуда вероятности распада этой частицы на две с импульсами $\mathbf{p}_{2}$ и $\mathbf{p}_{3}$ :
\[
\begin{aligned}
\left\langle p_{2}, p_{3} \mid p_{1}\right\rangle & =\int \Psi_{p_{2} p_{3}} i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial y_{20}} i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial y_{30}} G\left(y_{3}, y_{2} ; x_{1}\right) \times \\
& \times i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial x_{0}} \varphi_{p_{1}}\left(x_{1}\right) d^{3} x_{1} d^{3} y_{2} d^{3} y_{3} .
\end{aligned}
\]

Здесь
\[
\Psi_{p_{2} p_{3}}=\frac{e^{-i p_{2} y_{2}-i p_{3} y_{3}}}{\sqrt{2 E_{2} \cdot 2 E_{3}}} .
\]

Таким образом, можно определить некоторую матрицу $U$, которая начальное одночастичное состояние в момент времени $t_{1}$ переводит во всевозможные состояния в момент времени $t_{2}$, т. е.
\[
\left(\begin{array}{c}
\Psi\left(y_{1}\right) \\
\Psi\left(y_{2}, y_{3}\right) \\
\Psi\left(y_{4}, y_{5}, y_{6}\right) \\
\cdot \\
\cdot
\end{array}\right)=U\left(\begin{array}{c}
\Psi_{p_{1}} \\
0 \\
0 \\
0 \\
\cdot
\end{array}\right)
\]

Если устремить $t_{1} \rightarrow-\infty, t_{2} \rightarrow+\infty$, то отличным от нуля останется только матричный элемент $U_{11}$, поскольку реальный развал частицы запрещен законами сохранения.

Если в начальный момент было 2 частицы, тогда аналогично (1.149) получаем
\[
\left(\begin{array}{c}
\Psi\left(y_{1}\right) \\
\Psi\left(y_{2}, y_{3}\right) \\
\Psi\left(y_{4}, y_{5}, y_{6}\right) \\
\cdot \\
\cdot
\end{array}\right)=U\left(\begin{array}{c}
0 \\
\Psi_{p_{1}, p_{2}} \\
0 \\
0 \\
0 \\
\cdot
\end{array}\right)
\]

Здесь уже при $t_{1} \rightarrow-\infty, t_{2} \rightarrow+\infty$, может быть много возможных процессов, поскольку две частицы могут рассеяться друг на друге, а могут родить и новые частицы. У нас есть единственное требование: полная вероятность всех процессов должна быть равна единице. Отсюда сразу следует, что оператор $U$ должен быть унитарным, т. е.
\[
U^{+}\left(t_{2}, t_{1}\right) U\left(t_{2}, t_{1}\right)=I .
\]

Если константа взаимодействия мала, $\gamma \ll 1$, то оператор $U$ мало отличается от единичного, т. е. его можно представить в виде
\[
U=I+i V
\]

где величина $V$ мала. Из (1.151) следует $-i V^{+}+i V=0$, т. е.
\[
V^{+}=V
\]

что означает, что добавки за счет взаимодействия должны быть мнимыми. (Мы и писали раньше $-i V$ для нерелятивистской квантовой механики. Для взаимодействия же с фотоном мы также выделяли в вершине множитель $i$, действительно, $\Gamma_{\mu}=-i \gamma\left(p_{1}+p_{2}\right)_{\mu}$. Из этого следует, кстати, что можно ожидать, что константа $\gamma$ окажется вещественной.)
Устремив теперь $t_{1} \rightarrow-\infty, t_{2} \rightarrow+\infty$, получим
\[
U(\infty,-\infty) \equiv S,
\]

где $S$ называется матрицей рассеяния или просто $S$-матрицей.
Амплитуды вероятностей различных процессов можно вычислять аналогично (1.147), (1.148). Например, для рассеяния (2 частицы $\rightarrow$ 2 частицы) имеем:
\[
\begin{array}{l}
S(\Psi, \varphi)=\int \Psi^{*}\left(y_{1}, y_{2}\right) i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial y_{20}} i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial y_{10}} G\left(y_{2}, y_{1} ; x_{2}, x_{1}\right) \times \\
\times i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial x_{10}} i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial x_{20}} \varphi\left(x_{1}, x_{2}\right) d^{3} x_{1} d^{3} x_{2} d^{3} y_{1} d^{3} y_{2}
\end{array}
\]

ит. д.
Мы для наглядности проделаем это вычисление чуть иначе. Нарисуем диаграмму: до взаимодействия сколько-то частиц и сколько-то частиц после взаимодействия, например:

Так можно изобразить любой процесс; кружочек обозначает всевозможные промежуточные состояния. Все отличие здесь от прежних диаграмм для функций Грина заключается в следующем: мы должны вычислять эти диаграммы в пределе
\[
\begin{array}{ll}
x_{i 0} \rightarrow-\infty, \quad \text { т. е. } \quad & x_{i 0}^{\prime}-x_{i 0}>0, \\
y_{i 0} \rightarrow+\infty, \quad \text { т. е. } & y_{i 0}-y_{i 0}^{\prime}>0 .
\end{array}
\]

В силу последних неравенств мы можем упростить функции Грина внешних линий, поскольку (1.154) однозначно задает правила обхода полюсов. Поэтому
\[
G\left(y_{1}-y_{1}^{\prime}\right)=\int \frac{d^{4} p_{1}}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i p_{1}\left(y_{1}-y_{1}^{\prime}\right)}}{m^{2}-p_{1}^{2}-i \varepsilon}=\int \frac{d^{3} p_{1}}{(2 \pi)^{3}} \frac{e^{-i p_{1}\left(y_{1}-y_{1}^{\prime}\right)}}{2 E_{1}} .
\]

Здесь $E_{1}=\sqrt{p_{1}^{2}+m^{2}}$, т. е. данная частица реальна. С другой стороны, в силу (1.117) выражение (1.155) можно переписать так:
\[
G\left(y_{1}-y_{1}^{\prime}\right)=\int \frac{d^{3} p_{1}}{(2 \pi)^{3}} \Psi_{p_{1}}^{*}\left(y_{1}^{\prime}\right) \Psi_{p_{1}}\left(y_{1}\right)
\]

Таким образом, произвольную функцию Грина $x_{i 0} \rightarrow-\infty, y_{i 0} \rightarrow+\infty$ можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
G\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n} ; x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)= \\
=\int \frac{d^{3} p_{1} d^{3} p_{2} \ldots d^{3} p_{n}}{(2 \pi)^{3 n}} \Psi_{p_{1}}\left(y_{1}\right) \ldots \Psi_{p_{n}}\left(y_{n}\right) \times \\
\times \int d^{4} y_{1}^{\prime} d^{4} y_{2}^{\prime} \ldots d^{4} y_{n}^{\prime} \Psi_{p_{1}}^{*}\left(y_{1}^{\prime}\right) \ldots \Psi_{p_{n}}^{*}\left(y_{n}^{\prime}\right) S\left(y_{1}^{\prime}, \ldots, y_{n}^{\prime} ; x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{m}^{\prime}\right) \times
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\times \int \frac{d^{3} k_{1} \ldots d^{3} k_{m}}{(2 \pi)^{3 m}} \Psi_{k_{1}}^{*}\left(x_{1}\right) \ldots \Psi_{k_{m}}^{*}\left(x_{m}\right) \times \\
\times \Psi_{k_{1}}\left(x_{1}^{\prime}\right) \ldots \Psi_{k_{m}}\left(x_{m}^{\prime}\right) d^{4} x_{1}^{\prime} \ldots d^{4} x_{m}^{\prime} .
\end{array}
\]

Это выражение можно переписать так:
\[
\begin{array}{l}
G\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n} ; x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)= \\
=\int \frac{d^{3} p_{1} \ldots d^{3} p_{n}}{(2 \pi)^{3 n}} \Psi_{p_{1}}\left(y_{1}\right) \ldots \Psi_{p_{n}}\left(y_{n}\right) S\left(p_{1}, \ldots, p_{n} ; k_{1}, \ldots, k_{m}\right) \times \\
\times \Psi_{k_{1}}^{*}\left(x_{1}\right) \ldots \Psi_{k_{m}}^{*}\left(x_{m}\right) \frac{d^{3} k_{1} \ldots d^{3} k_{m}}{(2 \pi)^{3 m}}
\end{array}
\]
т. е. функция Грина есть суперпозиция плоских волн. Если начальные и конечные импульсы частиц заданы, то амплитуда перехода между этими состояниями есть по определению $S\left(p_{1} \ldots p_{n} ; k_{1} \ldots k_{m}\right)$ :
\[
\begin{array}{l}
S\left(p_{1}, \ldots, p_{n} ; k_{1}, \ldots, k_{m}\right)= \\
=\int d^{4} y_{1}^{\prime} \ldots d^{4} y_{n}^{\prime} \Psi_{p_{1}}^{*}\left(y_{1}^{\prime}\right) \ldots \Psi_{p_{n}}^{*}\left(y_{n}^{\prime}\right) S\left(y_{1}^{\prime}, \ldots, y_{n}^{\prime} ; x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{m}^{\prime}\right) \times \\
\times \Psi_{k_{1}}\left(x_{1}^{\prime}\right) \ldots \Psi_{k_{m}}\left(x_{m}^{\prime}\right) d^{4} x_{1}^{\prime} \ldots d^{4} x_{m}^{\prime} .
\end{array}
\]

Таким образом, $S$-матрица может вычисляться с помощью тех же диаграмм, что и функция Грина, только внешним линиям следует сопоставлять не свободные функции Грина, а волновые функции соответствующих частиц.

Вычислим теперь матричные элементы $S$ для процессов рассеяния, которые мы рассматривали выше:
\[
S=S^{(0)}+S^{(1)}+\ldots,
\]

где

В этом случае все просто и мы получаем
\[
S^{(0)}=\delta\left(p_{1}-p_{1}^{\prime}\right) \delta\left(p_{2}-p_{2}^{\prime}\right)+\delta\left(p_{1}-p_{2}^{\prime}\right) \delta\left(p_{2}-p_{1}^{\prime}\right) .
\]

В следующем порядке по $\gamma$ появляются процессы с обменом фотоном:

Вычислим первую амплитуду по сформулированному нами правилу:
\[
S^{(1)}\left(y_{1}^{\prime}, y_{2}^{\prime} ; x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right)=\delta\left(y_{1}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right) \delta\left(y_{2}^{\prime}-x_{2}^{\prime}\right) D\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right) \Gamma_{\mu}\left(x_{1}^{\prime}\right) \Gamma_{\mu}\left(x_{2}^{\prime}\right) .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
S^{(1)}\left(p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime} ; p_{1}, p_{2}\right)=\int d^{4} x_{1}^{\prime} d^{4} x_{2}^{\prime} \frac{e^{i p_{1}^{\prime} x_{1}^{\prime}}}{\sqrt{2 E_{1}^{\prime}}} \gamma \frac{\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}}{\partial x_{1 \mu}^{\prime}} \frac{e^{-i p_{1} x_{1}^{\prime}}}{\sqrt{2 E_{1}}} \times \\
\times \frac{e^{i p_{2}^{\prime} x_{2}^{\prime}}}{\sqrt{2 E_{2}^{\prime}}} \gamma \frac{\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}}{\partial x_{2 \mu}^{\prime}} \frac{e^{-i p_{2} x_{2}^{\prime}}}{\sqrt{2 E_{2}}} D\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)= \\
=\gamma^{2} \int d^{4} x_{1}^{\prime} d^{4} x_{2}^{\prime} e^{i\left(p_{1}^{\prime}-p_{1}\right) x_{1}^{\prime}}\left[-i\left(p_{1}^{\prime}+p_{1}\right)_{\mu}\right] e^{i\left(p_{2}^{\prime}-p_{2}\right) x_{2}^{\prime}} \times \\
\times\left[-i\left(p_{2}^{\prime}+p_{2}\right)_{\mu}\right] \frac{1}{\sqrt{2 E_{1} \cdot 2 E_{2} \cdot 2 E_{1}^{\prime} \cdot 2 E_{2}^{\prime}}} \frac{e^{-i k\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)}}{k^{2}} \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i}= \\
=\gamma^{2} \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \frac{1}{k^{2}}\left[-i\left(p_{1}^{\prime}+p_{1}\right)_{\mu}\right]\left[-i\left(p_{2}^{\prime}+p_{2}\right)_{\mu}\right] \times \\
\times \frac{(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}^{\prime}-p_{1}+k\right)(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{2}^{\prime}-p_{2}-k\right)}{\sqrt{2 E_{1} \cdot 2 E_{2} \cdot 2 E_{1}^{\prime} \cdot 2 E_{2}^{\prime}}}= \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
=(2 \pi)^{4} i \delta\left(p_{1}^{\prime}-p_{1}+p_{2}^{\prime}-p_{2}\right)\left[\frac{\left(p_{1}+p_{1}^{\prime}\right)_{\mu}\left(p_{2}+p_{2}^{\prime}\right)_{\mu}}{\left(p_{2}^{\prime}-p_{2}\right)^{2}}\right] \times \\
\times \frac{\gamma^{2}}{\sqrt{2 E_{1} \cdot 2 E_{2} \cdot 2 E_{1}^{\prime} \cdot 2 E_{2}^{\prime}}} .
\end{array}
\]

Аналогичное выражение возникает и для второй диаграммы, т. е. окончательно имеем
\[
\begin{array}{c}
S^{(1)}=(2 \pi)^{4} i \delta\left(p_{1}+p_{2}-p_{1}^{\prime}-p_{2}^{\prime}\right)\left[\frac{\left(p_{1 \mu}+p_{1 \mu}^{\prime}\right)\left(p_{2 \mu}+p_{2 \mu}^{\prime}\right)}{\left(p_{2}-p_{2}^{\prime}\right)^{2}}+\right. \\
\left.+\frac{\left(p_{1 \mu}+p_{2 \mu}^{\prime}\right)\left(p_{2 \mu}+p_{1 \mu}^{\prime}\right)}{\left(p_{1}^{\prime}-p_{2}\right)^{2}}\right] \frac{\gamma^{2}}{\sqrt{2 E_{1}} \sqrt{2 E_{2}} \sqrt{2 E_{1}^{\prime}} \sqrt{2 E_{2}^{\prime}}} .
\end{array}
\]

Сравнивая (1.160) с выражением для функции Грина (1.142), видим, что все отличие в следующем: в (1.142) внешним линиям соответствуют функции Грина (свободные), в (1.160) – множитель $1 / \sqrt{2 E}$. Поэтому удобно в амплитудах $S$ выделять множители, соответствующие внешним линиям.
Запишем $S$ в виде
\[
\begin{array}{l}
S\left(p_{1}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime} ; p_{1}, p_{2}\right)=1+(2 \pi)^{4} i \delta\left(\sum p_{i}^{\prime}-p_{1}-p_{2}\right) \times \\
\times \frac{1}{\sqrt{2 E_{1}} \sqrt{2 E_{2}}} \prod_{i} \frac{1}{\sqrt{2 E_{i}^{\prime}}} T\left(p_{1}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime} ; p_{1}, p_{2}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $T$ – так называемая инвариантная амплитуда рассеяния. Ее смысл аналогичен рассмотренной нами нерелятивистской амплитуде (1.43). Мы для простоты ограничились в (1.161) переходом двух частиц с импульсами $p_{1}, p_{2}$ в $n$ с импульсами $p_{1}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime}$.
Вероятность такого перехода есть
\[
\begin{array}{l}
d W=\left[(2 \pi)^{4} \delta\left(\sum p_{i}^{\prime}-p_{1}-p_{2}\right)\right]^{2} \times \\
\quad \times|T|^{2} \frac{d^{3} p_{1}^{\prime} \ldots d^{3} p_{n}^{\prime}}{(2 \pi)^{3 n}} \frac{1}{2 E_{1} \cdot 2 E_{2}} \frac{1}{2 E_{1}^{\prime} \ldots 2 E_{n}^{\prime}} .
\end{array}
\]

Воспользуемся тем, что $|\delta(x)|^{2}=\delta(x) \delta(0)$. Последнюю следует понимать так:
\[
(2 \pi)^{4} \delta(0)=\left.\int d^{4} x e^{i p x}\right|_{p=0}=V T,
\]

где $V$ – объем пространства, а $T$ – время, в течение которого происходил процесс. Тогда для вероятности перехода в единице объема за единицу времени получим
\[
\begin{array}{l}
d w=\equiv \frac{d W}{V T}=(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}+p_{2}-\sum p_{i}^{\prime}\right) \frac{1}{2 E_{1} \cdot 2 E_{2}} \times \\
\times\left|T\left(p_{1}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime} ; p_{1}, p_{2}\right)\right|^{2} \frac{d^{3} p_{1}^{\prime} \ldots d^{3} p_{n}^{\prime}}{(2 \pi)^{3 n} 2 E_{1}^{\prime} \ldots 2 E_{n}^{\prime}} .
\end{array}
\]

Обычно мы интересуемся сечением $d \sigma$ данного процесса:
\[
\begin{array}{l}
d \sigma=\frac{d w}{j}=\frac{1}{4 E_{1} E_{2} j}(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}+p_{2}-\sum p_{i}^{\prime}\right) \times \\
\quad \times\left|T\left(p_{1}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime} ; p_{1}, p_{2}\right)\right|^{2} \frac{d^{3} p_{1}^{\prime} \ldots d^{3} p_{n}^{\prime}}{(2 \pi)^{3 n}} \frac{1}{2 E_{1}^{\prime} \ldots 2 E_{n}^{\prime}},
\end{array}
\]

где $j$ – поток сталкивающихся частиц.
Величина
\[
\frac{d^{3} p_{1}^{\prime} \ldots d^{3} p_{n}^{\prime}}{(2 \pi)^{3 n}} \frac{1}{2 E_{1}^{\prime} \ldots 2 E_{n}^{\prime}}
\]

носит название инвариантного фазового объема. Мы с подобной величиной уже сталкивались при вычислении функций Грина. Ее релятивистская инвариантность непосредственно следует из сравнения соотношений типа (1.105), (1.106). ${ }^{1}$

Определим теперь поток для двух частиц, движущихся навстречу друг другу. Используя выражение для тока одной частицы (правая часть (1.115)), получим
\[
j=\frac{p_{1}}{E_{1}}-\frac{p_{2}}{E_{2}}=\frac{p_{1} E_{2}-E_{1} p_{2}}{E_{1} E_{2}} .
\]

Здесь $p_{1}, p_{2}$ – проекции трехмерных импульсов на ось столкновения. Числитель (1.165) инвариантен относительно преобразований Лоренца вдоль оси движения, и эта величина называется инвариантным потоком $\mathcal{J}$, т. е.
\[
\mathcal{J}=4 E_{1} E_{2} j=4\left(E_{2} p_{1}-E_{1} p_{2}\right) .
\]
${ }^{1}$ Для вычисления полных сечений столкновения в случае тождественных частиц инвариантный фазовый объем следует делить на $n$ ! (если в конечном состоянии $n$ частиц), чтобы не учитывать тождественные конфигурации много раз.

В лабораторной системе
\[
\mathcal{J}=4 m p_{L}
\]
( $p_{L}$ – импульс налетающей частицы, $m$ – масса покоящейся частицы). В системе центра масс
\[
\mathcal{J}=4 p_{c} E_{c} .
\]

Таким образом, сечение (1.164) полностью выражается через релятивистски инвариантные величины. Как мы уже отмечали, это есть сечение для такого процесса:
Рассмотрим теперь подробнее случай рассеяния $2 \rightarrow 2$ :

Для описания таких процессов удобно ввести инвариантные переменные $s, t, u$ :
\[
\begin{aligned}
s & =\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}=\left(p_{1}^{\prime}+p_{2}^{\prime}\right)^{2}, \\
t & =\left(p_{1}^{\prime}-p_{1}\right)^{2}=\left(p_{2}-p_{2}^{\prime}\right)^{2}, \\
u & =\left(p_{1}-p_{2}^{\prime}\right)^{2}=\left(p_{2}-p_{1}^{\prime}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Глава 1. Частицы и их взаимодействие…
Для выяснения физического смысла этих переменных рассмотрим их значения в системе центра масс (с.ц.м.), тогда
\[
\begin{aligned}
s & =\left(p_{10}+p_{20}\right)^{2}=E_{c}^{2}, \\
t & =-\left(\mathbf{p}^{\prime}{ }_{1}-\mathbf{p}_{1}\right)^{2}=-\mathbf{q}_{c}^{2}, \\
u & =-\left(\mathbf{p}_{1}-\mathbf{p}_{2}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

То есть $s$ есть квадрат полной энергии в с.ц.м., $t$ – квадрат переданного импульса частице $1^{\prime}$ частицей $1, u$ – квадрат переданного импульса частице $2^{\prime}$ той же частицей 1. $s, t, u$ называют мандельштамовскими переменными. Они не являются независимыми, и можно показать, что (для случая, когда все частицы, участвующие в процессе, имеют одинаковую массу $m$ )
\[
s+t+u=4 m^{2} .
\]

Действительно,
\[
\begin{array}{l}
s+t+u= \\
=p_{1}^{2}+p_{2}+p_{1}^{\prime 2}+p_{2}^{\prime 2}+2 p_{1}^{2}+2 p_{1} p_{2}-2 p_{1} p_{1}^{\prime}-2 p_{1} p_{2}^{\prime}= \\
=4 m^{2}+2 p_{1}\left(p_{1}+p_{2}-p_{1}^{\prime}-p_{2}^{\prime}\right)=4 m^{2} .
\end{array}
\]
(Естественно, для частиц с различными массами было бы $s+t+u=$ $=\sum_{i} m_{i}^{2}$.)

Теперь при помощи (1.164) можно получить сечение. Переходим в с.ц.М.:
\[
\begin{array}{c}
E_{1}=E_{2} ;\left|\mathbf{p}_{1}\right|=\left|\mathbf{p}_{2}\right| \equiv p ; \\
j=\frac{p E}{E_{1} E_{2}}, \quad \text { где } \quad E=E_{1}+E_{2},
\end{array}
\]

и
\[
d \sigma=\frac{1}{4 p E}|T|^{2} \delta\left(p_{1}+p_{2}-p_{1}^{\prime}-p_{2}^{\prime}\right) \frac{d^{3} p_{1}^{\prime} d^{3} p_{2}^{\prime}}{4 E_{1}^{\prime} E_{2}^{\prime}(2 \pi)^{4}(2 \pi)^{2} 2 !} .
\]

Мы считаем здесь конечные частицы тождественными и поэтому делим фазовый объем на 2!, чтобы не учитывать одинаковые конфигурации, возникающие в результате их перестановки. Интегрируя по $d^{3} p_{2}^{\prime}$, получим
\[
d \sigma=\frac{1}{4 p E}|T|^{2} \delta\left(E_{1}+E_{2}-E_{1}^{\prime}-E_{2}^{\prime}\right) \frac{d^{3} p_{1}^{\prime}}{4 E_{1}^{\prime} E_{2}^{\prime}(2 \pi)^{2} 2 !} .
\]

Перейдя к сферическим координатам, получим
\[
d^{3} p_{1}^{\prime}=p^{2} d p d \Omega
\]

т. e.
\[
d \sigma=\frac{1}{4 p E}|T|^{2} \delta\left(2 E_{1}-2 E_{2}^{\prime}\right) \frac{p^{2} d p d \Omega}{4 E_{1}^{2}(2 \pi)^{2} 2 !} .
\]

Учитывая $p d p=E_{1} d E_{1}$, имеем
\[
\begin{aligned}
d \sigma & =\frac{1}{4 p E}|T|^{2} \delta\left(2 E_{1}-2 E_{2}^{\prime}\right) \frac{E_{1} d E_{1} d \Omega}{4 E_{1}^{2}(2 \pi)^{2} 2 !}= \\
& =\frac{1}{4 E}|T|^{2} \delta\left(2 E_{1}-2 E_{1}^{\prime}\right) \frac{d E_{1} d \Omega}{4 E_{1}(2 \pi)^{2} 2 !} .
\end{aligned}
\]

Интегрируя по энергиям, окончательно получаем
\[
d \sigma=\frac{1}{16 E^{2}} \frac{d \Omega}{(2 \pi)^{2}}|T|^{2} \frac{1}{2} .
\]

Здесь мы учли, что $4 E_{1}=2 E, \delta\left(2 E_{1}-2 E_{1}^{\prime}\right)=1 / 2 \delta\left(E_{1}-E_{1}^{\prime}\right)$. Это выражение можно записать в мандельштамовских переменных:
\[
d \sigma=\left|\frac{T}{8 \pi \sqrt{s}}\right|^{2} \frac{d \Omega}{2} .
\]

Вернемся теперь к процессу кулоновского рассеяния $\pi^{-} \pi^{-}$, который в низшем порядке описывается диаграммой:

Сравнивая (1.161) и (1.160), сразу можно написать инвариантную амплитуду рассеяния:
\[
T\left(p_{2}^{\prime}, p_{1}^{\prime} ; p_{2}, p_{1}\right)=\gamma^{2}\left[\frac{\left(p_{1}+p_{1}^{\prime}\right)_{\mu}\left(p_{2}+p_{2}^{\prime}\right)_{\mu}}{\left(p_{1}^{\prime}-p_{1}\right)^{2}}+\frac{\left(p_{1}+p_{2}^{\prime}\right)_{\mu}\left(p_{2}+p_{1}^{\prime}\right)_{\mu}}{\left(p_{1}^{\prime}-p_{2}\right)^{2}}\right] .
\]

Перепишем (1.172) в инвариантных переменных. Для этого раскроем числители в квадратных скобках:
\[
\begin{array}{l}
\left(p_{1}+p_{1}^{\prime}\right)_{\mu}\left(p_{2}+p_{2}^{\prime}\right)_{\mu}=\left(2 p_{1}+k\right)_{\mu}\left(2 p_{2}-k\right)_{\mu}= \\
=\left(\text { из закона сохранения } k=p_{1}^{\prime}-p_{1}\right)=4 p_{1} p_{2}+2 k\left(p_{2}-p_{1}\right)-k^{2}= \\
=4 p_{1} p_{2}+2 p_{1}^{\prime} p_{2}-2 p_{1}^{\prime} p_{1}+2 p_{1}^{\prime} p_{1}-2 p_{1} p_{2}++2 p_{1}^{2}-p_{1}^{\prime 2}-p_{1}^{2}= \\
=2 p_{1} p_{2}+2 p_{1}^{\prime} p_{2}+p_{1}^{2}-p_{1}^{\prime 2}+p_{2}^{2}-p_{2}^{2}=s-u,
\end{array}
\]

аналогично для второго числителя получим $s-t$, тогда (1.172) запишется:
\[
T=\gamma^{2}\left[\frac{s-u}{t}+\frac{s-t}{u}\right] .
\]

В выражение (1.173) вошла единственная неизвестная константа $\gamma^{2}$, и ясно, что ее можно определить из эксперимента по рассеянию. Но на самом деле эксперимента делать и не надо, поскольку в области малых импульсов формула (1.173) должна переходить в известную нерелятивистскую формулу для кулоновского рассеяния.

Для перехода к нерелятивистскому пределу вычислим $s, t, u$ в системе центра масс, где
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{p}_{1}=-\mathbf{p}_{2} ; \mathbf{p}_{1}^{\prime}=-\mathbf{p}_{2}^{\prime}, \\
p_{10}=p_{20}=p_{10}^{\prime}=p_{20}^{\prime} .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
s=\left(p_{10}+p_{20}\right)^{2}-\left(\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}\right)^{2} & =\left(p_{10}+p_{20}\right)^{2}=E^{2}, \\
t=\left(p_{10}^{\prime}-p_{10}\right)^{2}-\left(\mathbf{p}_{1}-\mathbf{p}_{1}^{\prime}\right)^{2} & =-\left|\mathbf{p}_{1}\right|^{2}-\left|\mathbf{p}^{\prime}{ }_{1}\right|^{2}+2\left|\mathbf{p}_{1}\right|\left|\mathbf{p}^{\prime}{ }_{1}\right| \cos \theta= \\
& =-2 p^{2}(1-\cos \theta) .
\end{aligned}
\]
$u$ получается из $t$ заменой $p_{1}^{\prime}$ на $p_{2}^{\prime}$, т. е.
\[
u=-2 p^{2}(1+\cos \theta) ; p_{10}=\sqrt{p^{2}+m^{2}} ; \rightarrow s=4\left(p^{2}+m^{2}\right) .
\]

В нерелятивистском пределе $s=E^{2} \simeq 4 m^{2} ; t, u \ll s$. Тогда (1.173) принимает вид:
\[
T=-\gamma^{2} 4 m^{2}\left[\frac{1}{\mathbf{q}^{2}}+\frac{1}{\mathbf{q}^{\prime 2}}\right] .
\]

С другой стороны, в нерелятивистской квантовой механике для амплитуды рассеяния $f$ в борновском приближении имеем:
\[
f=-\frac{2 \mu}{4 \pi} \int e^{-i \mathbf{q r}} U(\mathbf{r}) d^{3} r+f_{\text {обмен }} .
\]

Здесь $\mu=m / 2$ – приведенная масса. В хэвисайдовых единицах кулоновский потенциал имеет вид:
\[
U(r)=\frac{e^{2}}{4 \pi r},
\]

тогда
\[
f=-\frac{m}{4 \pi} e^{2} \frac{1}{\mathbf{q}^{2}}+f_{\text {обмен }} .
\]

При рассеянии на малые углы $\theta \ll 1$ обменными членами в (1.174) и (1.175) можно пренебречь.

Теперь мы можем найти связь между нерелятивистской амплитудой $f$ и $T$. Сечение выражается через $f$ как
\[
d \sigma=|f|^{2} d \Omega .
\]

Сравнивая с (1.171), получим
\[
f=\frac{T}{8 \pi \sqrt{s}} \simeq \frac{T}{16 \pi m} .
\]

Подставляя в (1.177) значение $f$ (1.175) и $T$ (1.174), найдем наконец значение нашей константы $\gamma^{2}$ :
\[
-\frac{m}{2 \pi} e^{2} \frac{1}{q^{2}}=-\gamma^{2} \frac{4 m^{2}}{q^{2} 16 \pi m} .
\]

Отсюда следует, что
\[
\gamma^{2}=e^{2} .
\]

Таким образом, $\gamma$ совпадает с зарядом частицы.
Отметим, что в наших единицах $e^{2} / 4 \pi=1 / 137 \ll 1$. Таким образом, мы действительно с хорошей точностью можем ограничиться простейшими процессами.

Подставляя теперь в (1.173) $\gamma^{2}=e^{2}$, получаем $T$ при произвольных энергиях. В с.ц.м. (1.173) принимает вид:
\[
T=-e^{2}\left[\frac{3+\cos \theta+2 m^{2} / p^{2}}{1-\cos \theta}+\frac{3-\cos \theta+2 m^{2} / p^{2}}{1+\cos \theta}\right] .
\]

Результатом релятивизма здесь является появление зависимости амплитуды от величины импульса $p$ налетающих частиц.
Приводим график зависимости $T$ от $\cos \theta$ :
Суммируя, мы показали, что константа взаимодействия заряженных бесспиновых частиц с электромагнитным полем совпадает с зарядом этих частиц, т. е. $\gamma^{2}=e^{2}$, и получили формулу (1.179) для инвариантной амплитуды рассеяния $\pi^{+}$на $\pi^{+}$(или $\pi^{-}$на $\pi^{-}$) в первом порядке по $e^{2}$.
Рассмотрим теперь рассеяние $\pi^{-}$на $\pi^{+}$, т. е.

В координатном представлении простейшие диаграммы, описывающие рассеяние заряженных частиц, имеют вид:

Если устремить $x_{10}, x_{20} \rightarrow-\infty, x_{10}^{\prime}, x_{20}^{\prime} \rightarrow+\infty$ то, как мы говорили, получим амплитуду рассеяния $\pi^{-} \pi^{-}$.

А что, если вычислить амплитуду при условии $x_{10}, x_{20}^{\prime} \rightarrow-\infty$, $x_{20}, x_{10}^{\prime} \rightarrow+\infty$ ?
Тогда процесс $\underset{x_{1} \longrightarrow x_{2}^{\prime}}{\boldsymbol{x}^{\prime}}{ }^{\prime}$ перейдет в и мы, чтобы сохранить заряд, интерпретировали этот процесс так: из $x_{1}$ в $x^{\prime}$ распространяется частица, а из $x_{2}^{\prime}$ в $x^{\prime}$-античастица с противоположным зарядом, а также ввели стрелки, чтобы помнить, в какую сторону дифференцировать со знаком \”+\”, а в какую – со знаком \”-\”. Таким образом, диаграммы можно переписать так:
т. е. получим рассеяние $\pi^{-}$на $\pi^{+}$. Второй график здесь уже не такой, как при рассеянии тождественных частиц, и описывает аннигиляцию двух мезонов, а потом превращение фотона опять в два мезона, т. е. процесс через промежуточную частицу.

Вычислим амплитуду, соответствующую первому графику. Здесь можно поступать как раньше, т. е. вычислить функции Грина для $\pi^{-}$:
\[
\begin{aligned}
G\left(x_{1}^{\prime}-x\right) & =\int \frac{d^{4} p_{1}^{\prime}}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i p_{1}^{\prime}\left(x_{1}^{\prime}-x\right)}}{m^{2}-p_{1}^{\prime 2}}= \\
& =\int \frac{d^{3} p_{1}^{\prime}}{(2 \pi)^{3}} \Psi_{p_{1}^{\prime}}\left(x_{1}^{\prime}\right) \Psi_{p_{1}^{\prime}}^{*}(x),
\end{aligned}
\]

для $\pi^{+}$аналогично:
\[
G\left(x_{2}-x^{\prime}\right)=\int \frac{d^{3} p_{+}^{\prime}}{(2 \pi)^{3}} \Psi_{p_{+}^{\prime}}\left(x_{2}\right) \Psi_{p_{+}^{\prime}}^{*}\left(x^{\prime}\right),
\]

где
\[
\Psi_{p}=\frac{e^{-i p x}}{\sqrt{2 p_{0}}}
\]

и т.Д., но неудобно то, что необходимо помнить, в какую сторону оператор дифференцирования должен действовать со знаком \”+\”, а в какую – со знаком “-\”. Гораздо удобнее написать сразу амплитуду для рассеяния $\pi^{-}$на $\pi^{-}$, т. е. для \”неразвернутых\” стрелок, а в соответствующих функциях Грина замкнуть контур наоборот, в силу условия $x_{10}, x_{20}^{\prime} \rightarrow-\infty, x_{20}, x_{10}^{\prime} \rightarrow+\infty$. Тогда, как и прежде, будет входить функция Грина
\[
G\left(x^{\prime}-x_{2}\right)=\int \frac{d^{4} p_{2}^{\prime}}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i p_{2}^{\prime}\left(x^{\prime}-x_{2}\right)}}{m^{2}-p_{2}^{\prime 2}} .
\]

Но контур здесь, в отличие от прежнего случая, надо замкнуть наверх, т. е. на полюс $p_{20}^{\prime}=-\sqrt{\mathrm{p}^{2}+m^{2}}$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
G\left(x^{\prime}-x_{2}\right)= \\
=\int \frac{d^{3} p_{2}^{\prime}}{(2 \pi)^{3} 2\left|p_{20}^{\prime}\right|} e^{i \sqrt{\mathbf{p}_{2}^{2}+m^{2}}\left(x_{0}^{\prime}-x_{20}\right)+i \mathbf{p}_{2}\left(\mathbf{x}^{\prime}-\mathbf{x}_{2}\right)}= \\
=\int \frac{d^{3} p_{2}^{\prime}}{(2 \pi)^{3}} \Psi_{-p_{2}^{\prime}}\left(x_{2}\right) \Psi_{-p_{2}^{\prime}}^{*}\left(x^{\prime}\right),
\end{array}
\]

поскольку замена $+\mathbf{p}$ на $-\mathbf{p}$ в интеграле ничего не изменит. Здесь
\[
\Psi_{-p}=\frac{e^{i p x}}{\sqrt{2\left|p_{0}\right|}}, p_{0}=-\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}} .
\]

Сравнивая (1.181) и (1.183), видим, что распространение $\pi^{+}$-мезона можно описать как в терминах $\Psi_{p_{+}^{\prime}}$, где $p_{+}^{\prime}$ обычный импульс, соответствующий положительной энергии, так и в терминах $\Psi_{-p_{2}^{\prime}}$, т. е. волновой функции $\pi^{-}$-мезона с отрицательной энергией. С этим связана фейнмановская интерпретация античастицы как частицы с отрицательной энергией и распространяющейся обратно во времени.

Таким образом, заменой $p_{+}^{\prime}=-p_{2}^{\prime}$ мы получаем из функции распространения $\pi^{-}$-мезона из $x_{2}$ в $x^{\prime}$ функцию распространения $\pi^{+}$мезона из $x^{\prime}$ в $x_{2}$, т. е. путем соответствующих замен импульсов мы можем получить из амплитуды рассеяния $\pi^{-}$на $\pi^{-}$амплитуду $\pi^{+} \pi^{-}$. На диаграмме
$\pi^{+}$-мезону будут соответствовать импульсы
\[
p_{2}^{+}=-p_{2} ; \quad p_{2}^{+^{\prime}}=-p_{2}^{\prime},
\]

аналогично для второго графика.
И если для рассеяния $\pi^{-} \pi^{-}$мы имеем амплитуду
\[
e^{2}\left[\frac{\left(p_{1}+p_{1}^{\prime}\right)_{\mu}\left(p_{2}+p_{2}^{\prime}\right)_{\mu}}{\left(p_{1}-p_{1}^{\prime}\right)^{2}}+\frac{\left(p_{1}+p_{2}^{\prime}\right)_{\mu}\left(p_{2}+p_{1}^{\prime}\right)_{\mu}}{\left(p_{1}^{\prime}-p_{2}\right)^{2}}\right],
\]

то заменой (1.184) получим амплитуду рассеяния $\pi^{-} \pi^{+}$, т. е.
\[
\begin{array}{l}
T\left(p_{1}^{\prime}, p_{2}^{+^{\prime}} ; p_{1}, p_{2}^{+}\right)= \\
=e^{2}\left[-\frac{\left(p_{1}+p_{1}^{\prime}\right)_{\mu}\left(p_{2}^{+}+p_{2}^{+^{\prime}}\right)_{\mu}}{\left(p_{1}-p_{1}^{\prime}\right)^{2}}+\frac{\left(p_{1}-p_{2}^{+^{\prime}}\right)_{\mu}\left(p_{1}^{\prime}-p_{2}^{+}\right)_{\mu}}{\left(p_{1}^{\prime}+p_{2}^{+}\right)^{2}}\right] .
\end{array}
\]

Выразим (1.185) через инвариантные переменные $s, t, u$. Здесь
\[
\begin{array}{l}
s=\left(p_{2}^{+}+p_{1}\right)^{2} \\
t=\left(p_{1}^{\prime}-p_{1}\right)^{2} \\
u=\left(p_{2}^{+}{ }^{\prime}-p_{1}\right)^{2}
\end{array}
\]

Проводя вычисления, аналогичные выводу (1.173), получим
\[
T_{\pi^{+} \pi^{-}}=e^{2}\left[-\frac{s-u}{t}+\frac{u-t}{s}\right] .
\]

Вычисления можно было и не повторять, а просто посмотреть, во что перейдут $s, t, u$, определенные в (1.167) при учете (1.184), и подставить в (1.173). Действительно,
\[
s_{\pi^{-} \pi^{-}} \rightarrow u_{\pi^{-} \pi^{+}}, t_{\pi^{-} \pi^{-}} \rightarrow t_{\pi^{-} \pi^{+}}, u_{\pi^{-} \pi^{-}} \rightarrow s_{\pi^{+} \pi^{-}} .
\]

Проведя эту замену в (1.173), получим (1.186). Более подробное исследование амплитуд типа (1.186) проведем несколько позже для случая электронов. А сейчас обсудим связь между амплитудами в более общем плане.