Как всегда, рассмотрим простейшие графики, описывающие рассеяние фотона на электрона.
Рис. 13

Второй график можно нарисовать и так:

Амплитуду рассеяния имеет вид:
\[
T=e_{
u}^{\sigma_{2}} \bar{u}^{\lambda_{2}}\left(p_{2}\right) M_{
u \mu} u^{\lambda_{1}}\left(p_{1}\right) e_{\mu}^{\sigma_{1}},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
M_{\mu
u}=e^{2}\left[\gamma_{
u} \frac{1}{m-\hat{p}_{1}-\hat{k}_{1}} \gamma_{\mu}+\gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}_{1}+\hat{k}_{2}} \gamma_{
u}\right]= \\
=e^{2}\left[\frac{\gamma_{
u}\left(\hat{p}_{1}+\hat{k}_{1}+m\right) \gamma_{\mu}}{m^{2}-\left(p_{1}+k_{1}\right)^{2}}+\frac{\gamma_{\mu}\left(\hat{p}_{1}-\hat{k}_{2}+m\right) \gamma_{
u}}{m^{2}-\left(p_{1}-k_{2}\right)^{2}}\right] .
\end{array}
\]

Здесь $\left(p_{1}+k_{1}\right)^{2}=s,\left(p_{1}-k_{2}\right)^{2}=u$.
Покажем, что сохранение тока
\[
k_{1 \mu} M_{
u \mu}=0, \quad k_{2
u} M_{
u \mu}=0
\]

у нас выполняется автоматически. Действительно,
\[
k_{2
u} M_{
u \mu}=e^{2}\left[\hat{k}_{2} \frac{1}{m-\hat{p}_{2}-\hat{k}_{2}} \gamma_{\mu}+\gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}_{1}+\hat{k}_{2}} \hat{k}_{2}\right] .
\]

Поскольку $M_{
u \mu}$ у нас входит только в обкладках между спинорами, которые удовлетворяют уравнению Дирака, мы можем добавить в числителях слагаемые $\hat{p}_{2}-m$ и $\hat{p}_{1}-m$, т. е.
\[
\begin{array}{l}
k_{2
u} M_{
u \mu}= \\
=\left[\left(\hat{k}_{2}+\hat{p}_{2}-m\right) \frac{1}{m-\hat{p}_{2}-\hat{k}_{2}} \gamma_{\mu}+\gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}_{1}+\hat{k}_{2}}\left(\hat{k}_{2}+m-\hat{p}_{1}\right)\right] e^{2}= \\
=e^{2}\left(-\gamma_{\mu}+\gamma_{\mu}\right)=0 .
\end{array}
\]

Трудность при вычислении амплитуды возникает из-за большого числа спиновых переменных. Чтобы ее избежать, сразу напишем выражение для сечения
\[
d \sigma=\frac{1}{J}\left|T_{\lambda_{2} \lambda_{1}}^{\sigma_{2} \sigma_{1}}\right|^{2}(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}+k_{1}-p_{2}-k_{2}\right) \frac{d^{3} p_{2} d^{3} k_{2}}{(2 \pi)^{6} 2 k_{20} 2 p_{20}}
\]

и вычислим полное сечение рассеяния во все поляризации электронов и фотонов для случая, когда падающие пучки не поляризованы (именно такая ситуация часто реализуется на эксперименте). Для этого нужно просуммировать по всем конечным поляризациям электрона и фотона и усреднить по начальным, т. е. вычислить сумму $\sum$ :
\[
\begin{array}{l}
\sum \equiv \frac{1}{4} \sum_{\substack{\sigma_{2} \sigma_{1} \\
\lambda_{2} \lambda_{1}}}\left|T_{\lambda_{2} \lambda_{1}}^{\sigma_{2} \sigma_{1}}\right|^{2}=\frac{1}{4} \sum e_{\mu}^{\sigma_{1}} e_{
u}^{\sigma_{2}} e_{\mu^{\prime}}^{\sigma_{1}} e_{
u^{\prime}}^{\sigma_{2}} \times \\
\times\left(\bar{u}^{\lambda_{2}}\left(p_{2}\right) M_{
u \mu} u^{\lambda_{1}}\left(p_{1}\right)\right)\left(\bar{u}^{\lambda_{2}}\left(p_{2}\right) M_{
u^{\prime} \mu^{\prime}} u^{\lambda_{1}}\left(p_{1}\right)\right)^{+} .
\end{array}
\]

У нас суммирование идет по двум значениям $\sigma=1,2$. Однако если выполняются условия (2.95), то сумму по двум поляризациям можно заменить суммой по четырем (поскольку остальные две поляризации в силу (2.95) не дадут вклада в (2.97)). Тогда
\[
\sum_{\sigma_{1}=1,2} e_{\mu}^{\sigma_{1}} e_{\mu^{\prime}}^{\sigma_{1}}=-\sum_{\sigma_{1}=0}^{3} e_{\mu}^{\sigma_{1}} e_{\mu^{\prime}}^{\sigma_{1}}=-g_{\mu \mu^{\prime}},
\]

и (2.97) можно переписать так:
\[
\begin{array}{l}
\sum=\frac{1}{4} \sum_{\lambda_{1} \lambda_{2}}\left(\bar{u}^{\lambda_{2}} M_{\mu
u} u^{\lambda_{1}}\right)\left(\bar{u}^{\lambda_{2}} M_{\mu
u} u^{\lambda_{1}}\right)^{+}= \\
=\frac{1}{4} \sum_{\lambda_{1} \lambda_{2}}\left(\bar{u}^{\lambda_{2}} M_{\mu
u} u^{\lambda_{1}}\right)\left(u^{\lambda_{1}+} M_{\mu
u}^{+} \gamma_{0} u^{\lambda_{2}}\right)= \\
=\frac{1}{4} \sum_{\lambda_{1} \lambda_{2}}\left(\bar{u}^{\lambda_{2}} M_{\mu
u} u^{\lambda_{1}}\right)\left(\bar{u}^{\lambda_{1}} \gamma_{0} M_{\mu
u}^{+} \gamma_{0} u^{\lambda_{2}}\right)= \\
=\frac{1}{4} \sum_{\lambda_{1} \lambda_{2}}\left(\bar{u}^{\lambda_{2}} M_{\mu
u} u^{\lambda_{1}}\right)\left(\bar{u}^{\lambda_{1}} \bar{M}_{\mu
u} u^{\lambda_{2}}\right) .
\end{array}
\]

Мы здесь использовали тождество $\gamma_{0} \gamma_{0}=1$ и ввели
\[
\bar{M}_{\mu
u}=\gamma_{0} M_{\mu
u}^{+} \gamma_{0} .
\]

Из явного вида (2.94) для $M_{\mu
u}$ непосредственно следует, что
\[
\bar{M}_{\mu
u}=M_{
u \mu}
\]
(чтобы проверить это соотношение, необходимо использовать $\left.\left\{\gamma_{0}, \gamma_{i}\right\}=0, \gamma_{0}^{+}=\gamma_{0}, \gamma_{i}^{+}=-\gamma_{i}\right)$.

Теперь просуммируем по $\lambda_{1} \lambda_{2}$. Для этого распишем (2.98) в матричном виде, т. е.
\[
\begin{array}{l}
\sum=\frac{1}{4} \sum_{\lambda_{1} \lambda_{2}} \bar{u}_{\alpha}^{\lambda_{2}}\left(p_{2}\right)\left(M_{\mu
u}\right)_{\alpha \beta} u_{\beta}^{\lambda_{1}}\left(p_{1}\right) \bar{u}_{\gamma}^{\lambda_{1}}\left(p_{1}\right)\left(M_{
u \mu}\right)_{\gamma \delta} u_{\delta}^{\lambda_{2}}\left(p_{2}\right)= \\
=\frac{1}{4} \sum_{\alpha \beta \gamma \delta}\left(M_{\mu
u}\right)_{\alpha \beta}\left(\hat{p}_{1}+m\right)_{\beta \gamma}\left(M_{
u \mu}\right)_{\gamma \delta}\left(\hat{p_{2}}+m\right)_{\delta \alpha}= \\
=\frac{1}{4} \operatorname{Sp}\left[M_{\mu
u}\left(\hat{p}_{1}+m\right) M_{
u \mu}\left(\hat{p}_{2}+m\right)\right] .
\end{array}
\]

Мы здесь воспользовались соотношением $\sum_{\lambda} u_{\alpha}^{\lambda}(p) \bar{u}_{\beta}^{\lambda}(p)=(\hat{p}+m)_{\alpha \beta}$. В результате суммирование по поляризациям свелось к вычислению следа некоторой матрицы.
Удобно записать фазовые объемы в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{3} p_{2}}{2 p_{20}}=d^{4} p_{2} \delta_{+}\left(p_{2}^{2}-m^{2}\right), \\
\frac{d^{3} k_{2}}{2 k_{20}}=d^{4} k_{2} \delta_{+}\left(k_{2}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Тогда выражение для сечения, с использованием (2.101), принимает вид
\[
\begin{array}{l}
d \sigma=\frac{1}{4 J} \operatorname{Sp}\left[\left(\hat{p}_{1}+m\right) M_{\mu
u}\left(\hat{p}_{2}+m\right) M_{
u \mu}\right] \times \\
\times \delta_{+}\left(p_{2}^{2}-m^{2}\right) \delta_{+}\left(k_{2}^{2}\right)(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}+k_{1}-p_{2}-k_{2}\right) \frac{d^{4} k_{2} d^{4} p_{2}}{(2 \pi)^{6}} .
\end{array}
\]

Процедуру вычисления сечения в виде (2.102) можно, как и в случае скалярных частиц, изобразить графически. Рассмотрим первую диаграмму. Для вычисления сечения амплитуду надо умножить на эрмитово-сопряженную; это соответствует тому, что $k_{1}, p_{1}$ и $k_{2}, p_{2}$ поменяются местами, т. е.

А это мы перерисуем так:

Такая картинка удобна с чисто технической точки зрения. Она позволяет сечение вычислять по тем же правилам, что и амплитуды; отличие в том, что линиям, отмеченным крестиком, соответствуют, вместо знаменателей $1 / k_{2}^{2}$ и $1 /\left(m-\hat{p}_{2}\right)=\left(m+\hat{p}_{2}\right) /\left(m^{2}-p_{2}^{2}\right), \delta$-функции, т. е. частицы на массовой поверхности (мы их и отметили крестиком). Множитель $\left(\hat{p}_{2}+m\right)=\sum u\left(p_{2}\right) \bar{u}\left(p_{2}\right)$ возникает из суммирования по поляризациям конечного электрона (а множитель ( $\left.\hat{p}_{1}+m\right)=\sum u\left(p_{1}\right) \bar{u}\left(p_{1}\right)$ появляется из усреднения по поляризациям начального). Иначе говоря, диаграммы для сечения получаются из диаграмм для амплитуды фактически заменой $1 /\left(m^{2}-p^{2}\right) \rightarrow(2 \pi) \delta_{+}\left(p^{2}\right)$ для линий конечных частиц.
Аналогично, возводя в квадрат вторую диаграмму:

Кроме того, появятся интерференционные члены от смешанных произведений первой диаграммы на вторую и второй на первую, т. е.

Вклады этих диаграмм можно получить непосредственно, расписывая произведение $M_{\mu
u} M_{
u \mu}$ в (2.102).
Таким образом, сечение представится в виде суммы диаграмм:
Перейдем к вычислению следа. Для первой диаграммы напишем
\[
\begin{array}{l}
f(s, u)=\frac{1}{4} \operatorname{Sp}\left[\left(\hat{p}_{1}+\hat{k}_{1}+m\right) \gamma_{
u}\left(\hat{p}_{2}+m\right) \gamma_{
u} \times\right. \\
\left.\times\left(m+\hat{p}_{2}+\hat{k}_{2}\right) \gamma_{\mu}\left(\hat{p}_{1}+m\right) \gamma_{\mu}\right] \frac{1}{\left(m^{2}-s\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Мы подставили в (2.101) первое слагаемое $M_{\mu
u}$, соответствующее первой диаграмме, и, поскольку под знаком Sp можно менять местами множители, перенесли $\gamma_{\mu}$ из начала в конец.

Приведем несколько полезных формул, которые нам пригодятся при вычислениях:
\[
\frac{1}{4} \operatorname{Sp}\left(\gamma_{\mu} \gamma_{
u}\right)=g_{\mu
u},
\]
\[
\frac{1}{4} \operatorname{Sp}\left(\gamma_{\mu_{1}} \gamma_{\mu_{2}} \gamma_{\mu_{3}} \gamma_{\mu_{4}}\right)=g_{\mu_{1} \mu_{2}} g_{\mu_{3} \mu_{4}}+g_{\mu_{2} \mu_{3}} g_{\mu_{1} \mu_{4}}-g_{\mu_{1} \mu_{3}} g_{\mu_{2} \mu_{4}} .
\]

След произведения нечетного числа $\gamma$-матриц равен нулю.

Покажем, для примера, как получается (2.104). С одной стороны,
\[
\frac{1}{4} \operatorname{Sp}\left(\gamma_{\mu} \gamma_{
u}\right)=\frac{1}{4} \operatorname{Sp}\left(\gamma_{
u} \gamma_{\mu}\right)
\]

с другой стороны,
\[
\frac{1}{4} \operatorname{Sp}\left(\gamma_{\mu} \gamma_{
u}\right)=-\frac{1}{4} \operatorname{Sp}\left(\gamma_{
u} \gamma_{\mu}\right)+\frac{2}{4} \operatorname{Sp} I g_{\mu
u} .
\]

Вычитая из второго равенства первое, получим (2.104). Аналогично, пользуясь перестановочными соотношениями для $\gamma$-матриц, можно получить и остальные формулы.

Используя коммутационные соотношения для $\gamma$-матриц, можно получить также следующие соотношения ( $A, B, C$ – произвольные матрицы):
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{\mu} \hat{C} \gamma_{\mu}=C_{
u} \gamma_{\mu} \gamma_{
u} \gamma_{\mu}=-C_{
u} \gamma_{
u} \gamma_{\mu} \gamma_{\mu}+2 C_{
u} \delta_{\mu
u} \gamma_{\mu}= \\
=-4 C_{
u} \gamma_{
u}+2 C_{
u} \gamma_{
u}=-2 \hat{C}, \quad\left(\gamma_{\mu} \gamma_{\mu}=4\right)
\end{array}
\]
т. e.
\[
\gamma_{\mu} \hat{C} \gamma \mu=-2 \hat{C} .
\]

Аналогично, легко видеть, что
\[
\gamma_{\mu} \hat{A} \hat{B} \hat{C} \gamma_{\mu}=-2 \hat{C} \hat{B} \hat{A} .
\]

Пользуясь (2.106), получим
\[
\begin{array}{l}
f(s, u)=\frac{1}{\left(m^{2}-s\right)^{2}} \frac{1}{4} \times \\
\times \operatorname{Sp}\left[\left(\hat{p}_{1}+\hat{k}_{1}+m\right)\left(4 m-2 \hat{p}_{2}\right)\left(\hat{p}_{2}+\hat{k}_{2}+m\right)\left(4 m-2 \hat{p}_{1}\right)\right] .
\end{array}
\]

В (2.108) отличными от нуля будут члены, вообще не содержащие $\gamma$-матриц и содержащие произведения четного числа $\gamma$-матриц. Воспользовавшись $(2.104),(2.105)$, в результате будем иметь
\[
\begin{array}{l}
f(s, u)=\frac{1}{\left(m^{2}-s\right)^{2}}\left\{16 m^{4}+4 m^{2}\left(-2 p_{1}\left(p_{1}+k_{1}\right)\right)+4 m^{2} p_{1} p_{2}+\right. \\
+4 m^{2}\left(-2 p_{2}\left(p_{2}+k_{2}\right)\right)-4 m^{2} \cdot 2 p_{1}\left(p_{1}+k_{1}\right)+ \\
\left.+16 m^{2}\left(p_{1}+k_{1}\right)^{2}-4 m^{2} \cdot 2 p_{2}\left(p_{2}+k_{2}\right)+\frac{1}{4} \operatorname{Sp}\left[4\left(\hat{p}_{1}+\hat{k}_{1}\right) \hat{p}_{2}\left(\hat{p}_{2}+\hat{k}_{2}\right) \hat{p}_{1}\right]\right\} .
\end{array}
\]

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0134.jpg.txt

2.6. Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
133
Заметим, что
\[
\begin{array}{c}
2 p_{1}\left(p_{1}+k_{1}\right)=2 m^{2}+2 p_{1} k_{1}=s+m^{2}, \\
2 p_{2}\left(p_{2}+k_{2}\right)=2 m^{2}+2 p_{2} k_{2}=s+m^{2}, \\
\frac{1}{4} \operatorname{Sp}\left[4\left(\hat{p}_{1}+\hat{k}_{1}\right) \hat{p}_{2}\left(\hat{p}_{2}+\hat{k}_{2}\right) \hat{p}_{1}\right]=-4 s p_{1} p_{2}+2\left(s+m^{2}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
f(s, u)=\frac{1}{\left(m^{2}-s\right)^{2}}\left[16 m^{4}-4 m^{2}\left(s+m^{2}\right)+4 m^{2} p_{1} p_{2}-4 m^{2}\left(s+m^{2}\right)-\right. \\
\left.-4 m^{2}\left(s+m^{2}\right)+16 m^{2} s-4 m^{2}\left(s+m^{2}\right)+2\left(s+m^{2}\right)^{2}-4 p_{1} p_{2} s\right]= \\
=\frac{2}{\left(m^{2}-s\right)^{2}}\left[\left(s+m^{2}\right)^{2}-2 p_{1} p_{2}\left(s-m^{2}\right)\right] .
\end{array}
\]

Выразим $2 p_{1} p_{2}$ через инвариантные переменные:
\[
t=\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}=2 m^{2}-2 p_{1} p_{2},
\]

откуда
\[
2 p_{1} p_{2}=2 m^{2}-t,
\]

но $s+t+u=2 m^{2}$, поэтому
\[
2 p_{1} p_{2}=s+u .
\]

Окончательно, таким образом, имеем
\[
f(s, u)=\frac{2}{\left(m^{2}-s\right)^{2}}\left[\left(s+m^{2}\right)^{2}-(s+u)\left(s-m^{2}\right)\right] .
\]

Член, соответствующий второй диаграмме, получается из (2.109) просто заменой $s$ на $u$. Действительно, вторая диаграмма получается из первой заменой $k_{1} \rightarrow-k_{2}, \mu$ заменятся на $
u$, что при усреднении не имеет значения, а $s \rightarrow\left(p_{1}-k_{2}\right)^{2}=u$, т. е. вклад от второй диаграммы есть просто $f(u, s)$.

Аналогично вычисляется след от интерференционных членов, их, соответственно, мы обозначим $g(s, u)$ и $g(u, s)$, причем
\[
g(s, u)=\frac{2 m^{2}}{\left(m^{2}-s\right)\left(m^{2}-u\right)}\left[4 m^{2}+s-m^{2}+u-m^{2}\right] .
\]

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0135.jpg.txt

134
Глава 2. Частицы со спином $1 / 2$
Итак, мы нашли, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{4} \operatorname{Sp}\left[\left(\hat{p}_{1}+m\right) M_{
u \mu}\left(\hat{p}_{2}+m\right) M_{\mu
u}\right]= \\
=[f(s, u)+f(u, s)+g(u, s)+g(s, u)] e^{4} .
\end{array}
\]

Сечение (2.102) с учетом (2.111) запишется
\[
\begin{array}{l}
d \sigma=\frac{e^{4}}{J}[f(s, u)+f(u, s)+g(u, s)+g(s, u)] \times \\
\times \delta_{+}\left(p_{2}^{2}-m^{2}\right) \delta_{+}\left(k_{2}^{2}\right) \delta\left(p_{1}+k_{1}-p_{2}-k_{2}\right) \frac{d^{4} k_{2} d^{4} p_{2}}{(2 \pi)^{2}} .
\end{array}
\]

Инвариантный поток, как и раньше, есть
\[
\mathcal{J}=4 p_{01} k_{01} j .
\]

Для $j$ также справедлива формула (1.165), хотя вычисляется несколько по-иному:
\[
\begin{aligned}
j & =\left|\bar{\Psi}\left(p_{1}, x\right) \gamma \Psi\left(p_{1}, x\right)\right|+\frac{|\mathbf{k}|}{k_{0}}= \\
& =\frac{\left|\bar{u}\left(p_{1}\right) \gamma u\left(p_{1}\right)\right|}{2 p_{10}}+\frac{\left|\mathbf{k}_{1}\right|}{k_{10}}=\frac{p_{1}}{p_{10}}+\frac{k_{1}}{k_{10}},
\end{aligned}
\]
т. е. с потоком все, как раньше.

Осталось вычислить фазовый объем. Сначала проинтегрируем (2.112) по $d^{4} p_{2}$ при помощи $\delta$-функции. Получим
\[
\begin{array}{l}
d \sigma=\frac{e^{4}}{\mathcal{J}}[f(s, u)+f(u, s)+g(u, s)+g(s, u)] \times \\
\times \delta_{+}\left(\left(p-k_{2}\right)^{2}-m^{2}\right) \delta_{+}\left(k_{2}^{2}\right) \frac{d^{4} k_{2}}{(2 \pi)^{2}},
\end{array}
\]

где $p=p_{1}+k_{1},\left(p-k_{2}\right)^{2}=p^{2}-2 p k_{2}+k_{2}^{2}=s-2 p k_{2}$. Переходя в систему центра масс, получим
\[
\delta_{+}\left(\left(p-k_{2}\right)^{2}-m^{2}\right)=\delta\left(s-2 p_{0} k_{20}-m^{2}\right)=\delta\left(s-2 \sqrt{s} k_{20}-m^{2}\right) .
\]

Для инвариантного потока, соответственно,
\[
\mathcal{J}=4\left(p_{1} k_{10}+k_{1} p_{10}\right)=4 k_{1}\left(k_{10}+p_{10}\right)=4 k_{1} \sqrt{s} .
\]

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0136.jpg.txt

2.6. Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
135
Введем величину $d \Gamma$ :
\[
d \Gamma=\frac{1}{\mathcal{J}} \delta_{+}\left(\left(p-k_{2}\right)^{2}-m^{2}\right) \delta_{+}\left(k_{2}^{2}\right) \frac{d^{4} k_{2}}{(2 \pi)^{2}} .
\]

С учетом (2.115), (2.116) можно написать
\[
d \Gamma=\frac{1}{4 k_{1} \sqrt{s}} \delta_{+}\left(2 \sqrt{s}\left[\frac{\sqrt{s}}{2}-\frac{m^{2}}{2 \sqrt{s}}-k_{20}\right]\right) \delta_{+}\left(k_{20}^{2}-\mathbf{k}_{2}^{2}\right) \frac{d^{4} k_{2}}{(2 \pi)^{2}} .
\]

Интегрируя при помощи $\delta$-функции по $k_{0}$, получим
\[
d \Gamma=\frac{1}{8 k_{1} s} \delta_{+}\left(\left[\frac{s-m^{2}}{2 \sqrt{s}}\right]^{2}-\mathbf{k}_{2}^{2}\right) \frac{d^{3} k_{2}}{(2 \pi)^{2}} .
\]

Перейдем в (2.118) к сферическим координатам, т. е.
\[
d^{3} k_{2}=k_{2}^{2} d k_{2} d \Omega=\frac{k_{2}}{2} d k_{2}^{2} d \Omega .
\]

Теперь можно проинтегрировать по $d k_{2}^{2}$ :
\[
d \Gamma=\frac{1}{16 s} \frac{k_{2}}{k_{1}} \frac{d \Omega}{(2 \pi)^{2}}=\frac{1}{16 s k_{1}} \frac{s-m^{2}}{2 \sqrt{s}} \frac{d \Omega}{(2 \pi)^{2}} .
\]

Мы подставили из $\delta$-функции
\[
k_{2}=\frac{s-m^{2}}{2 \sqrt{s}},
\]

но в с.ц.м. $k_{1}=k_{2}=k$, поэтому
\[
d \Gamma=\frac{1}{16 s} \frac{d \Omega}{(2 \pi)^{2}} .
\]

Выразим теперь $d \Omega$ через инвариантные переменные:
\[
t=-2 k^{2}(1-\cos \theta) ; \quad d t=2 k^{2} d(\cos \theta) .
\]

С другой стороны, $d \Omega=d(\cos \theta) d \varphi=2 \pi d(\cos \theta)$, т. е.
\[
d \Omega=\frac{2 \pi}{2 k^{2}} d t
\]

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0137.jpg.txt

136
Глава 2. Частицы со спином $1 / 2$
и
\[
d \Gamma=\frac{1}{16 s} \frac{d t}{2 k^{2}} \frac{1}{2 \pi} .
\]

Или окончательно, подставляя $k^{2}$ из (2.120),
\[
d \Gamma=\frac{1}{16 \pi} \frac{d t}{\left(m^{2}-s\right)^{2}} .
\]

Такова стандартная схема вычисления фазовых объемов.
Теперь уже можно написать выражение для сечения, но для удобства сначала перепишем величину в квадратных скобках (2.109) в несколько ином виде – раскрываем все выражения:
\[
\begin{array}{l}
s^{2}+2 m^{2} s+m^{4}-s^{2}-u s+m^{2} s+m^{2} u= \\
=2 m^{2}\left(s-m^{2}\right)+3 m^{4}-s u+s m^{2}+u m^{2}= \\
=2 m^{2}\left(s-m^{2}\right)+3 m^{4}+u m^{2}-s\left(u-m^{2}\right)= \\
=4 m^{4}+2 m^{2}\left(s-m^{2}\right)-m^{2}\left(m^{2}-u\right)-s\left(u-m^{2}\right)= \\
=4 m^{4}-\left(u-m^{2}\right)\left(s-m^{2}\right)+2 m^{2}\left(s-m^{2}\right)
\end{array}
\]
т. e.
\[
f(s, u)=\frac{2}{\left(m^{2}-s\right)^{2}}\left[4 m^{4}-\left(u-m^{2}\right)\left(s-m^{2}\right)+2 m^{2}\left(s-m^{2}\right)\right] .
\]

Подставляя (2.123) и (2.110) в (2.114), получим окончательное выражение для сечения рассеяния фотона на электроне:
\[
\begin{aligned}
d \sigma= & \frac{e^{4}}{2 \pi} \frac{d t}{\left(m^{2}-s\right)^{2}}\left[\left(\frac{m^{2}}{s-m^{2}}+\frac{m^{2}}{u-m^{2}}\right)^{2}+\right. \\
& \left.+\left(\frac{m^{2}}{s-m^{2}}+\frac{m^{2}}{u-m^{2}}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{u-m^{2}}{s-m^{2}}+\frac{s-m^{2}}{u-m^{2}}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Это известная формула Клейна-Нишины для комптоновского сечения рассеяния.

Рассмотрим область малых энергий. Здесь удобнее пользоваться лабораторной системой координат (система, где начальный электрон покоится). В этой системе имеем
\[
s=\left(p_{1}+k_{1}\right)^{2}=\left(k_{10}+m\right)^{2}-\mathbf{k}_{1}^{2}=m^{2}+2 m k_{10} .
\]

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0138.jpg.txt

2.6. Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
137
Обозначим $k_{10}=\omega, k_{20}=\omega^{\prime}$, тогда
\[
s=m^{2}+2 m \omega \text {. }
\]

Аналогично,
\[
u=\left(p_{1}-k_{2}\right)^{2}=m^{2}-2 m \omega^{\prime},
\]

а для $t$ имеем
\[
t=\left(k_{1}-k_{2}\right)^{2}=-2 k_{1} k_{2}=-2 \omega \omega^{\prime}+2 \omega \omega^{\prime} \cos \theta=-2 \omega \omega^{\prime}(1-\cos \theta) .
\]

С другой стороны,
\[
t=\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}=2 m^{2}-2 m p_{20}=2 m\left(m-p_{20}\right)=2 m\left(\omega^{\prime}-\omega\right),
\]
т. e.
\[
2 \omega \omega^{\prime}(1-\cos \theta)=2 m\left(\omega-\omega^{\prime}\right),
\]

откуда следует
\[
m\left(\frac{1}{\omega^{\prime}}-\frac{1}{\omega}\right)=1-\cos \theta .
\]

Мы получили формулу для комптоновского сдвига частоты.
Теперь посмотрим, как будут выглядеть отдельные члены (2.124)

в л.с.:
\[
\frac{m^{2}}{s-m^{2}}=\frac{m}{2 \omega}, \quad \frac{m^{2}}{u-m^{2}}=-\frac{m}{2 \omega^{\prime}},
\]

их сумма
\[
\frac{m^{2}}{s-m^{2}}+\frac{m^{2}}{u-m^{2}}=\frac{m}{2}\left(\frac{1}{\omega}-\frac{1}{\omega^{\prime}}\right)=-\frac{1}{2}(1-\cos \theta) .
\]

Аналогично,
\[
\frac{u-m^{2}}{s-m^{2}}=-\frac{\omega^{\prime}}{\omega}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
d t=2 \omega \omega^{\prime} d(\cos \theta)-2 \omega(1-\cos \theta) d \omega^{\prime}= \\
=-\frac{\omega}{m}(1-\cos \theta) d t+2 \omega \omega^{\prime} d(\cos \theta),
\end{array}
\]

откуда
\[
d t=2 \omega^{\prime 2} d(\cos \theta) .
\]

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0139.jpg.txt

138
Глава 2. Частицы со спином $1 / 2$
Подставляя эти значения в (2.124), получим
\[
d \sigma=\frac{e^{4}}{4 \pi m^{2}}\left(\frac{\omega^{\prime}}{\omega}\right)^{2}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{\omega^{\prime}}{\omega}+\frac{\omega}{\omega^{\prime}}\right)-\frac{1}{4} \sin ^{2} \theta\right] d(\cos \theta),
\]

или, вводя $d \Omega_{\omega^{\prime}}=2 \pi d(\cos \theta)$, запишем окончательный результат в виде
\[
d \sigma=\left(\frac{e^{2}}{4 \pi}\right)^{2} \frac{1}{2 m^{2}}\left(\frac{\omega^{\prime}}{\omega}\right)^{2}\left[\frac{\omega^{\prime}}{\omega}+\frac{\omega}{\omega^{\prime}}-\sin ^{2} \theta\right] d \Omega_{\omega^{\prime}},
\]

где $d \Omega_{\omega^{\prime}}=2 \pi d(\cos \theta)$.
При малых энергиях $\omega \ll m$ падающего фотона (томсоновский предел) $\omega^{\prime} \rightarrow \omega$ и сечение стремится к постоянной величине (формула Рэлея-Томсона):
\[
d \sigma \rightarrow\left(\frac{e^{2}}{4 \pi}\right)^{2} \frac{1}{2 m^{2}}\left(2-\sin ^{2} \theta\right) d \Omega_{\omega^{\prime}} .
\]

Заметим, что $e^{2} / 4 \pi m=r_{e}, r_{e}=2.8 \cdot 10^{-13} \mathrm{cм}-$ классический радиус электрона, т. е. при малых энергиях сечение
\[
d \sigma \sim \pi r_{e}^{2} .
\]

Теперь выясним, что происходит при высоких энергиях $s \gg m^{2}$. Для этой цели удобнее воспользоваться формулой (2.124).
1. Рассмотрим область $|t| \ll s,-u \sim s\left(s \gg m^{2}\right)$. В этом случае
\[
d \sigma \simeq \frac{e^{4}}{4 \pi} \frac{d t}{\left(m^{2}-s\right)^{2}} \simeq \frac{e^{4} d t}{4 \pi s^{2}} \sim \frac{d \Omega}{s},
\]

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0140.jpg.txt

2.6. Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
139
т. е. сечение с малой передачей импульса с ростом $s$ довольно быстро падает.
2. В области малых и (т. е. больших переданных импульсов $t$ ) сечение в единичный телесный угол больше:
\[
d \sigma \simeq \frac{e^{4}}{8 \pi} \frac{d t}{s} \frac{1}{m^{2}-u} \sim \frac{d \Omega}{m^{2}},
\]

и от $s$ не зависит. Это означает, что, поскольку
\[
u=\left(p_{1}-k_{2}\right)^{2}=-2 \mathbf{p}_{1}^{2}(1+\cos \theta),
\]
т. е. $u \sim 0$ соответствуют углы $\theta \sim \pi$, при больших энергиях фотоны рассеиваются преимущественно назад. Хотя, казалось бы, из-из точечности взаимодействия вероятность его должна падать с ростом угла и, кроме того, с ростом энергии, поскольку $\sigma \sim \lambda^{2}$, а $\lambda \sim 1 / k$, т. е.
\[
\sigma \sim \frac{1}{k^{2}} \sim \frac{1}{s} .
\]

Именно так и устроен вклад первой диаграммы.
Посмотрим теперь на вторую, которая как раз и ответственна за указанное поведение сечения. Как объяснить, что фотоны в основном рассеиваются на $180^{\circ}$ ? Процесс, который описывается этой диаграммой, идет, в действительности, при малой передаче импульса $|u| \sim m^{2}$, только в результате процесса электрон превращается в фотон. Однако в релятивистской теории индивидуальность частицы не столь важна; для величины сечения важнее, что данный процесс может идти с меньшей передачей импульса.

Также ясно, почему величина сечения в этом случае не падает с ростом энергии, так как величина области, где может поглотиться фотон, определяется уже не малой длиной волны фотона $\lambda$, а тем, как далеко успеют разойтись виртуальный электрон с исходным.

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0141.jpg.txt

140
Глава 2. Частицы со спином $1 / 2$
Ее можно оценить из соотношения неопределенностей. Виртуальный электрон может просуществовать время $\Delta t \sim 1 / \Delta E \sim 1 / m$ и за это время уйти на расстояние $\Delta r \sim 1 / m$. Отсюда и следует, что при больших энергиях существенным является только обменный процесс и его сечение $\sigma \sim \frac{1}{m^{2}}$ в соответствии с (2.131). Однако полное сечение процесса остается маленьким, поскольку пик рассеяния назад, где сечение не мало:
\[
\frac{d \sigma}{d \Omega} \sim \frac{e^{4}}{m^{2}},
\]

очень узок $|d \Omega| \sim m^{2} / s$.