Рассмотрим процесс рассеяния электрона на электроне:

Для вычисления его амплитуды нужно устремить
\[
x_{10}, x_{20} \rightarrow-\infty, \quad x_{30}, x_{40} \rightarrow+\infty .
\]

Этим однозначно определяются правила обхода полюсов в функциях Грина, соответствующих внешним линиям, и вместо них появятся $\Psi_{\alpha}^{\lambda}\left(x_{3}\right) \bar{\Psi}_{\beta}^{\lambda}\left(x_{3}^{\prime}\right)$ и т. д., которые, в отличие от случая скалярных частиц, будут иметь матричный характер.
Посмотрим теперь на диаграмму сверху, т. е. устремим
\[
x_{10}, x_{30} \rightarrow-\infty, x_{20}, x_{40} \rightarrow+\infty \text {. }
\]

Функции Грина, описывающие распространение из $x_{1}$ в $x_{1}^{\prime}$ и из $x_{4}^{\prime}$ в $x_{4}$, останутся прежними, а от оставшихся появятся (в силу изменения направления обхода полюсов)
\[
-\bar{\Psi}_{\alpha}^{-}\left(x_{3}^{\prime}\right) \Psi_{\beta}^{-}\left(x_{3}\right)
\]

и т.д. (см. рис.).

Итак, при вычислении амплитуды рассеяния частиц со спином, как и для бесспиновых частиц, вместо функций Грина внешним линиям надо сопоставлять волновые функции. Буквально повторяя выкладки (1.157) — (1.159), получим, что наша амплитуда перехода будет отличаться от (1.159) только спинорными множителями, причем будут входить
от начального электрона $\quad u$,
от конечного электрона $\bar{u}$,
от начального позитрона $-\bar{v}$,
от конечного позитрона $-v$.

Кроме того, из (2.63) следует, что каждой позитронной линии нужно сопоставить множитель -1. (Это было несущественно в приведенном выше примере, поскольку мы имели две античастицы, но существенно, например, для процесса аннигиляции $e^{+} e^{-} \rightarrow \gamma \gamma$.)

Резюмируем: чтобы получить амплитуду перехода частиц со спином $1 / 2$,
\[
S\left(p_{1}, p_{2} ; k_{1}, k_{2}\right),
\]

нужно вычислить внутреннюю часть диаграммы в импульсном представлении и умножить ее на спиноры от внешних линий в соответствии со сказанным выше (множители $1 / \sqrt{2 p_{0}}$ будем, как и раньше, учитывать при вычислении сечений в фазовых объемах).