Попытаемся найти функцию распространения релятивистской частицы, которая описывается волновой функцией $f_{+}(x)$. (От индексов пока снова отвлекаемся.)

В нерелятивистской теории мы получили функцию распространения в виде суммы
\[
K\left(x_{2}, x_{1}\right)=\sum_{n} \Psi_{n}\left(x_{2}\right) \Psi_{n}^{*}\left(x_{1}\right),
\]

причем сконструировали ее таким образом, чтобы
\[
\Psi\left(x_{2}\right)=\int K\left(x_{2}, x_{1}\right) \Psi\left(x_{1}\right) d^{3} r_{1} .
\]

В релятивистской теории нужно учесть следующие моменты:
1. в начальный момент нам нужно задать и функцию, и ее производную по времени;
2. волновая функция у нас была определена как положительно-частотное решение уравнения Даламбера, поэтому необходимо, чтобы при действии функции распространения на начальное состояние не появились отрицательные частоты.

Попытаемся угадать вид функции распространения. Напишем по аналогии с (1.84)
\[
K\left(x_{2}, x_{1}\right)=\sum_{n} f_{n}^{+}\left(x_{2}\right) f_{n}^{+*}\left(x_{1}\right)
\]

и изменим формулу (1.85) следующим образом:
\[
f^{+}\left(x_{2}\right)=\int K\left(x_{2}, x_{1}\right) i \frac{\partial}{\partial t_{1}} f^{+}\left(x_{1}\right) d^{3} r_{1} .
\]

Теперь можно проверить, что выражения (1.86) и (1.86) правильно описывают изменение во времени волновой функции релятивистской частицы. Рассмотрим вначале волновую функцию, которая отвечает одному стационарному состоянию, т. е. положим
\[
f^{+}\left(x_{1}\right)=f_{m}^{+}\left(x_{1}\right),
\]

тогда
\[
f^{+}\left(x_{2}\right)=\sum_{n} f_{n}^{+}\left(x_{2}\right) \int f_{n}^{+*}\left(x_{1}\right) i \frac{\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}}{\partial t_{1}} f_{m}^{+}\left(x_{1}\right) d^{3} r_{1}=f_{m}^{+}\left(x_{2}\right)
\]

Мы учли условие ортогональности волновых функций в виде (1.72). В нерелятивистском случае в соотношении, аналогичном (1.88), фигурировало бы, соответственно, условие ортогональности в виде (1.71).

Таким образом, мы нашли правильный закон распространения релятивистской частицы в стационарном состоянии $f_{n}$, а поскольку любое состояние можно разложить по $f_{n}$, то этот закон справедлив для любого состояния. Отметим, что вид (1.87) обусловлен тем, что уравнение Даламбера второго порядка по времени (1.87) как раз и дает его решение при заданных начальных условиях (т. е. при заданном значении функции и ее производной в начальный момент времени).

Вычислим функцию распространения свободной безмассовой частицы. Мы уже знаем, что ее нормированная волновая функция
\[
f_{n}=\frac{e^{-i k x}}{\sqrt{2 k_{0}}}
\]

тогда мы получаем
\[
\begin{aligned}
K\left(x_{2}, x_{1}\right)= & \int_{k_{0}=|\mathbf{k}|} \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \frac{e^{-i k\left(x_{2}-x_{1}\right)}}{2 k_{0}},
\end{aligned}
\]

Наша функция распространения релятивистски инвариантна. Чтобы увидеть это явно, используя соотношение
\[
\delta(f(x))=\sum_{i} \frac{1}{\left|f^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|} \delta\left(x-x_{i}\right)
\]

где $x_{i}$ – корни уравнения $f\left(x_{i}\right)=0$, запишем ее в виде
\[
K\left(x_{2}, x_{1}\right)=\int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{3}} \delta\left(k^{2}\right) e^{-i k\left(x_{2}-x_{1}\right)} \theta\left(k_{0}\right) .
\]

Функция $\theta\left(k_{0}\right)$ введена, чтобы отобрать только положительные частоты. Выражение (1.90) имеет явно релятивистски инвариантный вид.

(Знак энергии также релятивистски инвариантен для частиц с $k_{\mu}^{2} \geqslant 0$ !) Легко видеть, что $K\left(x_{2}, x_{1}\right)$ удовлетворяет уравнению
\[
\square_{2} K\left(x_{2}, x_{1}\right)=0
\]
(где $\square_{2}$ обозначает оператор Даламбера). Действительно, подставляя (1.90) в (1.91), получаем
\[
k^{2} \delta\left(k^{2}\right)=0 .
\]

Теперь попробуем ввести взаимодействие $V(x)$ в нашу релятивистскую теорию. Мы введем его так, чтобы графику

как и раньше, соответствовала поправка к свободной функции распространения:
\[
\int K\left(x_{2}-x\right) V(x) K\left(x-x_{1}\right) d x .
\]

В нерелятивистском случае к аналогичному выражению мы требовали, чтобы $t_{1}<t<t_{2}$. Это соответствует тому, что частица сначала возникла, а потом взаимодействовала, мы учли это условие, введя функцию Грина:
\[
G\left(x_{2}-x_{1}\right)=\theta\left(t_{2}-t_{1}\right) K\left(x_{2}-x_{1}\right) .
\]

Можно ли в релятивистской теории поставить такое условие? $\mathrm{K}$ сожалению, вообще говоря, упорядочение по времени $t_{1}<t$ релятивистски неинвариантно. Оно становится релятивистски инвариантным, только если интервал $\left(x-x_{1}\right)^{2}>0$, т. е. времениподобен. Однако функция $K\left(x_{1}-x_{2}\right)$ отлична от нуля и для пространственно-подобных интервалов, и поэтому условие $t_{1}<t<t_{2}$ привело бы к тому, что выражение (1.92) для амплитуды перехода стало бы релятивистски неинвариантным.

Наши рассуждения мы можем проверить непосредственно; введем
\[
\tilde{G}=\theta\left(t_{2}-t_{1}\right) K\left(x_{2}-x_{1}\right)
\]

и посмотрим, какому уравнению удовлетворяет эта функция. Действуя оператором Даламбера на $\tilde{G}$, мы получим
\[
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t_{2}^{2}}-
abla_{2}^{2}\right) \tilde{G}(x)=\theta\left(t_{2}-t_{1}\right)\left[\frac{\partial^{2} K}{\partial t_{2}^{2}}-
abla_{2}^{2} K\right]+\frac{\partial \theta}{\partial t_{2}} \frac{\partial K}{\partial t_{2}}+\frac{\partial^{2} \theta}{\partial t_{2}^{2}} K .
\]

В этом выражении в правой части первый член равен нулю в силу (1.91), оставшиеся же члены явно релятивистски не инвариантны, т. е. действительно, условие $t_{1}<t<t_{2}$ не имеет смысла. Таким образом, нам не удалось совместить два требования:
1. чтобы функция распространения содержала только положительные частоты (мы ее строили именно так, поскольку только для положительных частот можно ввести вероятностное толкование);
2. чтобы взаимодействие произошло в $t$ между $t_{1}$ и $t_{2}$, т. е. требование причинности.
Отказ от требования 1 равносилен отказу от вероятностной трактовки квантовой механики, так что посмотрим, нельзя ли пересмотреть понятие причинности в форме 2. Может ли взаимодействие произойти раньше момента времени $t_{1}$, когда частица родилась? Иначе говоря, возможен ли график
(считаем далее на графиках, что ось времени направлена слева направо)?

В действительности этот график можно понимать и иначе: именно, будем считать, что в момент $t$ родились 2 частицы, а в момент $t_{1}$ одна из них исчезла. При такой интерпретации причинность сохраняется, и подобные графики имеют смысл. Рассмотрим еще один пример:

Если $t^{\prime}<t$, то этот график можно интерпретировать иначе: в момент $t^{\prime}$ родилось 2 частицы, в момент $t$ частицы, распространяющиеся из $\mathrm{r}_{1}$ и $\mathbf{r}^{\prime}$, аннигилировали, и в момент $t_{2}$ осталась одна частица.

Такая интерпретация возможна, если предположить, что функция распространения, в присутствии взаимодействия, описывает также и процессы, в которых на некотором интервале времени может существовать несколько частиц. Таким образом, в релятивистской теории, чтобы ввести взаимодействие, нам приходится отказаться от сохранения числа частиц. Это как раз и соответствует тому, что нам не удалось ввести локальную плотность вероятности. Несохранение числа частиц, т. е. возможность их рождения или уничтожения, ничему не противоречит, поскольку, в силу соотношения неопределенностей $\Delta E \Delta t \sim 1$, на короткий промежуток времени может родиться сколько угодно частиц. Ясно, что для того, чтобы описанная интерпретация распространения частицы от $t_{1}$ до $t$ при $t<t_{1}$ имела смысл, $K\left(t, t_{1}\right)$ при $t<t_{1}$ должно равняться $K\left(t, t_{1}\right)$ при $t>t_{1}$, но при том же значении $\left|t-t_{1}\right|$, если предполагается, что в момент $t<t_{1}$ рождаются те же частицы. Для того, чтобы это имело место, функция распространения должна быть разрывна при $t=t_{1}$. В результате так определенная функция распространения не может удовлетворять однородному уравнению Даламбера. Она окажется функцией Грина этого уравнения.

Рассмотрим теперь связь между функцией распространения (1.90) и функциями Грина уравнения Даламбера:
\[
\square G(x)=-i \delta(x) .
\]

Разложим $G(x)$ в интеграл Фурье:
\[
G(x)=\int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} e^{-i k x} G(k) .
\]

Аналогичное разложение для $\delta(x)$ имеет вид:
\[
\delta(x)=\int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4}} e^{-i k x} .
\]

Подставляя (1.95), (1.94) в (1.93), получим
\[
\square G(x)=\int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i}\left(-k^{2}\right) e^{-i k x} G(k)=-i \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4}} e^{-i k x},
\]

откуда
\[
G(k)=-\frac{1}{k^{2}},
\]

тогда
\[
G(x)=-\int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} e^{-i k x} \frac{1}{k^{2}} .
\]

Поскольку $k^{2}=k_{0}^{2}-\mathbf{k}^{2}$, подынтегральное выражение (1.97) имеет два полюса по $k_{0}: k_{0}= \pm|\mathbf{k}|$. Чтобы интеграл (1.97) имел смысл, эти полюсы нужно немного сдвинуть в комплексную область.
Рассмотрим комплексную плоскость $k_{0}$.

У нас имеется 4 возможности сдвига полюсов с вещественной оси, как указано на рисунке.
1. Пусть оба полюса снизу (отмечены \”॰\”), тогда если $t<0$, то контур нужно замкнуть наверх, и тогда
\[
G_{R}=0, \quad t<0 .
\]

При $t>0$ контур нужно замкнуть вниз, тогда
\[
G_{R}=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \frac{e^{-i|k| t+i \mathbf{k r}}}{2|\mathbf{k}|}-\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \frac{e^{i|k| t+i \mathbf{k r}}}{2|\mathbf{k}|}, \quad t>0 .
\]
$G_{R}$ содержит отрицательные частоты и поэтому нас не устраивает.
2. Рассмотрим теперь случай расположения полюсов, отмеченный $x$ на рисунке, т. е.
при $t>0$, замыкая контур вниз, получим:
\[
G=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \frac{e^{-i|k| t+i \mathbf{k r}}}{2|\mathbf{k}|}, \quad t>0
\]
тоны во \”внешнем поле\”
41
и, соответственно, при $t<0$
\[
G=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \frac{e^{i|k| t+i \mathbf{k r}}}{2|\mathbf{k}|} .
\]

Сравнив (1.100) с (1.89), обнаруживаем замечательный факт: при $t>0$ наша функция Грина совпадает с функцией распространения и устроена таким образом, что содержит отрицательные частоты только при $t<0$ (и только отрицательные). Более того, поскольку фаза подынтегрального выражения (1.101) содержит $|k|>0$, a $t<0$, то
\[
G(x)=G(-x) .
\]

Эту функцию $G$ называют причинной или фейнмановской функцией Грина. Как мы увидим ниже, именно эта функция описывает распространение релятивистских частиц таким образом, чтобы причинность выполнялась. Положение полюсов в фейнмановской функции Грина отвечает замене $k^{2} \longrightarrow k^{2}+i \varepsilon$ в знаменателе выражения (1.97).

Рассмотрим теперь, что будет, если принять во внимание спин фотона, т. е. с учетом того, что волновая функция фотона имеет вид $f_{\mu}^{\lambda}(x)$. Функция распространения в этом случае будет зависеть от спинов начального и конечного состояний, т. е. $K=K_{\mu
u}$, причем
\[
K_{\mu
u}\left(x_{2}, x_{1}\right)=\sum_{n, \lambda=1,2} f_{\mu}^{n \lambda}\left(x_{2}\right) f_{
u}^{n \lambda *}\left(x_{1}\right) .
\]

Аналогично и функция Грина фотона, ее обозначают $D_{\mu
u}$, удовлетворяет уже уравнению
\[
\begin{array}{c}
\square D_{\mu
u}(x)=+i g_{\mu
u} \delta(x), \\
D_{\mu
u}(x)=+g_{\mu
u} \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i k x}}{k^{2}+i \varepsilon} .
\end{array}
\]

Малая мнимая добавка $i \varepsilon$ сдвигает полюса как раз в нужную сторону; действительно, $k^{2}+i \varepsilon=0 \rightarrow k_{0}= \pm \sqrt{\mathbf{k}^{2}-i \varepsilon}$. При $t>0$ (1.105) дает:
\[
D_{\mu
u}=-g_{\mu
u} \int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} e^{-i k x} \frac{1}{2|\mathbf{k}|}, \quad t>0, \quad k_{0}=|\mathbf{k}| .
\]

Эта функция уже не совсем совпадает с функцией распространения (1.103), поскольку
\[
K_{\mu
u}=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \frac{e^{-i k x}}{2|\mathbf{k}|} \sum_{\lambda=1,2} e_{\mu}^{\lambda *} e_{
u}^{\lambda} .
\]

В (1.107) суммирование происходит по двум физическим поляризациям фотона, а в (1.106)
\[
-g_{\mu
u}=\sum_{\lambda=0}^{3} e_{\mu}^{\lambda *} e_{
u}^{\lambda},
\]
т. е. выражение (1.106) не учитывает того факта, что независимых поляризаций всего две. С другой стороны, это единственное решение уравнения (1.104), а в правой части (1.104) мы ничего изменить не можем без потери релятивистской инвариантности.

Таким образом, вообще говоря, мы пришли в противоречие с калибровочной инвариантностью, которая как раз и требует, чтобы физических поляризаций у фотона было всего две. Однако если взаимодействие так устроено, что фотоны с этими \”лишними\” поляризациями, так называемые скалярные $\left(e_{\mu}^{(0)}\right)$ и продольные $\left(e_{\mu}^{(3)}\right)$ фотоны, не рождаются, то все будет согласовано. Иначе говоря, калибровочная инвариантность в релятивистской теории накладывает определенные условия на вид взаимодействия, в чем, конечно, нет ничего удивительного. Мы хорошо знаем это еще из классической теории. Действительно, рассмотрим уравнения Максвелла
\[
\frac{\partial F_{
u \mu}}{\partial x_{
u}}=j_{\mu} .
\]

Из антисимметричности $F_{\mu
u}$ немедленно следует, что
\[
\frac{\partial^{2} F_{\mu
u}}{\partial x_{
u} \partial x_{\mu}}=\frac{\partial j_{\mu}}{\partial x_{\mu}}=0
\]
– ток должен сохраняться. Мы видим, что и в классической теории описание электромагнитного поля возможно только при определенном ограничении на взаимодействие, а именно: оно должно быть таким, чтобы ток сохранялся,
\[
\frac{\partial j_{\mu}}{\partial x_{\mu}}=0 .
\]

Вернемся к сравнению функции распространения и функции Грина. Функция распространения была построена для реальных фотонов, для которых $k_{0}= \pm|\mathbf{k}|$, а в функции Грина присутствует интегрирование по всем $k_{0}, k_{1}, k_{2}, k_{3}$ и $k^{2}
eq 0$ т. е. виртуальный фотон не безмассов. Условие Лоренца $k_{\mu} e_{\mu}=0$ в этом случае определяет уже не два независимых вектора, а три, т. е., казалось бы, суммирование должно производиться по трем поляризациям. Сумму по трем поляризациям мы уже сможем записать в релятивистски инвариантном виде, а именно:
\[
\sum_{\lambda=0}^{2} e_{\mu}^{\lambda *} e_{
u}^{\lambda}=\frac{k_{\mu} k_{
u}}{k^{2}}-g_{\mu
u} .
\]

Здесь мы вычли из суммы по всем поляризациям член, соответствующий поляризации вдоль $k_{\mu}$. Таким образом, единственное, как мы можем улучшить функцию Грина (1.105), это рассмотреть
\[
\tilde{D}_{\mu
u}(x)=-\int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i k x}}{k^{2}+i \varepsilon}\left[\frac{k_{\mu} k_{
u}}{k^{2}}-g_{\mu
u}\right],
\]

а на взаимодействие наложить условие, чтобы член $\sim k_{\mu} k_{
u} / k^{2}$ не давал вклада в физически наблюдаемые величины. Как мы убедимся ниже, это условие полностью аналогично требованию сохранения тока, которое мы имели в классической теории. Фактически это не есть новое требование, так как в любом случае для случая реальных фотонов с $k^{2}=0$ взаимодействие не должно приводить к появлению продольных поляризаций.

Более того, условие, что взаимодействие при $k^{2}
eq 0$ не рождает поляризаций, пропорциональных $k_{\mu}$ для реальных фотонов, при $k^{2}=0$ оставляет только две физические поляризации. Действительно, легко видеть, что
\[
e_{\mu}^{(3) *} e_{
u}^{(3)}+e_{\mu}^{(0) *} e_{
u}^{(0)}=g_{\mu 0} \delta_{
u 0} \frac{k^{2}}{\mathbf{k}^{\mathbf{2}}}+\text { члены с } \quad k_{\mu}, k_{
u} .
\]

Поляризации, пропорциональные $k_{\mu}, k_{
u}$, не рождаются благодаря свойствам взаимодействия, а первый член обращается в ноль для безмассового фотона.

Подводя итоги, можно сказать, что сохранение тока приводит к тому, что при $k^{2}
eq 0$, для виртуального фотона, из четырех поляризаций в функции Грина остаются три, а для реального фотона – только две физические поляризации.

Итак, если ток сохраняется, то можно использовать функцию Грина (1.106) – сумму по всем четырем поляризациям. Легко также видеть, что справедливо соотношение, аналогичное (1.102):
\[
D_{\mu
u}(x)=D_{
u \mu}(-x) .
\]

Этот факт говорит о том, что наряду с процессом
(возникновение фотона в $x_{1}$ и уничтожение в $x_{2}$ ) $D_{\mu
u}$ описывает также процесс, идущий как бы обратно во времени, т. е.

и этот процесс можно в силу (1.111) интерпретировать как рождение частицы в $x_{2}$ и распространение в $x_{1}$, причем эта частица тождественна фотону. Примерами появления такой ситуации, в частности, являются процессы, описываемые графиками на стр. 37.

Суммируем полученные результаты. Мы написали волновую функцию фотона
\[
f_{\mu}=\frac{e_{\mu}^{\lambda} e^{-i k x}}{\sqrt{2|\mathbf{k}|}}
\]

и функцию Грина
\[
D_{\mu
u}(x)=\delta_{\mu
u} \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i k x}}{k^{2}+i \varepsilon} .
\]

Кроме того, нам известны волновая функция нерелятивистской частицы
\[
\Psi(x)=e^{-i p x}, \quad p_{0}=\frac{\mathrm{p}^{2}}{2 m}
\]

и ее функция Грина
\[
G(x)=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i p x}}{\mathbf{p}^{2} / 2 m-p_{0}-i \varepsilon} .
\]

Этого уже достаточно, чтобы построить квантовую электродинамику нерелятивистских частиц, и она будет эквивалентна обычной квантовой теории излучения. Но проще строить электродинамику релятивистских частиц, из которой в пределе можно получить и нерелятивистские результаты. Для этой цели займемся изучением релятивистских частиц с массой.