Попытаемся найти функцию распространения релятивистской частицы, которая описывается волновой функцией $f_{+}(x)$. (От индексов пока снова отвлекаемся.)

В нерелятивистской теории мы получили функцию распространения в виде суммы
$$K(x_2,x_1)=\sum _n{\mathrm{\Psi }}_n\left(x_2\right){\mathrm{\Psi }}_n^{\ast }\left(x_1\right),$$

причем сконструировали ее таким образом, чтобы
$$\mathrm{\Psi }\left(x_2\right)=\int K(x_2,x_1)\mathrm{\Psi }\left(x_1\right)d^3{r}_1.$$

В релятивистской теории нужно учесть следующие моменты:
1. в начальный момент нам нужно задать и функцию, и ее производную по времени;
2. волновая функция у нас была определена как положительно-частотное решение уравнения Даламбера, поэтому необходимо, чтобы при действии функции распространения на начальное состояние не появились отрицательные частоты.

Попытаемся угадать вид функции распространения. Напишем по аналогии с (1.84)
$$K(x_2,x_1)=\sum _n{f}_n^{+}\left(x_2\right)f_n^{+\ast }\left(x_1\right)$$

и изменим формулу (1.85) следующим образом:
$$f^{+}\left(x_2\right)=\int K(x_2,x_1)i\frac{\partial }{\partial t_1}{f}^{+}\left(x_1\right)d^3{r}_1.$$

Теперь можно проверить, что выражения (1.86) и (1.86) правильно описывают изменение во времени волновой функции релятивистской частицы. Рассмотрим вначале волновую функцию, которая отвечает одному стационарному состоянию, т. е. положим
$$f^{+}\left(x_1\right)=f_m^{+}\left(x_1\right),$$

тогда
$$f^{+}\left(x_2\right)=\sum _n{f}_n^{+}\left(x_2\right)\int f_n^{+\ast }\left(x_1\right)i\frac{\overleftrightarrow{\partial }}{\partial t_1}{f}_m^{+}\left(x_1\right)d^3{r}_1=f_m^{+}\left(x_2\right)$$

Мы учли условие ортогональности волновых функций в виде (1.72). В нерелятивистском случае в соотношении, аналогичном (1.88), фигурировало бы, соответственно, условие ортогональности в виде (1.71).

Таким образом, мы нашли правильный закон распространения релятивистской частицы в стационарном состоянии $f_n$, а поскольку любое состояние можно разложить по $f_n$, то этот закон справедлив для любого состояния. Отметим, что вид (1.87) обусловлен тем, что уравнение Даламбера второго порядка по времени (1.87) как раз и дает его решение при заданных начальных условиях (т. е. при заданном значении функции и ее производной в начальный момент времени).

Вычислим функцию распространения свободной безмассовой частицы. Мы уже знаем, что ее нормированная волновая функция
$$f_n=\frac{e^{-ikx}}{\sqrt{2k_0}}$$

тогда мы получаем
$$\begin{array}{rl}K(x_2,x_1)=& {\int }_{k_0=|\mathbf{k}|}\frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{e^{-ik(x_2-x_1)}}{2k_0},\end{array}$$

Наша функция распространения релятивистски инвариантна. Чтобы увидеть это явно, используя соотношение
$$\delta (f(x))=\sum _i\frac{1}{\left|f^{\prime }\left(x_i\right)\right|}\delta (x-x_i)$$

где $x_i$ — корни уравнения $f\left(x_i\right)=0$, запишем ее в виде
$$K(x_2,x_1)=\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^3}\delta \left(k^2\right)e^{-ik(x_2-x_1)}\theta \left(k_0\right).$$

Функция $\theta \left(k_0\right)$ введена, чтобы отобрать только положительные частоты. Выражение (1.90) имеет явно релятивистски инвариантный вид.

(Знак энергии также релятивистски инвариантен для частиц с $k_{\mu }^2⩾0$ !) Легко видеть, что $K(x_2,x_1)$ удовлетворяет уравнению
$${\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}}_{2}K(x_2,x_1)=0$$
(где ${\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}}_2$ обозначает оператор Даламбера). Действительно, подставляя (1.90) в (1.91), получаем
$$k^2\delta \left(k^2\right)=0.$$

Теперь попробуем ввести взаимодействие $V(x)$ в нашу релятивистскую теорию. Мы введем его так, чтобы графику

как и раньше, соответствовала поправка к свободной функции распространения:
$$\int K(x_2-x)V(x)K(x-x_1)dx.$$

В нерелятивистском случае к аналогичному выражению мы требовали, чтобы $t_1<t<t_2$. Это соответствует тому, что частица сначала возникла, а потом взаимодействовала, мы учли это условие, введя функцию Грина:
$$G(x_2-x_1)=\theta (t_2-t_1)K(x_2-x_1).$$

Можно ли в релятивистской теории поставить такое условие? $\mathrm{K}$ сожалению, вообще говоря, упорядочение по времени $t_1<t$ релятивистски неинвариантно. Оно становится релятивистски инвариантным, только если интервал ${(x-x_1)}^2>0$, т. е. времениподобен. Однако функция $K(x_1-x_2)$ отлична от нуля и для пространственно-подобных интервалов, и поэтому условие $t_1<t<t_2$ привело бы к тому, что выражение (1.92) для амплитуды перехода стало бы релятивистски неинвариантным.

Наши рассуждения мы можем проверить непосредственно; введем
$$\tilde{G}=\theta (t_2-t_1)K(x_2-x_1)$$

и посмотрим, какому уравнению удовлетворяет эта функция. Действуя оператором Даламбера на $\tilde{G}$, мы получим
$$(\frac{{\partial }^2}{\partial t_2^2}-abl{a}_2^2)\tilde{G}(x)=\theta (t_2-t_1)[\frac{{\partial }^{2}K}{\partial t_2^2}-abl{a}_2^{2}K]+\frac{\partial \theta }{\partial t_2}\frac{\partial K}{\partial t_2}+\frac{{\partial }^2\theta }{\partial t_2^2}K.$$

В этом выражении в правой части первый член равен нулю в силу (1.91), оставшиеся же члены явно релятивистски не инвариантны, т. е. действительно, условие $t_1<t<t_2$ не имеет смысла. Таким образом, нам не удалось совместить два требования:
1. чтобы функция распространения содержала только положительные частоты (мы ее строили именно так, поскольку только для положительных частот можно ввести вероятностное толкование);
2. чтобы взаимодействие произошло в $t$ между $t_1$ и $t_2$, т. е. требование причинности.
Отказ от требования 1 равносилен отказу от вероятностной трактовки квантовой механики, так что посмотрим, нельзя ли пересмотреть понятие причинности в форме 2. Может ли взаимодействие произойти раньше момента времени $t_1$, когда частица родилась? Иначе говоря, возможен ли график
(считаем далее на графиках, что ось времени направлена слева направо)?

В действительности этот график можно понимать и иначе: именно, будем считать, что в момент $t$ родились 2 частицы, а в момент $t_1$ одна из них исчезла. При такой интерпретации причинность сохраняется, и подобные графики имеют смысл. Рассмотрим еще один пример:

Если $t^{\prime }<t$, то этот график можно интерпретировать иначе: в момент $t^{\prime }$ родилось 2 частицы, в момент $t$ частицы, распространяющиеся из ${\mathrm{r}}_1$ и ${\mathbf{r}}^{\prime }$, аннигилировали, и в момент $t_2$ осталась одна частица.

Такая интерпретация возможна, если предположить, что функция распространения, в присутствии взаимодействия, описывает также и процессы, в которых на некотором интервале времени может существовать несколько частиц. Таким образом, в релятивистской теории, чтобы ввести взаимодействие, нам приходится отказаться от сохранения числа частиц. Это как раз и соответствует тому, что нам не удалось ввести локальную плотность вероятности. Несохранение числа частиц, т. е. возможность их рождения или уничтожения, ничему не противоречит, поскольку, в силу соотношения неопределенностей $\mathrm{\Delta }E\mathrm{\Delta }t\sim 1$, на короткий промежуток времени может родиться сколько угодно частиц. Ясно, что для того, чтобы описанная интерпретация распространения частицы от $t_1$ до $t$ при $t<t_1$ имела смысл, $K(t,t_1)$ при $t<t_1$ должно равняться $K(t,t_1)$ при $t>t_1$, но при том же значении $|t-t_1|$, если предполагается, что в момент $t<t_1$ рождаются те же частицы. Для того, чтобы это имело место, функция распространения должна быть разрывна при $t=t_1$. В результате так определенная функция распространения не может удовлетворять однородному уравнению Даламбера. Она окажется функцией Грина этого уравнения.

Рассмотрим теперь связь между функцией распространения (1.90) и функциями Грина уравнения Даламбера:
$$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}G(x)=-i\delta (x).$$

Разложим $G(x)$ в интеграл Фурье:
$$G(x)=\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^{4}i}{e}^{-ikx}G(k).$$

Аналогичное разложение для $\delta (x)$ имеет вид:
$$\delta (x)=\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^4}{e}^{-ikx}.$$

Подставляя (1.95), (1.94) в (1.93), получим
$$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}G(x)=\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^{4}i}(-k^2)e^{-ikx}G(k)=-i\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^4}{e}^{-ikx},$$

откуда
$$G(k)=-\frac{1}{k^2},$$

тогда
$$G(x)=-\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^{4}i}{e}^{-ikx}\frac{1}{k^2}.$$

Поскольку $k^2=k_0^2-{\mathbf{k}}^2$, подынтегральное выражение (1.97) имеет два полюса по $k_0:k_0=\pm |\mathbf{k}|$. Чтобы интеграл (1.97) имел смысл, эти полюсы нужно немного сдвинуть в комплексную область.
Рассмотрим комплексную плоскость $k_0$.

У нас имеется 4 возможности сдвига полюсов с вещественной оси, как указано на рисунке.
1. Пусть оба полюса снизу (отмечены \»॰\»), тогда если $t<0$, то контур нужно замкнуть наверх, и тогда
$$G_R=0,t<0.$$

При $t>0$ контур нужно замкнуть вниз, тогда
$$G_R=\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{e^{-i|k|t+i\mathbf{k}\mathbf{r}}}{2|\mathbf{k}|}-\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{e^{i|k|t+i\mathbf{k}\mathbf{r}}}{2|\mathbf{k}|},t>0.$$
$G_R$ содержит отрицательные частоты и поэтому нас не устраивает.
2. Рассмотрим теперь случай расположения полюсов, отмеченный $x$ на рисунке, т. е.
при $t>0$, замыкая контур вниз, получим:
$$G=\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{e^{-i|k|t+i\mathbf{k}\mathbf{r}}}{2|\mathbf{k}|},t>0$$
тоны во \»внешнем поле\»
41
и, соответственно, при $t<0$
$$G=\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{e^{i|k|t+i\mathbf{k}\mathbf{r}}}{2|\mathbf{k}|}.$$

Сравнив (1.100) с (1.89), обнаруживаем замечательный факт: при $t>0$ наша функция Грина совпадает с функцией распространения и устроена таким образом, что содержит отрицательные частоты только при $t<0$ (и только отрицательные). Более того, поскольку фаза подынтегрального выражения (1.101) содержит $|k|>0$, a $t<0$, то
$$G(x)=G(-x).$$

Эту функцию $G$ называют причинной или фейнмановской функцией Грина. Как мы увидим ниже, именно эта функция описывает распространение релятивистских частиц таким образом, чтобы причинность выполнялась. Положение полюсов в фейнмановской функции Грина отвечает замене $k^2⟶k^2+i\epsilon$ в знаменателе выражения (1.97).

Рассмотрим теперь, что будет, если принять во внимание спин фотона, т. е. с учетом того, что волновая функция фотона имеет вид $f_{\mu }^{\lambda }(x)$. Функция распространения в этом случае будет зависеть от спинов начального и конечного состояний, т. е. $K=K_{\mu u}$, причем
$$K_{\mu u}(x_2,x_1)=\sum _{n,\lambda =1,2}{f}_{\mu }^{n\lambda }\left(x_2\right)f_u^{n\lambda \ast }\left(x_1\right).$$

Аналогично и функция Грина фотона, ее обозначают $D_{\mu u}$, удовлетворяет уже уравнению
$$\begin{array}{c}\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}{D}_{\mu u}(x)=+i{g}_{\mu u}\delta (x),\\ D_{\mu u}(x)=+g_{\mu u}\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^{4}i}\frac{e^{-ikx}}{k^2+i\epsilon }.\end{array}$$

Малая мнимая добавка $i\epsilon$ сдвигает полюса как раз в нужную сторону; действительно, $k^2+i\epsilon =0\to k_0=\pm \sqrt{{\mathbf{k}}^2-i\epsilon }$. При $t>0$ (1.105) дает:
$$D_{\mu u}=-g_{\mu u}\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}{e}^{-ikx}\frac{1}{2|\mathbf{k}|},t>0,k_0=|\mathbf{k}|.$$

Эта функция уже не совсем совпадает с функцией распространения (1.103), поскольку
$$K_{\mu u}=\int \frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{e^{-ikx}}{2|\mathbf{k}|}\sum _{\lambda =1,2}{e}_{\mu }^{\lambda \ast }{e}_u^{\lambda }.$$

В (1.107) суммирование происходит по двум физическим поляризациям фотона, а в (1.106)
$$-g_{\mu u}=\sum _{\lambda =0}^3{e}_{\mu }^{\lambda \ast }{e}_u^{\lambda },$$
т. е. выражение (1.106) не учитывает того факта, что независимых поляризаций всего две. С другой стороны, это единственное решение уравнения (1.104), а в правой части (1.104) мы ничего изменить не можем без потери релятивистской инвариантности.

Таким образом, вообще говоря, мы пришли в противоречие с калибровочной инвариантностью, которая как раз и требует, чтобы физических поляризаций у фотона было всего две. Однако если взаимодействие так устроено, что фотоны с этими \»лишними\» поляризациями, так называемые скалярные $\left(e_{\mu }^{(0)}\right)$ и продольные $\left(e_{\mu }^{(3)}\right)$ фотоны, не рождаются, то все будет согласовано. Иначе говоря, калибровочная инвариантность в релятивистской теории накладывает определенные условия на вид взаимодействия, в чем, конечно, нет ничего удивительного. Мы хорошо знаем это еще из классической теории. Действительно, рассмотрим уравнения Максвелла
$$\frac{\partial F_{u\mu }}{\partial x_u}=j_{\mu }.$$

Из антисимметричности $F_{\mu u}$ немедленно следует, что
$$\frac{{\partial }^2{F}_{\mu u}}{\partial x_u\partial x_{\mu }}=\frac{\partial j_{\mu }}{\partial x_{\mu }}=0$$
— ток должен сохраняться. Мы видим, что и в классической теории описание электромагнитного поля возможно только при определенном ограничении на взаимодействие, а именно: оно должно быть таким, чтобы ток сохранялся,
$$\frac{\partial j_{\mu }}{\partial x_{\mu }}=0.$$

Вернемся к сравнению функции распространения и функции Грина. Функция распространения была построена для реальных фотонов, для которых $k_0=\pm |\mathbf{k}|$, а в функции Грина присутствует интегрирование по всем $k_0,k_1,k_2,k_3$ и $k^{2}eq0$ т. е. виртуальный фотон не безмассов. Условие Лоренца $k_{\mu }{e}_{\mu }=0$ в этом случае определяет уже не два независимых вектора, а три, т. е., казалось бы, суммирование должно производиться по трем поляризациям. Сумму по трем поляризациям мы уже сможем записать в релятивистски инвариантном виде, а именно:
$$\sum _{\lambda =0}^2{e}_{\mu }^{\lambda \ast }{e}_u^{\lambda }=\frac{k_{\mu }{k}_u}{k^2}-g_{\mu u}.$$

Здесь мы вычли из суммы по всем поляризациям член, соответствующий поляризации вдоль $k_{\mu }$. Таким образом, единственное, как мы можем улучшить функцию Грина (1.105), это рассмотреть
$${\tilde{D}}_{\mu u}(x)=-\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^{4}i}\frac{e^{-ikx}}{k^2+i\epsilon }[\frac{k_{\mu }{k}_u}{k^2}-g_{\mu u}],$$

а на взаимодействие наложить условие, чтобы член $\sim k_{\mu }{k}_u/k^2$ не давал вклада в физически наблюдаемые величины. Как мы убедимся ниже, это условие полностью аналогично требованию сохранения тока, которое мы имели в классической теории. Фактически это не есть новое требование, так как в любом случае для случая реальных фотонов с $k^2=0$ взаимодействие не должно приводить к появлению продольных поляризаций.

Более того, условие, что взаимодействие при $k^{2}eq0$ не рождает поляризаций, пропорциональных $k_{\mu }$ для реальных фотонов, при $k^2=0$ оставляет только две физические поляризации. Действительно, легко видеть, что
$$e_{\mu }^{(3)\ast }{e}_u^{(3)}+e_{\mu }^{(0)\ast }{e}_u^{(0)}=g_{\mu 0}{\delta }_{u0}\frac{k^2}{{\mathbf{k}}^{\mathbf{2}}}+\text{ члены с }{k}_{\mu },k_u.$$

Поляризации, пропорциональные $k_{\mu },k_u$, не рождаются благодаря свойствам взаимодействия, а первый член обращается в ноль для безмассового фотона.

Подводя итоги, можно сказать, что сохранение тока приводит к тому, что при $k^{2}eq0$, для виртуального фотона, из четырех поляризаций в функции Грина остаются три, а для реального фотона — только две физические поляризации.

Итак, если ток сохраняется, то можно использовать функцию Грина (1.106) — сумму по всем четырем поляризациям. Легко также видеть, что справедливо соотношение, аналогичное (1.102):
$$D_{\mu u}(x)=D_{u\mu }(-x).$$

Этот факт говорит о том, что наряду с процессом
(возникновение фотона в $x_1$ и уничтожение в $x_2$ ) $D_{\mu u}$ описывает также процесс, идущий как бы обратно во времени, т. е.

и этот процесс можно в силу (1.111) интерпретировать как рождение частицы в $x_2$ и распространение в $x_1$, причем эта частица тождественна фотону. Примерами появления такой ситуации, в частности, являются процессы, описываемые графиками на стр. 37.

Суммируем полученные результаты. Мы написали волновую функцию фотона
$$f_{\mu }=\frac{e_{\mu }^{\lambda }{e}^{-ikx}}{\sqrt{2|\mathbf{k}|}}$$

и функцию Грина
$$D_{\mu u}(x)={\delta }_{\mu u}\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^{4}i}\frac{e^{-ikx}}{k^2+i\epsilon }.$$

Кроме того, нам известны волновая функция нерелятивистской частицы
$$\mathrm{\Psi }(x)=e^{-ipx},p_0=\frac{{\mathrm{p}}^2}{2m}$$

и ее функция Грина
$$G(x)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^{4}i}\frac{e^{-ipx}}{{\mathbf{p}}^2/2m-p_0-i\epsilon }.$$

Этого уже достаточно, чтобы построить квантовую электродинамику нерелятивистских частиц, и она будет эквивалентна обычной квантовой теории излучения. Но проще строить электродинамику релятивистских частиц, из которой в пределе можно получить и нерелятивистские результаты. Для этой цели займемся изучением релятивистских частиц с массой.