Покажем, что полюса амплитуды рассеяния определяют энергии связанных состояний. Согласно обычной квантовой механике амплитуда рассеяния есть
\[
f=-\frac{2 m}{4 \pi} \int e^{-i \mathbf{p}^{\prime} \mathbf{r}} V(\mathbf{r}) \Psi_{E}(\mathbf{r}) d^{3} r
\]

где $\mathbf{p}^{\prime}$ – импульс частицы в конечном состоянии, а $\Psi_{E}(\mathbf{r})$ – точная волновая функция – решение стационарного уравнения Шредингера с энергией $E=\mathbf{p}^{\prime 2} / 2 m$.

Для функции Грина мы написали выражение:
\[
G\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=\theta(\tau) \sum_{n} \Psi_{n}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right) \Psi_{n}^{*}\left(\mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) .
\]

Рассмотрим функцию Грина с определенной энергией:
\[
\begin{array}{l}
G_{E}\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)=\int G\left(\mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{1}, \tau\right) e^{i E \tau} d \tau= \\
=\sum_{n} \Psi_{n}\left(\mathbf{r}_{2}\right) \Psi_{n}^{*}\left(\mathbf{r}_{1}\right) \int_{0}^{\infty} e^{i\left(E-E_{n}\right) \tau}= \\
=\frac{1}{i} \sum_{n} \frac{\Psi_{n}\left(\mathbf{r}_{2}\right) \Psi_{n}^{*}\left(\mathbf{r}_{1}\right)}{E_{n}-E} .
\end{array}
\]

Эта функция удовлетворяет уравнению
\[
(H-E) G_{E}\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)=\frac{1}{i} \delta\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right) .
\]

Из (1.45) непосредственно видно, что $G_{E}\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)$ имеет полюса в связанных состояниях. При помощи $G_{E}\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)$ можно сконструировать точное решение стационарного уравнения Шредингера, а именно:
\[
\Psi_{E}(\mathbf{r})=e^{i \mathbf{p r}}+(-i) \int G_{E}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right) e^{i \mathbf{p} \mathbf{r}^{\prime}} V\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime} .
\]

Действительно,
\[
(H-E) \Psi_{E}=V(\mathbf{r}) e^{i \mathrm{pr}}-V(\mathbf{r}) e^{i \mathrm{pr}}=0 .
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
f & =-\frac{2 m}{4 \pi} \int e^{i \mathbf{q} \mathbf{r}} V(\mathbf{r}) d^{3} r+ \\
& +\frac{2 m}{4 \pi} i \int e^{-i \mathbf{p}^{\prime} \mathbf{r}} V(\mathbf{r}) G_{E}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right) e^{i \mathbf{p}^{\prime}} V\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d^{3} r d^{3} r^{\prime}= \\
& =f_{B}+\frac{2 m}{4 \pi} \sum_{n} \frac{f_{n p^{\prime}} f_{n p}^{*}}{E_{n}-E} .
\end{aligned}
\]

Здесь $\mathbf{q}=\mathbf{p}-\mathbf{p}^{\prime}, f_{B}$ – амплитуда рассеяния в борновском приближении,
\[
f_{n p}=\int e^{-i \mathbf{p r}} V(\mathbf{r}) \Psi_{n}(\mathbf{r}) d^{3} r .
\]

Из (1.47) следует, что связанным состояниям действительно соответствуют полюса амплитуды рассеяния.