Рассмотрим рассеяние электрона тяжелой частицей массы $M$ (например, протоном). Если $m \ll M$, то эта частица почти не испытывает отдачи, если импульс электрона не очень велик,

Если в начальный момент частица $M$ покоилась, то
\[
p_{20}^{\prime} \simeq M+\frac{\mathbf{p}_{2}^{\prime 2}}{2 M}=M+\frac{\mathbf{q}^{2}}{2 M} .
\]

Энергия при $\mathrm{q}^{2} / 2 M \ll 1$ практически не изменяется. При этом можно пренебречь движением частицы $M$ и считать, что электрон рассеивается внешним полем. Пусть частица $M$, как и электрон, обладает спином $1 / 2$. Вычислим нижнюю часть диаграммы. Обозначим
\[
\mathcal{P}_{\mu}=p_{2 \mu}+p_{2 \mu}^{\prime} .
\]

Мы уже писали такую формулу:
\[
2 \mathcal{P}_{\mu}=\hat{\mathcal{P}} \gamma_{\mu}+\gamma_{\mu} \hat{\mathcal{P}} .
\]

Рассмотрим теперь
\[
\begin{array}{l}
2 \bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) \mathcal{P}_{\mu} u\left(p_{2}\right)= \\
=\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right)\left[\left(\hat{p}_{2}+{\hat{p^{\prime}}}_{2}\right) \gamma_{\mu}+\gamma_{\mu}\left(\hat{p}_{2}+{\hat{p^{\prime}}}_{2}\right)\right] u\left(p_{2}\right)=
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
=M \bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{2}\right)+\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) \hat{p}_{2} \gamma_{\mu} u\left(p_{2}\right)+ \\
\left.+M \bar{u} p_{2}^{\prime}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{2}\right)+\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) \gamma_{\mu}{\hat{p^{\prime}}}_{2} u\left(p_{2}\right)= \\
=2 M\left[\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{2}\right)\right]+\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right)\left[\hat{p}_{2} \gamma_{\mu}+\gamma_{\mu} \hat{p^{\prime}}{ }_{2}\right] u\left(p_{2}\right)= \\
=4 M\left[\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{2}\right)\right]+\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right)\left[\gamma_{\mu} \hat{q}-\hat{q} \gamma_{\mu}\right] u\left(p_{2}\right)
\end{array}
\]
(поскольку $p_{2}^{\prime}=p_{2}+q, p_{2}=p_{2}^{\prime}-q$ ). Отсюда получаем
\[
\begin{array}{l}
\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{2}\right)=\frac{\left(p_{2}+p_{2}^{\prime}\right)_{\mu}}{2 M} \bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) u\left(p_{2}\right)- \\
-\frac{1}{2 M} \bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) \sigma_{\mu
u} q_{
u} u\left(p_{2}\right) .
\end{array}
\]

Мы ввели матрицы
\[
\sigma_{\mu
u}=\frac{\gamma_{\mu} \gamma_{
u}-\gamma_{
u} \gamma_{\mu}}{2}
\]

Вычислим $\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) u\left(p_{2}\right)$, учитывая, что $p_{2}^{\prime} \sim p_{2}$. Так как
\[
u\left(p_{2}\right)=\sqrt{p_{20}+M}\left(\begin{array}{c}
\varphi \\
\sigma \mathbf{p}_{2} /\left(p_{20}+M\right) \varphi
\end{array}\right)
\]

и в случае $\left|\mathbf{p}_{2}\right| \ll M$ нижней компонентой спинора в произведении можно пренебречь, то
\[
\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) u\left(p_{2}\right)=2 M\left(1+0\left(\frac{|\mathbf{p}|^{2}}{M^{2}}\right)\right),
\]
т. e.
\[
\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) u\left(p_{2}\right)=2 M
\]

с точностью до членов второго порядка по $|\mathbf{p}| / M$.
Далее вычислим
\[
\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) \sigma_{\mu
u} u\left(p_{2}\right) .
\]

Члены с $\sigma_{0 i}=\gamma_{0} \gamma_{i}$ дают малый вклад, т.к.
\[
\begin{array}{l}
u^{+}\left(p_{2}^{\prime}\right) \gamma_{i} u\left(p_{2}\right) \sim \\
\sim 2 M\left(\varphi^{+}, \varphi^{+} \frac{\boldsymbol{\sigma} \mathbf{p}_{2}^{\prime}}{2 M}\right)\left(\begin{array}{c}
\sigma_{i} \boldsymbol{\sigma} \mathbf{p}_{2} / 2 M \varphi \\
-\sigma_{i} \varphi
\end{array}\right) \sim \frac{|\mathbf{p}|}{M} M .
\end{array}
\]

В первом порядке по $|\mathbf{p}| / M$ ими тоже можно пренебречь. Остались члены с
\[
\sigma_{i j}=\gamma_{i} \gamma_{j}=\left(\begin{array}{ll}
\sigma_{i} \sigma_{j} & 0 \\
0 & \sigma_{i} \sigma_{j}
\end{array}\right) .
\]

Из вида спинора видно, что вклад его нижних компонент в $\bar{u} \sigma_{i j} u$ порядка $p^{2} / M^{2}$. Так что с точностью до линейных членов по $p / M$ можно записать из (2.146)
\[
\begin{array}{l}
\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) \gamma_{0} u\left(p_{2}\right)=2 M, \\
\bar{u}\left(p_{2}^{\prime}\right) \gamma_{i} u\left(p_{2}\right)=\varphi^{+} \sigma_{j} q_{j} \sigma_{i} \varphi .
\end{array}
\]

Мы положили в (2.146)
\[
\mathbf{p}_{2}=0, \quad \mathbf{p}_{2}^{\prime}=\mathbf{q} .
\]

Амплитуда рассеяния электрона на внешнем поле тогда запишется следующим образом:
\[
T=2 M e\left[\bar{u}\left(p_{1}^{\prime}\right) \gamma_{0} A_{0}(q) u\left(p_{1}\right)-\bar{u}\left(p_{1}^{\prime}\right) \gamma_{i} A_{i}(q) u\left(p_{1}\right)\right],
\]

где
\[
\begin{array}{c}
A_{0}=e \frac{1}{q^{2}}, \\
A_{i}=e \frac{q_{i}}{2 M}+e i \varphi^{+}+\frac{[\sigma \mathbf{q}]_{i}}{2 M} \varphi .
\end{array}
\]

Мы использовали то, что
\[
\sigma_{j} q_{j} \sigma_{i}=q_{i}-i \varepsilon_{i j k} \sigma_{k} q_{j}=q_{i}+i[\boldsymbol{\sigma} \mathbf{q}]_{i} .
\]
$A_{0}(q)$ представляет собой фурье-компоненту кулоновского поля, первый член $A_{i}$ – фурье-компоненту векторного потенциала, создаваемого током частицы, второй – ее магнитным моментом. Величина $\langle e \sigma / 2 M\rangle$ соответствует обычному магнетону Бора. Для электрона, действительно, магнитный момент равен с хорошей точностью магнетону Бора. Для протона же, например, нужно добавить так называемый аномальный магнитный момент; соответственно, в (2.150) вместо $[\boldsymbol{\sigma q}]$ нужно писать $\left(1+\mu_{\text {аном }}\right)[\boldsymbol{\sigma} \mathbf{q}]$.

Рассеянию внешним полем соответствует предельный переход $M \rightarrow \infty$. В сечение при этом войдет $(2 M)^{2}$ от $|T|^{2}$ в числителе и $(2 M)^{2}$ в знаменателе от фазового объема и потока; члены, соответствующие току и магнитному моменту, обратятся в нуль. Так что сечение в этом случае будет определяться кулоновским потенциалом частицы
\[
A_{0}=-\frac{e}{\mathrm{q}^{2}} .
\]