Наряду с рассмотренным нами процессом излучение может произойт

Посмотрим, чем амплитуда этого процесса отличается от рассмотренной выше амплитуды простейшего процесса, которая описывается выражением (1.134). Для рассматриваемой теперь амплитуды имеем
\[
\begin{array}{l}
A_{\mu}^{\prime}\left(x_{3}, x_{2} ; x_{1}\right)= \\
=\int G\left(x_{2}-x^{\prime \prime}\right) \Gamma_{
u}\left(x^{\prime \prime}\right) G\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right) \Gamma_{\mu}\left(x^{\prime}\right) G\left(x^{\prime}-x\right) \Gamma_{
u}(x) G\left(x-x_{1}\right) \times \\
\times D\left(x^{\prime \prime}-x\right) D\left(x_{3}-x^{\prime}\right) d^{4} x d^{4} x^{\prime} d^{4} x^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Здесь по сравнению с (1.134) две \”лишние\” функции Грина, две вершины $\Gamma_{\mu}$, одна $D$ и два интегрирования. Посмотрим размерность этой \”лишней части\”:
\[
G G D \Gamma \Gamma d^{4} x d^{4} x \sim \frac{1}{x^{2}} \frac{1}{x^{2}} \frac{1}{x^{2}} \gamma \frac{1}{x} \gamma \frac{1}{x} x^{8} \sim \gamma^{2} .
\]

Поскольку обе амплитуды должны обладать одинаковой размерностью, то постоянная $\gamma$ безразмерна. Если $\gamma^{2} \ll 1$, то можно рассматривать только простейшие амплитуды.

Как мы уже говорили, процесс __, _一 невозможен для реальных частиц. Рассмотрим поэтому теперь для примера несколько простейших диаграмм, описывающих реальные процессы.
1. Рассеяние заряженных частиц. При этом может произойти следующее:
т. е. частицы не провзаимодействовали;
Это – так называемое контактное взаимодействие, но оно не имеет отношения к испусканию или поглощению фотонов, т.е. к электромагнитным взаимодействиям. Существует или нет такой процесс – вопрос к эксперименту. Для некоторых частиц он есть, для некоторых – нет. Для $\pi$-мезонов, в частности, такое взаимодействие существует. Мы же будем изучать только электромагнитные взаимодействия, т. е. полагать, что контактного взаимодействия нет (это фактически упрощенная бесспиновая модель электронов и $\mu$-мезонов).

Рассеяние заряженных частиц с обменом фотонов:
Рис. 8

Оба таких процесса возможны, поскольку после испускания фотона в $x$ частица из $x_{1}$ может с одинаковым успехом попасть как в $x_{1}^{\prime}$, так и в $x_{2}^{\prime}$. Амплитуда запишется так:
\[
\begin{aligned}
G\left(x_{2}^{\prime}, x_{1}^{\prime} ; x_{2}, x_{1}\right) & =\int G\left(x_{1}^{\prime}-x\right) \Gamma_{\mu} G\left(x^{\prime}-x\right) \times \\
& \times G\left(x_{2}^{\prime}-x^{\prime}\right) \Gamma_{
u} G\left(x^{\prime}-x_{2}\right) d^{4} x d^{4} x^{\prime}+(1.136) \\
& +\left\{x_{1}^{\prime} \leftrightarrow x_{2}^{\prime}\right\} .
\end{aligned}
\]

Здесь $x_{1}^{\prime} \leftrightarrow x_{2}^{\prime}$ означает такое же выражение, с заменой $x_{1}^{\prime}$ на $x_{2}^{\prime}$ и наоборот. Удобно на диаграммах ввести стрелки, как мы делали выше, тогда ясно, какую функцию $G$ дифференцирует символ $\Gamma$ с плюсом, а какую – с минусом (так как $\Gamma_{\mu} \sim \overleftrightarrow{\partial}_{\mu}$ ). Кроме того, так удобно различать частицы и античастицы:
Рис. 9

Из первой диаграммы (рис. 9) следует существование такого графика:

а из второй –

Эти диаграммы отвечают уже рассеянию $\pi^{+}$-мезона на $\pi^{-}$. Следовательно, в амплитуде (1.136), т. е. в амплитуде рассеяния $\pi^{+}$мезона на $\pi^{+}$-мезоне $\left(\pi^{+} \pi^{+}\right.$), автоматически содержится и амплитуда $\pi^{+} \pi^{-}$.
Аналогично получается и рассеяние $\pi^{-} \pi^{-}$, в этом случае нужно положить $x_{10}^{\prime}, x_{20}^{\prime}<x_{10}, x_{20}$, т. е. график следует перерисовать задом наперед:
Таким образом, все возможные амплитуды рассеяния можно получить из (1.136), подбирая соответствующим образом времена.
Амплитуда рассеяния $\pi^{+} \pi^{+} \rightarrow \pi^{+} \pi^{+}$оказывается при этом равной амплитуде $\pi^{-} \pi^{-} \rightarrow \pi^{-} \pi^{-}$(эти амплитуды содержат два фактора $\Gamma$, каждый из которых меняет знак при замене частицы на античастицу). Амплитуда же процесса с частицей и античастицей в начальном состоянии $\pi^{+} \pi^{-} \rightarrow \pi^{+} \pi^{-}$существенно отличается от них. Это происходит потому, что в этом случае существует еще один процесс – когда исходные $\pi$-мезоны превращаются в промежуточном состоянии в виртуальный фотон.
2. Комптон-эффект (рассеяние фотона на $\pi$-мезоне). Пусть у нас есть фотон и $\pi$-мезон в начальном состоянии. Что с ними может произойти? Как и в предыдущем случае, они могут не провзаимодействовать:
мезон может поглотить фотон в некоторой точке $x$, а в $x^{\prime}$ испустить:

мезон в точке $x$ может испустить фотон, а первоначальный поглотить в $x^{\prime}$ :

А могут ли они провзаимодействовать в точке, как показано ниже?

Априори на этот вопрос ответить нельзя. С одной стороны, это вопрос экспериментальный, но, с другой стороны, у нас имеется требование к взаимодействию, чтобы скалярные и продольные фотоны не давали вклада в физические величины (сохранение тока). Оказывается, действительно, чтобы сохранялся ток в случае скалярных частиц, должно существовать такое взаимодействие, и его константа, как мы увидим далее, есть $\gamma^{2}$.