Рассмотрим, как обычно, простейший процесс:

Попытаемся написать для него амплитуду
\[
T\left(k, p_{2} ; p_{1}\right) .
\]

Как мы показали, начальному состоянию электрона нужно сопоставить $u^{\lambda}\left(p_{1}\right)$, конечному $-\bar{u}^{\lambda^{\prime}}\left(p_{2}\right)$, фотону же, как обычно, $e_{\mu}^{\sigma}$. Тогда можно написать
\[
T\left(k, p_{2} ; p_{1}\right)=\bar{u}_{\beta}^{\lambda^{\prime}}\left(p_{2}\right) \Gamma_{\beta \alpha}^{\mu}\left(p_{1}, p_{2}, k\right) u_{\alpha}^{\lambda}\left(p_{1}\right) e_{\mu}^{\sigma} .
\]
$\Gamma_{\beta \alpha}^{\mu}\left(p_{1}, p_{2}, k\right)$ соответствует вершине (т. е. внутренней части диаграммы). Еще должна присутствовать $\delta$-функция, выражающая закон сохранения 4 -импульса, но ее, как и множители типа $1 / \sqrt{2 p_{0}}$, будем учитывать при вычислении сечений.

Выясним возможный вид матрицы $\Gamma_{\beta \alpha}^{\mu}$. Из чего мы ее можем сконструировать? Она имеет векторный характер ( $\mu$ – векторный индекс), а в нашем распоряжении имеются четыре вектора, характеризующие процесс:
\[
p_{1 \mu}, p_{2 \mu}, k_{\mu} \quad \text { и } \gamma_{\mu} .
\]

Но, на самом деле, они связаны законом сохранения
\[
p_{1}=p_{2}+k .
\]

Поэтому введем
\[
p_{\mu}=\left(p_{1}+p_{2}\right)_{\mu}, k_{\mu}, \gamma_{\mu}
\]

и в самом общем виде напишем
\[
\Gamma^{\mu}=a \gamma_{\mu}+b p_{\mu}+c k_{\mu}-d \gamma_{\mu} \hat{p}_{1}+d^{\prime} \hat{p}_{2} \gamma_{\mu} .
\]

Однако надо помнить, что Г стоит в обкладках между двумя спинорами, которые удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\left(\hat{p}_{1}-m\right) u\left(p_{1}\right)=0, \\
\bar{u}\left(p_{2}\right)\left(\hat{p}_{2}-m\right)=0,
\end{array}
\]

тогда в последних двух слагаемых (2.67) $\hat{p}_{1}$ и $\hat{p}_{2}$ дадут $m$, и оба они сведутся к первому.
Можно добавить к (2.67) члены
\[
\tilde{d} \hat{p}_{1} \gamma_{\mu}-\tilde{d}^{\prime} \gamma_{\mu} \hat{p}_{2} .
\]

Однако
\[
\hat{p}_{1} \gamma_{\mu}=p_{1
u} \gamma_{
u} \gamma_{\mu}=-p_{1
u} \gamma_{\mu} \gamma_{
u}+2 \delta_{\mu
u} p_{1
u}=-\gamma_{\mu} \hat{p}_{1}+2 p_{1 \mu},
\]
т. е. такие члены сведутся к первому и второму слагаемым (2.67), так что самый общий вид
\[
\Gamma^{\mu}=a \gamma_{\mu}+b p_{\mu}+c k_{\mu} .
\]

Перепишем (2.68) в несколько ином виде. Во-первых,
\[
\bar{u}\left(p_{2}\right)\left[\gamma_{\mu} \hat{p}+\hat{p} \gamma_{\mu}\right] u\left(p_{1}\right)=2 p_{\mu} \bar{u}\left(p_{2}\right) u\left(p_{1}\right) .
\]

С другой стороны,
\[
p_{1}+p_{2}=2 p_{1}-k=2 p_{2}+k
\]

и
\[
\bar{u}\left(p_{2}\right)\left[\gamma_{\mu} \hat{p}+\hat{p} \gamma_{\mu}\right] u\left(p_{1}\right)=4 m \bar{u}\left(p_{2}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{1}\right)+\bar{u}\left(p_{2}\right)\left(\hat{k} \gamma_{\mu}-\gamma_{\mu} \hat{k}\right) u\left(p_{1}\right),
\]
т. е. вместо $p_{\mu}$ можно написать $\hat{k} \gamma_{\mu}-\gamma_{\mu} \hat{k}$ и
\[
\Gamma^{\mu}=a \gamma_{\mu}+b\left(\hat{k} \gamma_{\mu}-\gamma_{\mu} \hat{k}\right)+c k_{\mu} .
\]
(Естественно, $a, b, c$ здесь уже другие, чем в (2.68) .)
Теперь определим коэффициенты $a, b, c$. У нас $\Gamma^{\mu}$ должна удовлетворять условию поперечности
\[
\bar{u} k_{\mu} \Gamma^{\mu} u=0 .
\]

Из (2.71) находим
\[
k_{\mu} \Gamma^{\mu}=a \hat{k}+c k^{2},
\]

тогда
\[
\bar{u}\left(p_{2}\right) k_{\mu} \Gamma_{\mu} u\left(p_{1}\right)=a\left[\bar{u}\left(p_{2}\right)\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right) u\left(p_{1}\right)\right]+c k^{2} \bar{u}\left(p_{2}\right) u\left(p_{1}\right)=0 .
\]

Поскольку
\[
\bar{u}\left(p_{2}\right)\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right) u\left(p_{1}\right)=\bar{u}\left(p_{2}\right)(m-m) u\left(p_{1}\right)=0,
\]

то из (2.74) следует, что $c=0$.
О константе $b$ ничего сказать из общих соображений нельзя, пока известны две частицы, для которых с большой точностью $b=0$ – это электрон и $\mu$-мезон (хотя малая величина $b$ генерируется даже для этих частиц динамически при учете более сложных радиационных процессов).
Обычно полагают
\[
b=0, a=\text { const. }
\]

Это так называемая гипотеза минимальности электромагнитного взаимодействия. Ее основания, с одной стороны, простота, с другой, то, что при $b
eq 0$ нельзя построить замкнутой теории. Далее мы покажем, что $b=$ const соответствует аномальному магнитному моменту частицы.
Таким образом,
\[
\Gamma_{\mu}=e \gamma_{\mu}
\]
(через некоторое время мы покажем, что коэффициент пропорциональности, как и раньше, равен заряду частицы). Инвариантную амплитуду (2.66) испускания электроном фотона можно теперь переписать в виде
\[
T_{e^{-}}=e \bar{u}^{\lambda^{\prime}}\left(p_{2}\right) \hat{e}^{\sigma} u^{\lambda}\left(p_{1}\right),
\]

где
\[
\hat{e}^{\sigma}=\gamma_{\mu} e_{\mu}^{\sigma} .
\]

Чтобы описать излучение позитрона, как мы говорили, внешним линиям надо сопоставить $v$ и $\bar{v}$, т. е.
\[
T_{e^{+}}=e \bar{v}^{\lambda}\left(p_{1}^{+}\right) \hat{e}^{\sigma} v^{\lambda^{\prime}}\left(p_{2}^{+}\right) .
\]

Здесь, хотя $\bar{v}^{\lambda}\left(p_{1}^{+}\right)$описывает начальный позитрон, мы его поставили слева, поскольку он с чертой.
Рассмотрим связь этих амплитуд. Для этого вспомним, что
\[
\begin{array}{c}
v^{\lambda}(p) \equiv u^{\lambda}(-p)=-\left[\bar{u}^{-\lambda}(p) C\right]^{\top}=C\left[\bar{u}^{-\lambda}(p)\right]^{\top}, \\
\bar{v}^{\lambda}(p) \equiv \overline{u^{\lambda}(-p)}=-\bar{u}^{\lambda}(-p)=\left[u^{-\lambda}(p)\right]^{\top} C .
\end{array}
\]

Тогда, поскольку $C \hat{e} C=[\hat{e}]^{\top}$, то
\[
T_{e^{+}}=e \bar{u}^{-\lambda^{\prime}}\left(p_{2}^{+}\right) \hat{e}^{\sigma} u^{-\lambda}\left(p_{1}^{+}\right),
\]

т. е. амплитуды $T_{e^{-}}$и $T_{e^{+}}$одинаковы с точностью до спиновых переменных. Взглянем на их связь теперь с другой точки зрения. Перерисуем для этого график, соответствующий излучению фотона электроном, в виде

и сделаем замену
\[
p_{1}=-p_{2}^{+} \quad, \quad p_{2}=-p_{1}^{+} .
\]

Тогда получим аналитически продолженную амплитуду $T_{\text {прод }}$
\[
T_{\text {прод }}=e \bar{u}\left(-p_{1}^{+}\right) \hat{e}^{\sigma} u\left(-p_{2}^{+}\right)=-e \bar{v}\left(p_{1}^{+}\right) \hat{e}^{\sigma} v\left(p_{2}^{+}\right),
\]

которая с точностью до знака совпадает с амплитудой испускания фотона позитроном. Это и следовало ожидать, поскольку замена знака координат в $x$-пространстве эквивалентна замене знака импульсов в $p$ пространстве и, естественно, заменив $p$ на $-p$, мы получим амплитуду для античастицы, как и раньше. Но откуда взялся минус? Это связано фактически с определением амплитуды
\[
f \sim-\int \Psi^{*} V \Psi d^{3} r
\]

причем под интегралом стоят сопряженные функции. Однако, когда мы имеем дело с частицами, описываемыми спинорами, это свойство при продолжении в область отрицательных $p$ не сохраняется, поскольку $\bar{u}\left(-p_{1}^{+}\right)$уже не является сопряженной для функции $u\left(-p_{1}^{+}\right)$(см. (2.79)). Поэтому лучше $T_{\text {прод не называть амплитудой, а определить }}$
\[
T_{\text {Прод }}=-T_{e^{+} \gamma} .
\]

Этот знак не имеет значения при вычислении сечений.