В этом параграфе мы рассмотрим квантовую механику фотона. Это необходимо делать с учетом того, что фотон – объект релятивистский. Напомним, что при классическом описании мы вводим 4-тензор электромагнитного поля $F_{\mu
u}(x)$ (здесь и далее $x$ обозначает 4-вектор, $x \equiv(\mathrm{x}, t))$, компонентами которого являются напряженности электрического и магнитного полей $\mathbf{E}, \mathbf{H}$.

Условимся всевозможные релятивистские инварианты писать в виде
\[
x_{\mu} y_{\mu}=x_{0} y_{0}-x_{1} y_{1}-x_{2} y_{2}-x_{3} y_{3},
\]
т. е. не будем различать верхние и нижние индексы, а будем помнить такое правило суммирования по повторяющимся греческим значкам. Иногда нам понадобится также метрический тензор $g_{\mu
u}$ :
\[
g_{00}=1, g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1 ; \quad g_{\mu
u}=0, \quad \text { если } \quad \mu
eq
u .
\]

Будем пользоваться системой единиц Хэвисайда, в которой $\hbar=$ $=c=1$, а единица заряда определяется следующим образом:
\[
e^{2} / 4 \pi \hbar c=\alpha \simeq 1 / 137 \text {; хэвисайдов заряд } e^{2}=4 \pi \alpha \simeq 4 \pi / 137 .
\]

При таком выборе системы единиц уравнения Максвелла для $F_{\mu
u}(x)$ запишутся так:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial F_{
u \mu}}{\partial x_{
u}}=j_{\mu}(x), \\
\frac{\partial F_{\mu
u}}{\partial x_{\lambda}}+\frac{\partial F_{
u \lambda}}{\partial x_{\mu}}+\frac{\partial F_{\lambda \mu}}{\partial x_{
u}}=0 .
\end{array}
\]

Это релятивистски инвариантные классические уравнения, описывающие электромагнитное поле. Обычно вводятся потенциалы $A_{\mu}(x)$ :
\[
F_{\mu
u}=\frac{\partial A_{
u}}{\partial x_{\mu}}-\frac{\partial A_{\mu}}{\partial x_{
u}} .
\]

При этом уравнение (1.50) выполняется автоматически. Однако выбор потенциалов неоднозначен и на них можно наложить одно дополнительное условие. Мы выберем его в виде
\[
\frac{\partial A_{\mu}}{\partial x_{\mu}}=0 \quad \text { (условие Лоренца). }
\]

Тогда из (1.49) получим следующее уравнение для потенциалов:
\[
\square A_{\mu}(x) \equiv \frac{\partial^{2} A_{\mu}}{\partial x_{
u}^{2}}=j_{\mu}(x) .
\]

Рассмотрим волновое уравнение
\[
\square f(x)=0 .
\]

Это уравнение описывает распространение волны (в частности, электромагнитной) в пустом пространстве.

Попытаемся описать свободное электромагнитное поле квантовомеханически. Хотя ничего нового для свободного поля мы не получим, это нам понадобится при рассмотрении взаимодействия. Предположим, что электромагнитное поле состоит из фотонов – квантовых частиц, которые описываются некоторой волновой функцией. Свободные фотоны должны описываться одинаково хорошо и квантовомеханически, и классически, поскольку квантовые эффекты начинают сказываться, когда обратное воздействие прибора на изучаемый объект становится не малым, т. е. при наличии взаимодействия. Однако классическое поле мы можем наблюдать непосредственно, поскольку изменение поля при взаимодействии с прибором в этом случае несущественно. В квантовой механике ситуация меняется. Частица описывается волновой функцией $\Psi(x)$, которая сама по себе непосредственно не измеряется. Квадрат же $|\Psi(x)|^{2}$ (плотность вероятности) определяет физические величины и потому измерим. Интеграл от плотности вероятности дает вероятность найти квантовомеханическую частицу где-либо в пространстве и не зависит от времени
\[
\int|\Psi|^{2} d^{3} r=\text { const. }
\]

Сохранение вероятности является одним из основополагающих принципов квантовой механики.

Попытаемся сконструировать для фотонов величину $\Psi$, допускающую вероятностное толкование, т. е. обладающую свойством (1.55). С другой стороны, она должна удовлетворять (1.54), которое описывает распространение фотонов в пустом пространстве со скоростью $c$.

Вспомним, как получается сохранение интеграла (1.55) в обычной квантовой механике. Волновая функция $\Psi$ комплексна и удовлетворяет уравнению Шредингера
\[
i \frac{\partial \Psi}{\partial t}=H \Psi, \quad H=-\frac{
abla^{2}}{2 m} .
\]

Комплексное сопряженное к (1.56) уравнение имеет вид
\[
-i \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}=H^{*} \Psi^{*}
\]

Умножая (1.56) на $^{*}$, (1.57) на $-\Psi$ и складывая, получим
\[
i \frac{\partial}{\partial t} \Psi^{*} \Psi=\frac{1}{2 m}\left(\Psi
abla^{2} \Psi^{*}-\Psi^{*}
abla^{2} \Psi\right)
\]

или
\[
\frac{\partial}{\partial t} \Psi^{*} \Psi=-\frac{i}{2 m} \operatorname{div}\left(\Psi
abla \Psi^{*}-\Psi^{*}
abla \Psi\right) .
\]

Уравнение непрерывности (1.58) и позволяет интерпретировать величину $\Psi^{*} \Psi$ как плотность вероятности, поскольку
\[
\Psi^{*} \Psi>0, \quad \int \Psi^{*} \Psi d^{3} r=\text { const } .
\]

Но уравнение Шредингера явно приближенное, поскольку не является релятивистски инвариантным. Уравнение же (1.54) релятивистски инвариантно. Перепишем его в виде
\[
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}-
abla^{2} f=0
\]

и попытаемся из $f$ сконструировать нечто, удовлетворяющее уравнению непрерывности типа (1.58). Будем считать $f$ комплексным, хотя реальное электромагнитное поле вещественно. Поступим аналогично предыдущему:
\[
\frac{\partial^{2} f^{*}}{\partial t^{2}}-
abla^{2} f^{*}=0
\]
\[
\begin{aligned}
f^{*} \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}-f \frac{\partial^{2} f^{*}}{\partial t^{2}} & =\frac{\partial}{\partial t}\left(f^{*} \frac{\partial f}{\partial t}-f \frac{\partial f^{*}}{\partial t}\right)= \\
& =\operatorname{div}\left(f^{*}
abla f-f
abla f^{*}\right) .
\end{aligned}
\]

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0029.jpg.txt

28
Глава 1. Частицы и их взаимодействие…
Мы видим, что, вообще говоря, есть величина, интеграл от которой сохраняется, т. е. можно попытаться интерпретировать как плотность вероятности
\[
\rho(\mathbf{r}, t) \sim f^{*} \frac{\partial f}{\partial t}-f \frac{\partial f^{*}}{\partial t} .
\]

Из (1.62) непосредственно следует, что $f$ должна быть комплексной, иначе выражение обратится в нуль, т. е. отождествление $f$ с полем невозможно.

В отличие от обычной квантовой механики, в $\rho(\mathbf{r}, t)$ входят производные, это следствие того, что (1.59) – уравнение второго порядка по времени, и для однозначного определения волновой функции нужно в начальный момент задать и функцию, и ее производную. Ситуация здесь такая же как с электромагнитным потенциалом в классической механике: А удовлетворяет уравнению второго порядка, однако измерение электрического $\mathbf{E}$ и магнитного поля $\mathbf{H}$ в один момент времени позволяет фиксировать и А, и его производную $\mathbf{A}$. В этом еще ничего плохого нет.

Хуже обстоит дело с тем, что $\rho(\mathbf{r}, t)$, определенная в (1.62), может принимать отрицательные значения. Чтобы обойти эту трудность, попробуем выбрать из решений уравнения (1.59) такие, чтобы для них $\rho(\mathbf{r}, t)$ была положительна. Для этой цели рассмотрим, какие вообще решения имеет (1.59).
Будем искать решение в виде ряда Фурье:
\[
f(x)=\sum_{k} e^{-i k x} f(k),
\]

где $k x=k_{0} x_{0}-k_{1} x_{1}-k_{2} x_{2}-k_{3} x_{3} ; k_{0}, k_{1}, k_{2}, k_{3}$ – четыре независимых числа. Тогда
\[
\square f(x)=\sum_{k}\left(-k_{\mu}^{2}\right) e^{-i k x} f(k)=0,
\]

где $k_{\mu}^{2}=k_{\mu} k_{\mu}=k_{0}^{2}-k_{1}^{2}-k_{2}^{2}-k_{3}^{2}$, как мы условились. Очевидно, что решением (1.64) является
\[
k_{0}= \pm|\mathbf{k}| \text {. }
\]

то есть имеется два решения. Общее решение можно написать так (ниже под $k_{0}$ будем понимать положительный корень (1.65):
\[
f(x)=f_{+}(x)+f_{-}(x),
\]

где
\[
f_{+}(x)=\sum_{k} e^{-i\left(k_{0} x_{0}-\mathbf{k r}\right)} f(k)
\]
– так называемое положительно-частотное решение,
\[
\begin{aligned}
f_{-}(x) & =\sum_{k} e^{-i\left(-k_{0} x_{0}-\mathbf{k r}\right)} f(k)= \\
& =\sum_{k^{\prime}} e^{i\left(k_{0} x_{0}-\mathbf{k}^{\prime} \mathbf{r}\right)} f\left(k^{\prime}\right)
\end{aligned}
\]
– отрицательно-частотное решение. Итак, в отличие от решения уравнения Шредингера, мы получили два комплексных решения с разными частотами.

В качестве волновой функции выберем $\Psi=f_{+}$(по аналогии с нерелятивистским случаем, где мы выбирали $e^{-i E t}$ ). Тогда, если положить
\[
\rho=i\left(f_{+}^{*} \frac{\partial f_{+}}{\partial t}-f_{+} \frac{\partial f_{+}^{*}}{\partial t}\right) \equiv f_{+}^{*} i \frac{\stackrel{\rightharpoonup}{\partial}}{\partial t} f_{+},
\]

легко показать, что интеграл от этой величины сохраняется и положителен. Действительно,
\[
\begin{aligned}
\int \rho d^{3} r & =\sum_{\mathbf{k}, \mathbf{k}^{\prime}} f(k) f^{*}\left(k^{\prime}\right) i \int\left[e^{i k x}\left(-i k_{0}^{\prime}\right) e^{-i k^{\prime} x}-i k_{0} e^{-i k^{\prime} x} e^{i k x}\right] d^{3} r= \\
& =(2 \pi)^{3} \sum_{\mathbf{k}} f(k) f^{*}(k) 2 k_{0},
\end{aligned}
\]
т. е., если $k_{0}=|\mathbf{k}|$, это выражение положительно. Соответственно, для отрицательно-частотного решения выражение (1.70) имело бы другой знак.

Теперь возникает вопрос, можно ли функции $\rho(x)$ придать смысл локальной плотности вероятности. Для этого она сама должна быть положительной: непосредственно этого сказать нельзя, так как $\rho$ состоит из экспонент, которые осциллируют, за исключением стационарного случая, когда
\[
f_{+}=e^{-i \omega t} \Psi(\mathbf{r}), \quad \rho(\mathbf{r}, t)=2 \omega|\Psi(\mathbf{r})|^{2} .
\]

Значит, для стационарного состояния, $\rho$ можно придать смысл плотности вероятности, как и в нерелятивистской квантовой механике.

В общем случае этого сделать нельзя. Причина этого глубоко связана с самой природой релятивистской квантовой теории. В нерелятивистской теории в процессе измерения свойства частицы как таковой, не меняются. В релятивистской же теории, как мы вскоре увидим, количество частиц не сохраняется. Поэтому попытка измерения координаты фотона за конечное время (что приводит к нестационарному состоянию) приводит к рождению новых фотонов, и потому понятие одночастичной волновой функции утрачивает смысл.

Итак, мы получили, что в качестве волновой функции фотона можно выбрать, в частности, положительно-частотное решение уравнения Даламбера (1.59), тогда можно определить функцию $\rho(x)$ так, что интеграл от нее по всему пространству сохраняется во времени, а в случае стационарного состояния ей можно приписать смысл плотности вероятности, как в обычной квантовой механике.

Как выглядит условие ортогональности для волновых функций фотона, соответствующих различным $\mathrm{k}$ ? В нерелятивистской квантовой механике
\[
\int \Psi_{\mathbf{k}}^{*} \Psi_{\mathbf{k}^{\prime}} d^{3} r=(2 \pi)^{3} \delta\left(\mathbf{k}^{\prime}-\mathbf{k}\right)
\]

В нашем случае соответствующее выражение имеет вид:
\[
\int f_{\mathbf{k}}^{*} i \frac{\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}}{\partial t} f_{\mathbf{k}^{\prime}} d^{3} r=(2 \pi)^{3} \delta\left(\mathbf{k}^{\prime}-\mathbf{k}\right)
\]

В этом смысле отрицательно- и положительно-частотные решения ортогональны, т. е.
\[
\int f_{-}^{*} i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial t} f_{+} d^{3} r=0
\]

Свободное движение частицы описывается плоской волной:
\[
f_{+}(x)=e^{-i k x} f_{+}(k) .
\]

Подставляя в (1.72), получим
\[
f_{+}(k) f_{+}^{*}\left(k^{\prime}\right) 2 k_{0}(2 \pi)^{3} \delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}^{\prime}\right)=(2 \pi)^{3} \delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}^{\prime}\right),
\]

откуда
\[
f_{+}(x)=\frac{e^{-i k x}}{\sqrt{2 k_{0}}} .
\]

Функция (1.73) описывает свободно распространяющийся фотон с заданной энергией и импульсом.

На самом деле мы описали пока не совсем фотоны, поскольку реальные фотоны имеют векторный характер (описываются четырехмерным потенциалом $A_{\mu}$ ). Повторим теперь наши рассуждения для реальных фотонов. Также выделим положительно- и отрицательно-частотные части из решений уравнения Даламбера для $A_{\mu}$ :
\[
\square A_{\mu}=0 .
\]

Ищем решение в виде
\[
A_{\mu}(x)=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}}\left[a_{\mu}(k) e^{-i k x}+a_{\mu}^{*}(k) e^{i k x}\right] .
\]

Это выражение записано в виде $a+a^{*}$ в силу вещественности $A_{\mu}(x)$. Подставляя (1.75) в (1.74), получим, как и раньше,
\[
k^{2} \equiv k_{\mu}^{2}=0 \quad \text { или } \quad k_{0}= \pm|\mathbf{k}| .
\]

Волновую функцию фотона можно записать:
\[
f_{\mu}(x)=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} a_{\mu}(k) e^{-i k x} .
\]

Нормированному состоянию с определенным импульсом соответствует
\[
a_{\mu}(k)=\frac{e_{\mu}(k)}{\sqrt{2 k_{0}}},
\]

где $e_{\mu}$ – единичный вектор поляризации, (1.77) получается аналогично (1.73).
Из условия Лоренца следует
\[
\frac{\partial f_{\mu}}{\partial x_{\mu}}=0
\]

или
\[
\frac{\partial f_{\mu}}{\partial x_{\mu}}=-i \int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \frac{k_{\mu} e_{\mu}}{2 k_{0}} e^{-i k x}=0,
\]
т. e.
\[
k_{\mu} e_{\mu}=0 .
\]
Это условие четырехмерной поперечности фотона. Что оно означает? Вообще говоря, в четырехмерном пространстве можно ввести 4 независимых вектора $e_{\mu}^{\lambda}$, в силу (1.78) остается 3 независимых вектора, ортогональных $k_{\mu}$, но поскольку $k_{\mu}^{2}=0$, один из этих векторов совпадет с $k_{\mu}$, так как \”он сам себе ортогонален\”. Иначе говоря, в пространстве Минковского, в отличие от евклидового, нельзя построить три вектора, ортогональных вектору, у которого $k_{\mu}^{2}=0$.
Действительно, выберем систему координат так, что
\[
\mathbf{k} \| \mathbf{z}, \quad \text { т. е. } \quad k_{\mu}=\left(k_{0}, 0,0, k_{z}\right), \quad k_{0}=k_{z} .
\]

Два вектора, ортогональных данному, имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
e_{\mu}^{(1)}=\left(e_{0}, e_{x}, e_{y}, e_{z}\right)=(0,1,0,0), \\
e_{\mu}^{(2)}=(0,0,1,0),
\end{array}
\]

третий же вектор $e_{\mu}^{(3)}$ параллелен $k_{\mu}$. Действительно,
\[
k_{0} e_{0}^{(3)}-k_{z} e_{z}^{(3)}=0 ; \quad e_{0}^{(3)}=e_{z}^{(3)}, \quad \text { так как } \quad k_{0}=k_{z} .
\]

Следовательно, оба вектора $e_{\mu}^{(3)}$ и $k_{\mu}$ имеют структуру $(a, 0,0, a)$, т. е. отличаются численным множителем. Кроме того, при помощи калибровочного преобразования мы его всегда можем обратить в нуль, т. е. на физических результатах наличие $e_{\mu}^{(3)}$ не должно сказываться. Действительно, уравнения Максвелла инвариантны относительно замены потенциалов
\[
A_{\mu} \rightarrow A_{\mu}+\frac{\partial f}{\partial x_{\mu}} .
\]

Разложив $f(x)$ в интеграл Фурье, получим
\[
\frac{\partial f}{\partial x_{\mu}}=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} e^{-i k x}\left(-i k_{\mu}\right) f(k),
\]
т. е. в импульсном пространстве калибровочному преобразованию соответствует замена волновой функции фотона:
\[
a_{\mu}(k) \rightarrow a_{\mu}(k)-i k_{\mu} f(k) .
\]

А поскольку $a_{\mu}^{(3)}(k)=e_{\mu}^{(3)}(k) / \sqrt{2 k_{0}} \| k_{\mu}$, то ясно, что выбором $f(k)$ мы всегда сможем обратить эту компоненту в нуль.

Таким образом, у фотона могут быть только две независимых поляризации, роль которых играют пространственные компоненты векторного потенциала. Поэтому, хотя спин фотона равен 1, вклад в физически наблюдаемые величины могут дать только 2 поперечные проекции. Этот факт является следствием равенства нулю массы фотона $\left(k_{\mu}^{2}=m^{2}=0\right)$.
Итак, волновую функцию фотона мы можем записать в виде:
\[
\begin{aligned}
f_{\mu} & =\sum_{\lambda=1,2} \int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \frac{e_{\mu}^{\lambda}(k)}{\sqrt{2 k_{0}}} e^{-i k x} C(k, \lambda) \equiv \\
& \equiv \sum_{\lambda=1,2} \int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} f_{\mu}^{\lambda k}(x) C(k, \lambda) .
\end{aligned}
\]

Чтобы сконструировать плотность вероятности мы должны составить величину, аналогичную (1.72), из $f_{\mu}$ и просуммировать по векторному значку. В соответствии с нашим соглашением о метрике $e_{\mu}^{(1)} e_{\mu}^{(1)}=$ $=e_{\mu}^{(2)} e_{\mu}^{(2)}=-1$ это подразумевает, что суммировать надо со знаком минус, таким образом
\[
\rho=\left(-g_{\mu
u} \cdot\right) f_{\mu}^{*} i \frac{\stackrel{\rightharpoonup}{\partial}}{\partial t} f_{
u}
\]

Условие нормировки для фотона:
\[
\begin{aligned}
-g_{\mu
u} \int f_{\mu}^{\lambda_{2} k^{*}}(x) i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial t} f_{
u}^{\lambda_{1} k}(x) d^{3} r & =-e_{\mu}^{\lambda_{2}^{*}} e_{\mu}^{\lambda_{1}}(2 \pi)^{3} \delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}^{\prime}\right)= \\
& =\delta_{\lambda_{1} \lambda_{2}}(2 \pi)^{3} \delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}^{\prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Полученные нами волновые функции имеют простую классическую интерпретацию. Записав вектор-потенциал в форме (1.75) и вычисляя среднюю энергию электромагнитного поля
\[
\int_{V=1} d^{3} r \frac{\mathbf{E}^{2}+\mathbf{H}^{2}}{2}=\omega,
\]

мы видим, что нормировка нашей амплитуды $a_{\mu}$ отвечает ситуации, когда имеется ровно один фотон в единичном объеме.