Покоящаяся свободная частица характеризуется двумя аддитивными интегралами движения: энергией, равной массе $m$ частицы, и внутренним моментом количества движения – спином $J$. Будем все частицы классифицировать по массе и спину. Нам нужно построить теорию для свободных частиц с любой массой и спином и движущихся с произвольными скоростями, т. е. с любым импульсом $\mathbf{p}$.

Чтобы понять, какие особенности теории связаны с релятивизмом, а какие – со спином, начнем с частиц с $J=0$; в природе таких частиц много, например, $\pi$-мезоны: $\pi^{-}, \pi^{0}, \pi^{+}$с массой $m \sim 140 \mathrm{MэB}$.

Следствием классической релятивистской инвариантности является соотношение между энергией $E$ и импульсом $\mathrm{p}$ :
\[
E^{2}=\mathbf{p}^{2}+m^{2} .
\]

Соответственно, квантовомеханическая частица имеет волновую функцию
\[
\Psi(x) \sim e^{i \mathbf{p r}-i E t},
\]

где $E$ и $\mathbf{p}$ связаны (1.112).
Рассмотрим, какому уравнению удовлетворяет (1.113). Напишем
\[
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-
abla^{2}+m^{2}\right) \Psi(x)=0 .
\]

Подставляя (1.113) в (1.114), получим (1.112), т. е. (1.112) эквивалентно квантовому уравнению (1.114). Если принять в качестве волновой функции (1.113), а она удовлетворяет (1.114), то при попытке ввести плотность вероятности $\rho(x)$ мы встретимся точно с такими же трудностями, как и в случае электромагнитного поля. Совершенно аналогично
\[
\rho(x)
eq|\Psi(x)|^{2}, \quad \text { поскольку } \quad \int|\Psi(x)|^{2} d^{3} x
eq \text { const. }
\]

Как и раньше, сохраняется величина $\Psi^{*} i \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial t} \Psi$, удовлетворяющая уравнению непрерывности:
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left[\Psi^{*}(x) i \frac{\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}}{\partial t} \Psi(x)\right]=\operatorname{div} i\left[\Psi^{*}(x)
abla \Psi(x)-\Psi(x)
abla \Psi^{*}(x)\right]
\]

И единственное, что мы можем принять за плотность вероятности, это
\[
\rho(x)=\Psi_{+}^{*}(x) i \frac{\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}}{\partial t} \Psi_{+}(x)
\]

где $\Psi_{+}$- положительно-частотное решение (1.114), соответствующее $E=\sqrt{\mathrm{p}^{2}+m^{2}}$. Отрицательно-частотное решение, соответствующее $E=-\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}$, будем обозначать $\Psi_{-}$.

В дальнейшем будем писать $\Psi_{+}=\Psi$. Как и для фотона, в случае стационарного состояния $\Psi(x)=\Psi(\mathbf{r}) e^{-i E t}$ функция $\rho(\mathbf{r})$ имеет буквальный смысл плотности вероятности:
\[
\rho(\mathbf{r})=2 E|\Psi(\mathbf{r})|^{2} .
\]

Аналогичным образом можно ввести и волновую функцию для свободной частицы
\[
\Psi(x)=\frac{e^{-i p x}}{\sqrt{2 p_{0}}} \quad, \quad p_{0}=\sqrt{\mathrm{p}^{2}+m^{2}}
\]

и функцию Грина
\[
G(x)=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i p x}}{m^{2}-p^{2}-i \varepsilon} .
\]
(В $D_{\mu
u}(x)$ в знаменателе перед $k^{2}$ тоже фактически знак минус, поскольку для фотона существенны пространственные компоненты $\delta_{\mu
u}$, а $\delta_{11}=\delta_{22}=-1$.) Как и раньше,
\[
G(x)=G(-x)
\]

и при $t>0$ имеем из (1.118)
\[
G(x)=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3} 2 E} e^{i \mathrm{pr}-i \sqrt{\mathrm{p}^{2}+m^{2}} t},
\]
т. е. вперед во времени распространяются положительные частоты.