Начнем, как обычно, с простейшего графика взаимодействия фотона с электроном:

Найдем амплитуду в импульсном представлении, т. е. разложим $G_{\mu}\left(x_{3}, x_{2} ; x_{1}\right)$ в интеграл Фурье:
\[
\begin{array}{l}
G_{\mu}\left(x_{3}, x_{2} ; x_{1}\right)= \\
=\int \frac{d^{4} p_{1} d^{4} p_{2} d^{4} k}{\left[(2 \pi)^{4} i\right]^{3}} e^{-i p_{1} x_{1}+i p_{2} x_{2}+i k x_{3}} G_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}, k\right) .
\end{array}
\]

Знак \»-\» перед одним из слагаемых показателей экспоненты выбран для удобства. Подставляя в выражение для (1.134) функции $G$ и $D_{\mu
u}$ в виде разложений типа (1.137), получим
\[
\begin{array}{l}
G_{\mu}\left(x_{3}, x_{2} ; x_{1}\right)= \\
=\gamma \int \frac{d^{4} p_{1} d^{4} p_{2} d^{4} k}{\left[(2 \pi)^{4} i\right]} D(k) G\left(p_{1}\right) G\left(p_{2}\right) \times \\
\times \int d^{4} x e^{-i k\left(x_{3}-x\right)}\left(e^{-i p_{2}\left(x_{2}-x\right)} \frac{\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}}{\partial x_{\mu}} e^{-i p_{1}\left(x-x_{1}\right)}\right) .
\end{array}
\]

Выражение в круглых скобках равно
\[
-i\left(p_{1 \mu}+p_{2 \mu}\right) e^{-i p_{2}\left(x_{2}-x\right)} e^{-i p_{1}\left(x-x_{1}\right)} .
\]

Тогда, интегрируя по $d^{4} x$, получим
\[
\begin{aligned}
G_{\mu}\left(x_{3}, x_{2} ; x_{1}\right) & =-\gamma \int \frac{d^{4} p_{1} d^{4} p_{2} d^{4} k}{[(2 \pi) i]^{4}} D(k) G\left(p_{1}\right) G\left(p_{2}\right) i\left(p_{1 \mu}+p_{2 \mu}\right) \times \\
& \times(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}-p_{2}-k\right) e^{i p_{1} x_{1}-i p_{2} x_{2}-i k x_{3}} .
\end{aligned}
\]

Сравнивая (1.137) с (1.138), получаем выражение для $G_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}, k\right)$ :
\[
G_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}, k\right)=-(2 \pi)^{4} i \delta\left(p_{1}-p_{2}-k\right)\left(p_{1 \mu}+p_{2 \mu}\right) \gamma G\left(p_{1}\right) G\left(p_{2}\right) D(k) .(1.140)
\]

Соответствующая диаграмма выглядит так:

Здесь линиям соответствуют функции Грина, а в вершине стоит $-i \gamma\left(p_{1 \mu}+p_{2 \mu}\right)$ и закон сохранения $(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}-p_{2}-k\right)$.

Наша диаграмма соответствует процессу, когда мезон с импульсом $p_{1}$ распадается на $\gamma$-квант с импульсом $k$ и мезон с импульсом $p_{2}=p_{1}-k$. Поскольку здесь 4 -импульсы лежат не на массовой поверхности, т. е. $p_{0}^{2}
eq \mathbf{p}^{2}+m^{2}$ и $k_{0}^{2}
eq \mathbf{k}^{2}$, говорят, что этот процесс виртуальный.

Правила сопоставления графикам амплитуд в импульсном представлении проще, чем в пространственном, здесь каждой линии и вершине сопоставляется соответствующий множитель: $G\left(p_{1}\right), G\left(p_{2}\right)$, $D(k), \Gamma_{\mu}$.
Аналогично рассмотрим рассеяние мезонов друг на друге:
\[
\begin{array}{l}
\left.\mathcal{Q}_{(} x_{2}^{\prime}, x_{1}^{\prime} ; x_{2}, x_{1}\right)=\int \frac{d^{4} p_{1} d^{4} p_{2} d^{4} p_{1}^{\prime} d^{4} p_{2}^{\prime}}{\left[(2 \pi)^{4} i\right]^{4}} \\
\quad \times e^{-i p_{1} x_{1}-i p_{2} x_{2}+i p_{1}^{\prime} x_{1}^{\prime}+i p_{2}^{\prime} x_{2}^{\prime}} G\left(p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime} ; p_{1}, p_{2}\right) .
\end{array}
\]

Вычисление проводится точно так же. Первой диаграмме в координатном представлении можно сопоставить в импульсном представлении следующую диаграмму:

Действуем, как в предыдущем случае: пишем $G\left(x_{2}^{\prime}, x_{1}^{\prime} ; x_{2}, x_{1}\right)$ в виде (1.136) и раскладываем в интегралы Фурье входящие в нее свободные функции Грина, получаем в результате выражение типа (1.138). Каждой функции Грина будет соответствовать своя импульсная переменная от ее Фурье-разложения, в вершинах от дифференцирований, как и раньше, появятся $-i \gamma\left(p_{1 \mu}+p_{1 \mu}^{\prime}\right)$ и $-i \gamma\left(p_{2 \mu}+p_{2 \mu}^{\prime}\right)$, а, соответственно, интегрирования по $d^{4} x$ и $d^{4} x^{\prime}$ дадут $(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}+k-p_{1}^{\prime}\right),(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{2}-k-p_{2}^{\prime}\right)$, т. е. законы сохранения в каждой из вершин. Будет присутствовать одно лишнее по сравнению с (1.140) интегрирование по $d^{4} k$. Таким образом, имеем
\[
\begin{array}{l}
G\left(p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime} ; p_{1}, p_{2}\right)=\int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} D(k) \times \\
\times G\left(p_{1}\right) G\left(p_{2}\right) G\left(p_{1}^{\prime}\right) G\left(p_{2}^{\prime}\right) \gamma^{2}\left(p_{1 \mu}+p_{1 \mu}^{\prime}\right)\left(p_{2 \mu}+p_{2 \mu}^{\prime}\right) \times \\
\times(2 \pi)^{4} i \delta\left(p_{1}+k-p_{1}^{\prime}\right)(2 \pi)^{4} i \delta\left(p_{2}-k-p_{2}^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Выражение (1.142) содержит интегрирование по импульсу $k$ промежуточного фотона.

Суммируя, мы можем сформулировать следующие правила сопоставления амплитуды диаграммам в импульсном пространстве.
1. Каждой линии сопоставляется множитель — соответствующая функция Грина:
2. В каждой вершине $-(2 \pi)^{4} i \delta\left(p_{1}-p_{2}-k\right) \gamma\left(p_{1}+p_{2}\right)_{\mu}$
3. Затем нужно проинтегрировать по импульсу промежуточных частиц, т. е. по импульсу, соответствующему каждой внутренней линии с весом $d^{4} k /(2 \pi)^{4} i$.
Вернемся к выражению (1.142). Интеграл в правой части легко вычисляется при помощи $\delta$-функции. Учитывая наличие второй диаграммы, которой в импульсном пространстве соответствует график

для суммарной амплитуды получим выражение
\[
\begin{array}{c}
G\left(p_{2}^{\prime}, p_{1}^{\prime} ; p_{2}, p_{1}\right)=(2 \pi)^{4} i \delta\left(p_{1}+p_{2}-p_{1}^{\prime}-p_{2}^{\prime}\right) G\left(p_{1}\right) G\left(p_{2}\right) G\left(p_{1}^{\prime}\right) G\left(p_{2}^{\prime}\right) \times \\
\times\left[\gamma^{2} \frac{\left(p_{1}+p_{1}^{\prime}\right)_{\mu}\left(p_{2}+p_{2}^{\prime}\right)_{\mu}}{\left(p_{2}-p_{2}^{\prime}\right)^{2}}-\gamma^{2} \frac{\left(p_{1}+p_{2}^{\prime}\right)_{\mu}\left(p_{2}+p_{1}^{\prime}\right)_{\mu}}{\left(p_{2}-p_{1}^{\prime}\right)^{2}}\right],
\end{array}
\]
$\delta$-функция здесь выражает общий закон сохранения 4 -импульса между начальным и конечным состоянием системы.