Простейшие диаграммы, описывающие рассеяние фотона на $\pi$-мезоне, следующие:

Волновая функция мезона имеет вид:
\[
\frac{e^{-i p x}}{\sqrt{2 p_{0}}}
\]

фотона –
\[
e_{\mu}^{\lambda}(k) \frac{e^{-i k x}}{\sqrt{2 k_{0}}} .
\]

Они у нас возникали в амплитудах при устремлении времен к бесконечности.
Для фотона
\[
\begin{array}{c}
D_{\mu
u}(x)=g_{\mu
u} \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i k x}}{k^{2}}=-g_{\mu
u} \int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \frac{e^{-i k x}}{2 k_{0}}\left(-\delta_{\mu
u}\right), \\
-g_{\mu
u}=\sum_{\lambda=0}^{3} e_{\mu}^{\lambda} e_{
u}^{\lambda *}
\end{array}
\]

$e_{\mu}^{\lambda}$ и $e_{
u}^{\lambda}$ мы отнесли к разным волновым функциям. Аналогично случаю $\pi \pi$ рассеяния можно сразу написать амплитуду, соответствующую двум первым диаграммам, обозначая амплитуду, соответствующую третьей диаграмме, через $\tilde{M}_{\lambda_{2} \lambda_{1}}$, получим
\[
\begin{array}{c}
T_{\pi \gamma}=e^{2}\left[\left(p_{2}+p_{2}+k_{2}\right)_{
u} e_{
u}^{\lambda_{2}} \frac{1}{m^{2}-\left(p_{2}+k_{2}\right)^{2}}\left(p_{1}+p_{1}+k_{1}\right)_{\mu} e_{\mu}^{\lambda_{1}}+\right. \\
\left.+\left(p_{2}+p_{2}-k_{1}\right)_{\mu} e_{\mu}^{\lambda_{1}} \frac{1}{m^{2}-\left(p_{2}-k_{1}\right)^{2}}\left(p_{1}+p_{1}-k_{2}\right)_{
u} e_{
u}^{\lambda_{2}}\right]+\tilde{M}_{\lambda_{2} \lambda_{1}} .
\end{array}
\]

Вынесем из (1.188) множитель $e_{
u}^{\lambda_{2}} e_{\mu}^{\lambda_{1}}$, остаток обозначим $M$, т. е.
\[
T_{\pi \gamma}=e_{
u}^{\lambda_{2}} e_{\mu}^{\lambda_{1}} M_{
u \mu} .
\]

Как мы говорили, чтобы не возникло продольной поляризации, должно выполняться условие
\[
k_{1 \mu} M_{
u \mu}=0, k_{2
u} M_{
u \mu}=0 .
\]

При $k^{2}
eq 0$ мы имеем три вектора, ортогональных к $k_{\mu}$, т. е. $\lambda=1,2,3$; $e_{\mu}^{\lambda} k_{\mu}=0$; для $\lambda=0, e_{\mu}^{0} \sim k_{\mu}$, их вид такой (см. п.1.3):
\[
e^{1}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right), e^{2}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right), e^{3}=\frac{1}{\sqrt{k^{2}}}\left(\begin{array}{c}
k_{0} \\
0 \\
0 \\
k
\end{array}\right) .
\]

Здесь принято обозначение:
\[
e=\left(\begin{array}{c}
e_{t} \\
e_{x} \\
e_{y} \\
e_{z}
\end{array}\right) \equiv\left(\begin{array}{l}
e_{0} \\
e_{1} \\
e_{2} \\
e_{3}
\end{array}\right)
\]
(ось $z$ направлена по трехмерному импульсу фотона). При выполнении (1.190) из (1.189) выпадет член с $e^{0}$, в силу его пропорциональности $k_{\mu}$, а при $k^{2}=0$, т. е. для реальных фотонов, обратится в нуль и член с $e^{3}$, таким образом, скалярные и продольные фотоны при выполнении (1.190) не будут давать вклада в реальные физические процессы.

Тензор $M_{
u \mu}$ имеет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
M_{
u \mu} & =e^{2}\left[\left(2 p_{2}+k_{2}\right)_{
u} \frac{1}{-2 p_{2} k_{2}}\left(2 p_{1}+k_{1}\right)_{\mu}+\right. \\
& \left.+\left(2 p_{2}-k_{1}\right)_{\mu} \frac{1}{2 p_{2} k_{1}}\left(2 p_{1}-k_{2}\right)_{
u}\right]+\tilde{M}_{\mu
u} .
\end{aligned}
\]

Вычислим $k_{2
u} M_{
u \mu}$ :
\[
k_{2
u} M_{
u \mu}=e^{2}\left[-\left(2 p_{1}+k_{1}\right)_{\mu}+\left(2 p_{2}-k_{1}\right)_{\mu}\right]+k_{2
u} \tilde{M}_{\mu
u} .
\]

Мы здесь учли, что $2 p_{2} k_{1}=2 p_{1} k_{2}$, так как $p_{1}+k_{1}=p_{2}+k_{2}$. Учитывая также $p_{2}-p_{1}-k_{1}=-k_{2}$, окончательно получим
\[
k_{2
u} M_{
u \mu}=-2 e^{2} k_{2 \mu}+k_{2
u} \tilde{M}_{\mu
u},
\]
т. е. без введения контактной добавки условию (1.190) не удовлетворить, а тем самым и не сохранить ток.

Исходя из соображений простоты, примем в качестве гипотезы, что
\[
\tilde{M}_{\mu
u}=2 e^{2} g_{\mu
u} .
\]

В результате, мы действительно получим амплитуду, для которой сохраняется ток и в которую не входят скалярные и продольные фотоны.

Теперь, пользуясь выражением (1.193) для контактного взаимодействия, вычислим $T_{\pi \gamma}$. Поскольку (1.188) релятивистски инвариантно, вычисления проведем в системе, где первоначально электрон покоился, т. е.
\[
p_{10}=m, \quad \mathbf{p}_{1}=0 .
\]

Так как вклад в (1.188) дадут только две компоненты $e_{\mu}^{\lambda}$, ортогональные к $k_{\mu}$, то члены, пропорциональные $k_{\mu}$ в (1.188), обратятся в нуль. Кроме того, эти $e^{\lambda}$ содержат только пространственные компоненты, а $p_{1}$, входящий множителем в первые два члена, – только временную, поэтому ненулевой вклад в амплитуду будет только от контактного члена.
Таким образом,
\[
T_{\pi \gamma}=e_{
u}^{\lambda_{2} *} e_{\mu}^{\lambda_{1}} g_{\mu
u} 2 e^{2},
\]
T. e.
\[
T_{\pi \gamma}=2 e^{2}\left(e^{\lambda_{2} *}\left(\mathbf{k}_{\mathbf{2}}\right) \cdot e^{\lambda_{1}}\left(\mathbf{k}_{1}\right)\right) .
\]

Для случая рассеяния на малые углы $\mathbf{k}_{\mathbf{1}} /\left|\mathbf{k}_{1}\right|=\mathbf{k}_{\mathbf{2}} /\left|\mathbf{k}_{\mathbf{2}}\right|$ амплитуда равна просто
\[
T_{\pi \gamma}=-2 e^{2} \delta_{\lambda_{1} \lambda_{2}} .
\]

Рассмотрим связь с обычной нерелятивистской амплитудой рассеяния. Как мы говорили,
\[
f=\frac{T}{8 \pi \sqrt{s}}=-\frac{e^{2}}{4 \pi \sqrt{s}} .
\]

При $k \rightarrow 0$ в нерелятивистском пределе $\sqrt{s} \rightarrow m$, т. е.
\[
f=-\frac{e^{2}}{4 \pi m},
\]

что совпадает с формулой для классического томсоновского рассеяния: $f=-e^{\prime 2} / m, e^{\prime}-$ обычный, не хэвисайдов заряд.

Рассмотрим теперь нашу амплитуду с точки зрения различных каналов. Произведем замену:
\[
\begin{array}{l}
k_{2}=-k_{1}^{\prime}, \\
k_{1}=-k_{2}^{\prime},
\end{array}
\]
т. е. перейдем в $u$-канал. Такой заменой мы переставили только гаммакванты, а поскольку они нейтральны, от этого ничего не изменилось, и амплитуда в $u$-канале совпадает с амплитудой в $s$-канале. Замена
\[
\begin{array}{l}
p_{2}=-p_{2}^{+} \\
k_{2}=-k_{2}^{\prime}
\end{array}
\]

приводит к новому процессу: двухфотонной аннигиляции двух $\pi$-мезонов и соответствует переходу в область $t$-канала.

Симметрия же амплитуды относительно пунктирной линии на мандельштамовской плоскости означает тождественность фотона и антифотона в силу его нейтральности.

Итак, мы научились непосредственно по диаграммам вычислять амплитуды различных процессов. Давайте посмотрим, нельзя ли с помощью диаграмм сразу представить сечение. Мы уже писали сечение для процесса
\[
d \sigma=\frac{1}{\mathcal{J}}\left|T_{a b}\right|^{2}(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4}\right) \frac{d^{3} p_{3}}{2 E_{3}} \frac{d^{3} p_{4}}{2 E_{4}} \frac{1}{(2 \pi)^{6}} .
\]

Заметим, что в смысле интегрирования справедливо такое соотношение:
\[
\frac{d^{3} p_{3}}{2 E_{3}}=d^{4} p_{3} \delta\left(p_{3}^{2}-m_{3}^{2}\right) \theta\left(p_{30}\right) \equiv d^{4} p_{3} \delta_{+}\left(p_{3}^{2}-m_{3}^{2}\right),
\]

тогда выражение для сечения можно переписать так:
\[
d \sigma=\frac{1}{\mathcal{J}} T_{a b} \delta_{+}\left(p_{3}^{2}-m_{3}^{2}\right) \delta_{+}\left(p_{3}^{2}-m_{3}^{2}\right) T_{a b}^{*} \frac{d^{4} p_{3} d^{4} p_{4}}{(2 \pi)^{6}} \delta\left(\sum p_{i}\right),
\]
т. е. по нашим обычным правилам нужно вычислить диаграмму

с учетом того, что в промежутке вместо функций Грина стоят $\delta$-функции, а это соответствует реальным частицам, для которых $p_{3}^{2}=m_{3}^{2}, p_{4}^{2}=m_{4}^{2}$.

Действительно, функцию Грина можно представить в виде
\[
G=\frac{1}{m^{2}-p^{2}-i \varepsilon}=P \frac{1}{m^{2}-p^{2}}+i \pi \delta\left(p^{2}-m^{2}\right) .
\]

Символ $P$ означает интегрирование в смысле главного значения. Удобство записи сечения в виде (1.199) состоит в том, что сечения сразу можно продолжать из канала в канал (при условии, что амплитуда $T$ при этом не получит мнимой добавки). Этот вопрос мы обсудим позднее.