Мы видели, что для реальных частиц
\[
k_{\mu} \Gamma_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}\right)=0,
\]

где $k_{\mu}=p_{1}-p_{2}$.

В общем случае (включающем и виртуальные частицы) имеет место тождество (обобщенное тождество Уорда)
\[
k_{\mu} \Gamma_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}\right)=G^{-1}\left(p_{1}\right)-G^{-1}\left(p_{2}\right) .
\]

Покажем, что при выполнении (4.56) имеет место $Z_{1}=Z_{2}$, а потом докажем это тождество.

Рассмотрим (4.56) при нулевых переданных импульсах. При этом слева останется $k_{\mu} Z_{1}^{-1} \gamma_{\mu}$, а справа от каждой функции Грина $G_{c}^{-1}=m-\hat{p}$, т. е.
\[
k_{\mu} Z_{1}^{-1} \gamma_{\mu}=Z_{2}^{-1}\left[-\hat{p}_{2}+\hat{p}_{1}\right]=Z_{2}^{-1} \hat{k}=Z_{2}^{-1} k_{\mu} \gamma_{\mu},
\]

откуда непосредственно следует, что $Z_{1}=Z_{2}$.
А теперь докажем тождество Уорда (4.56). Для простейшей диаграммы имеем
\[
G_{0}^{-1}(p)=m_{0}-\hat{p},
\]

так что, очевидно,
\[
k_{\mu} \gamma_{\mu} \equiv \hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}
\]

и ясно, что для реальных частиц $k_{\mu} \gamma_{\mu}=0$, так как $\hat{p}_{1}=\hat{p}_{2}=m$. Для следующей диаграммы имеем

При вычислении вклада этой диаграммы в величину $k_{\mu} \Gamma_{\mu}$ в числителе появится $k_{\mu} \gamma_{\mu}$, а это можно расписать в виде
\[
k_{\mu} \gamma_{\mu}=\hat{k}=\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}=\left(m_{0}-\hat{p}_{2}+\hat{k}^{\prime}\right)-\left(m_{0}-\hat{p}_{1}+\hat{k}^{\prime}\right),
\]

так что
\[
\begin{array}{l}
k_{\mu} \Lambda_{\mu}^{(1)}=e^{2} \int \frac{d^{4} k^{\prime}}{(2 \pi)^{4} i} \gamma_{
u} \frac{1}{m_{0}-\hat{p}_{1}+\hat{k}^{\prime}} \gamma_{
u} \frac{1}{k^{\prime 2}}- \\
-e^{2} \int \frac{d^{4} k^{\prime}}{(2 \pi)^{4} i} \gamma_{
u} \frac{1}{m_{0}-\hat{p}_{2}+\hat{k}^{\prime}} \gamma_{
u} \frac{1}{k^{\prime 2}} .
\end{array}
\]

В выражении для $k_{\mu} \Lambda_{\mu}^{(1)}$ сначала сократился пропагатор электрона с импульсом $p_{2}-k^{\prime}$, а во втором слагаемом – с импульсом $p_{1}-k^{\prime}$. Peзультат есть не что иное, как
T. e.
\[
k_{\mu} \Lambda_{\mu}^{(1)}=\Sigma^{(1)}\left(\hat{p}_{1}\right)-\Sigma^{(1)}\left(\hat{p}_{2}\right) .
\]

Аналогичные выражения получаются и в высших приближениях, их суммирование дает в точности (4.56).

При переходе к нулевым переданным импульсам обобщенное тождество Уорда можно переписать в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
k_{\mu} \Gamma_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}\right)= \\
=G^{-1}\left(\hat{p}_{2}\right)+G^{-1}\left(\hat{p}_{2}+\hat{k}\right)=-\frac{\partial G^{-1}}{\partial \hat{p}_{2}} \hat{k}=-\frac{\partial G^{-1}}{\partial \hat{p_{2}}} \gamma_{\mu} k_{\mu},
\end{array}
\]
т. е. при малых передачах импульса
\[
\Gamma_{\mu}(p, p)=-\frac{\partial G^{-1}}{\partial \hat{p}} \gamma_{\mu} .
\]

Но так как
\[
\gamma_{\mu}=\frac{\partial \hat{p}}{\partial p_{\mu}},
\]

то
\[
\Gamma_{\mu}(p, p)=-\frac{\partial G^{-1}(p)}{\partial p_{\mu}} .
\]

Подведем итоги. Мы видим, что квантовую электродинамику нам удается построить так, что в нее входят только наблюдаемые – перенормированный заряд и функции Грина. Дальнейшие трудности связаны с вычислением $D, G, \Gamma_{\mu}$. В низших приближениях, однако, все вычисляется довольно просто. Мы рассмотрим простейшие радиационные поправки в следующих разделах.