В предыдущем разделе мы рассмотрели функции Грина электрона и фотона с учетом высших приближений. Теперь рассмотрим, что произойдет с амплитудой испускания фотона (т. е. с вершинной частью).
Итак, простейший процесс – это

Однако такие поправки мы уже рассмотрели при вычислении функций Грина. Введем поэтому величину $\Gamma_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}\right)$, которая не содержит поправок к внешним линиям:

Из (4.41) видно, что величина амплитуды тоже изменяется за счет всевозможных процессов высшего порядка. $\mathrm{K}$ чему это приведет в реальных физических процессах?

Мы рассматривали рассеяние электрона на электроне

При малых переданных импульсах $q$ мы получили обычное кулоновское рассеяние, поэтому величину е мы назвали зарядом. Однако реально в вершине происходят всевозможные процессы, так что $e$ не является наблюдаемым зарядом, а первым к нему приближением. Наблюдаемый заряд проявляется на эксперименте при учете всех процессов, происходящих в вершине, и с ним, вообще говоря, тоже необходимо проделать процедуру перенормировки, как и с массой.
Напишем $\Gamma_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}\right)$ в виде
\[
\Gamma_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}\right)=\gamma_{\mu}+\Lambda_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}\right),
\]

где

Для покоящейся частицы при $q=0$ можно написать
\[
\Gamma_{\mu}(m, m)=\gamma_{\mu}+\Lambda_{\mu}(m, m),
\]

причем единственный вариант – это
\[
\Lambda_{\mu}(m, m)=\gamma_{\mu} \Lambda(m, m),
\]

поскольку никакого другого вектора нет. Тогда
\[
\Gamma_{\mu}(m, m)=\gamma_{\mu}[1+\Lambda(m, m)] \equiv \gamma_{\mu} Z_{1}^{-1} .
\]

Здесь $Z_{1}^{-1}$ – это множитель, на который изменяется амплитуда при нулевом переданном импульсе в результате всевозможных процессов, происходящих в вершине. Таким образом, можно написать
\[
\begin{aligned}
\Gamma_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}\right) & =\gamma_{\mu}+\gamma_{\mu} \Lambda(m, m)+\Lambda_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}\right)-\Lambda_{\mu}(m, m)= \\
& =Z_{1}^{-1}\left[\gamma_{\mu}+\frac{\Lambda_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}\right)-\Lambda_{\mu}(m, m)}{1+\Lambda(m, m)}\right],
\end{aligned}
\]

или
\[
\Gamma_{\mu}=Z_{1}^{-1} \Gamma_{\mu}^{c},
\]

где мы обозначили
\[
\begin{array}{c}
\Gamma_{\mu}^{c}=\gamma_{\mu}+\Lambda_{\mu}^{c}, \\
\Lambda_{\mu}^{c}=\frac{\Lambda_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}\right)-\Lambda_{\mu}(m, m)}{Z_{1}^{-1}}
\end{array}
\]
(при малых переданных импульсах имеем просто $\Gamma_{\mu}=Z_{1}^{-1} \gamma_{\mu}$ ).
Вернемся теперь к рассеянию электронов. Простейшую диаграмму можно нарисовать так:

Здесь . Дальнейшее усложнение будет происходить следующим образом: войдут диаграммы
Рис. 26

Видно, что как бы мы ни усложняли диаграммы, в них нигде не войдут ни затравочный (\”голый\”) заряд, ни \”голые\” функции Грина, а всюду будут входить точные функции Грина и реальный заряд. Ясно также, что нет смысла рисовать диаграммы типа

так как они уже учтены в функциях Грина. Диаграммы, подобные приведенным выше, называются скелетными.

Выделим из $G(p)$ и $D_{\mu
u}(k)$, соответственно, множители $Z_{2}$ и $Z_{3}$, аналогично (4.46), т. е.
\[
\begin{aligned}
G(p) & =Z_{2} G^{c}(p), \\
D_{\mu
u}(k) & =Z_{3} D_{\mu
u}^{c}(k) .
\end{aligned}
\]

Посмотрим, что произойдет при подстановке этих функций в диаграмму. Электронные линии всегда выходят из некоторой вершины и оканчиваются вершиной, аналогично и фотонные, поэтому удобно разбить множители $Z_{2}, Z_{3}$ в $(4.49),(4.50)$ на $\sqrt{Z_{2}} \cdot \sqrt{Z_{2}}$ и $\sqrt{Z_{3}} \cdot \sqrt{Z_{3}}$ и каждый корень отнести к входу и выходу линии. Тогда в любой вершине появится множитель
\[
e Z_{1}^{-1} Z_{2} \sqrt{Z_{3}},
\]

поскольку в каждой вершине сходятся две электронные и одна фотонная линия. (Прежде у нас в вершину входил заряд.) Если теперь назовем зарядом величину
\[
e_{c}=e Z_{1}^{-1} Z_{2} \sqrt{Z_{3}},
\]

то все $Z$ исчезнут и все будет как раньше, только вместо \”голого\” заряда $e$ в каждую вершину войдет перенормированный заряд $e_{c}$.

Выясним смысл перенормированного заряда. Рассмотрим снова рассеяние электронов на малые углы:

Как и раньше, от этой диаграммы возникнет полюс, так как
\[
D^{c}(k) \sim \frac{1}{q^{2}} .
\]

От остальных диаграмм полюсов не будет, поскольку в них войдет интегрирование по промежуточным импульсам, так что при малых переданных импульсах основной вклад в амплитуду определится именно этой диаграммой:
\[
A=\left(e Z_{1}^{-1} Z_{2} \sqrt{Z_{3}}\right)^{2} \bar{u} \gamma_{\mu} u \frac{1}{q^{2}} \bar{u} \gamma_{\mu} u .
\]

А это и есть амплитуда кулоновского рассеяния, причем $e_{c}$ и является физическим зарядом, т. е. именно $e_{c}^{2}=4 \pi / 137$. Таким образом, мы получили, что за счет процессов высшего порядка возникает перенормировка массы и заряда свободной частицы.
Рассмотрим формулу
\[
e_{c}=e Z_{1}^{-1} Z_{2} \sqrt{Z_{3}}
\]

с несколько иной точки зрения. Введем несколько сортов частиц, например, $e, \mu, p$ (электрон, мюон, протон), т. е.
\[
\begin{array}{c}
G_{e}{ }^{e} \\
G_{\mu}{ }^{\mu} \\
G_{p}{ }_{p}^{p}
\end{array}
\]

Соответственно, вершины пусть будут $\Gamma_{e}, \Gamma_{\mu}, \Gamma_{p}$. Эти величины, вообще говоря, различны, поскольку совсем необязательно, что все интегралы,
куда входят функции Грина частиц с разными массами, дадут одинаковый результат. А как наличие существенно разных частиц скажется на функции Грина фотона? Мы имели

Но если имеются и другие частицы, ничто не мешает произойти и таким процессам

и т.д., т.е. в фотонную функцию Грина дадут вклад все заряженные частицы, какие есть на свете. С этой точки зрения, она является величиной универсальной, тогда как функции Грина остальных частиц зависят от рода частиц.

Обсудим теперь следующий вопрос. Предположим, что затравочные заряды электрона и протона одинаковы, тогда в результате взаимодействия получим
\[
\begin{array}{l}
e_{c e}=Z_{1 e}^{-1} Z_{2 e} \sqrt{Z_{3}} e, \\
e_{c p}=Z_{1 p}^{-1} Z_{2 p} \sqrt{Z_{3}} e,
\end{array}
\]
т. е. перенормированные заряды электрона и протона, вообще говоря, разные. Отсюда мы получили бы, например, что атом водорода ( $\left.e^{-} p\right)$ в результате электромагнитного взаимодействия приобретает ненулевой заряд. Это противоречит закону сохранения заряда — электромагнитное взаимодействие не должно изменять заряд. Чтобы этого не происходило, должно выполняться универсальное соотношение, справедливое для всех частиц –
\[
Z_{1}=Z_{2} .
\]

Тогда $Z_{1}$ и $Z_{2}$, зависящие от природы частиц, выпадают из соотношений (4.53). Докажем, что соотношение (4.54) действительно выполняется в электродинамике.
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки