В силу законов сохранения, свободный электрон излучить фотон не может. Наличие внешнего поля делает этот процесс возможным.
Рассмотрим диаграммы:
Они описывают испускание электроном фотона, соответственно, до и после рассеяния на внешнем поле. Амплитуда $F_{\text {торм }}$, отвечающая этим графикам, запишется так:
\[
\begin{array}{l}
F_{\text {торм }}=e \bar{u}\left(p_{2}\right) \hat{e} \frac{m+\hat{p}_{2}+\hat{k}}{m^{2}-\left(p_{2}+k\right)^{2}} \hat{A}(q) u\left(p_{1}\right)+ \\
+e \bar{u}\left(p_{2}\right) \hat{A}(q) \frac{m+\hat{p}_{1}-\hat{k}}{m^{2}-\left(p_{1}-k\right)^{2}} \hat{e} u\left(p_{1}\right) .
\end{array}
\]
Ограничим наше рассмотрение двумя наиболее интересными случаями.
1. $p_{10} \simeq m, k \ll m$, т. е. испускание мягкого фотона электроном с небольшой энергией. В этом случае из-за наличия функции Грина электрона $1 /\left(m-\hat{p}_{1}+\hat{k}\right)$ амплитуда процесса очень велика. Это связано с тем, что излучение мягких фотонов начинается далеко от рассеивателя и происходит в большой области.
2. $p_{10} \gg m, k \ll p_{10}$.
Итак, пусть $p_{10} \simeq m, k \ll m$. Вычислим величины, входящие в числитель (2.151):
\[
\hat{e}\left(m+\hat{p}_{2}\right)+\hat{e} \hat{k}=\left(m-\hat{p}_{2}\right) \hat{e}+2\left(e p_{2}\right)+\hat{e} \hat{k} \simeq 2\left(e p_{2}\right),
\]
поскольку
\[
\hat{e} \hat{p}=e_{\mu} p_{
u} \gamma_{\mu} \gamma_{
u}=e_{\mu} p_{
u}\left(-\gamma_{
u} \gamma_{\mu}+2 \delta_{\mu
u}\right)=-\hat{p} \hat{e}+2(e p) .
\]
Аналогично и для второго числителя в (2.151):
\[
\left(m+\hat{p}_{1}\right) \hat{e}-\hat{k} \hat{e} \simeq 2\left(e p_{1}\right) .
\]
Подставляя эти значения в (2.151), получаем
\[
F_{\text {торм }}=e\left[\frac{2\left(e p_{2}\right)}{m^{2}-\left(p_{2}+k\right)^{2}}+\frac{2\left(e p_{1}\right)}{m^{2}-\left(p_{1}-k\right)^{2}}\right] \bar{u}\left(p_{2}\right) \hat{A}(q) u\left(p_{1}\right) .
\]
Величина
\[
f_{s}(q)=\bar{u}\left(p_{2}\right) \hat{A}(q) u\left(p_{1}\right)
\]
есть не что иное, как амплитуда рассеяния электрона. Итак,
\[
F_{\text {торм }}=e f_{s}(q)\left[\frac{e p_{1}}{p_{1} k}-\frac{e p_{2}}{p_{2} k}\right] .
\]
В нерелятивистском случае $\left|\mathbf{p}_{1}\right| \ll m, p_{1} k \simeq m k_{0}$. При этом
\[
F_{\text {торм }}=f_{s}(q) \frac{e}{k_{0}} \mathbf{e}\left(\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}\right)
\]
где $\mathbf{v}_{1,2}=\mathbf{p}_{1,2} / m-$ скорости электрона до и после рассеяния. Формула (2.155) совпадает с результатом классической электродинамики для тормозного излучения.
Вычислим для этого случая сечение процесса:
\[
d \sigma_{\text {торм }}=\frac{1}{\mathcal{J}}\left|F_{\text {торм }}\right|^{2} d^{4} p_{2} \delta\left(p_{2}^{2}-m^{2}\right)(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{2}+k-p_{1}-q\right) \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{6}} \delta\left(k^{2}\right) .
\]
Величина
\[
d \sigma_{s}=\frac{1}{\mathcal{J}}\left|f_{\mathcal{s}}\right|^{2} \frac{d^{4} p_{2}}{(2 \pi)^{3}} \delta\left(p_{2}^{2}-m^{2}\right)(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{2}+k-p_{1}-q\right)
\]
– это сечение рассеяния электрона, так что
\[
\begin{array}{c}
d \sigma_{\text {торм }}=d \sigma_{s} \frac{e^{2}}{k_{0}^{2}} \mathbf{e}\left(\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}\right)^{2} \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{3}} \delta\left(k^{2}\right) \\
\frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{3}} \delta\left(k^{2}\right)=\frac{d k_{0} k d k^{2}}{(2 \pi)^{3} 2} \delta\left(k_{0}^{2}-k^{2}\right) d \Omega=\frac{d k_{0}}{(2 \pi)^{3}} \frac{k_{0}}{2} d \Omega
\end{array}
\]
т. e.
\[
d \sigma_{\text {торм }}=d \sigma_{s} \frac{e^{2}}{16 \pi^{3}}\left|\mathbf{e}\left(\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}\right)\right|^{2} d \Omega \frac{d k_{0}}{k_{0}},
\]
или, учитывая, что $e^{2} / 4 \pi=\alpha=1 / 137$,
\[
d \sigma_{\text {торм }}=d \sigma_{s} \frac{\alpha}{2 \pi}\left|\mathbf{e}\left(\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}\right)\right|^{2} \frac{d \Omega}{2 \pi} \frac{d k_{0}}{k_{0}} .
\]
Мы видим, что $d \sigma_{\text {торм }} \rightarrow \infty$ при $k_{0} \rightarrow 0$, и полное сечение расходится логарифмически в области малых частот. Интегрируя сечение по энергиям фотона от $k_{0 \min }$ до $k_{0 \max }$, получим
\[
d \sigma_{t}=d \sigma_{s} \frac{\alpha}{2 \pi}\left|\mathbf{e}\left(\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}\right)\right|^{2} 2 \ln \frac{k_{0 \max }}{k_{0 \min }} .
\]
Верхние частоты испускаемых фотонов, очевидно, ограничены энергией электрона, т. е. $k_{0 \max }<p_{10}$. Нижний же предел может быть выбран произвольно малым, положив $k_{0 \min }=0$, мы бы получили бесконечное сечение (так называемая инфракрасная катастрофа). В данном случае дело в том, что не работает первое приближение по константе связи $\alpha$.
Выражение (2.159) фактически устанавливает критерий применимости первого порядка по $\alpha$ :
\[
\frac{\alpha}{2 \pi} \ln \frac{k_{0 \max }}{k_{0 \min }}<1 .
\]
Если это неравенство нарушается, процессы с испусканием одного или более фотонов не подавлены. Это можно понять и с другой точки зрения. При $k \rightarrow 0$ мы имеем классическое электромагнитное поле, что отвечает большому числу фотонов, и, естественно, поэтому мы не можем ограничиться однофотонным процессом.
При обсуждении высших поправок мы еще вернемся к этому вопросу, а теперь перейдем к другому случаю:
\[
p_{10} \gg m, \frac{k_{0}}{p_{10}} \ll 1 .
\]
Пренебрегая в числителях (2.151) членами $\hat{e} \hat{k}$, как и раньше, получим
\[
F_{\text {торм }}=e f_{s}(q)\left[\frac{e p_{1}}{p_{1} k}-\frac{e p_{2}}{p_{2} k}\right] .
\]
Далее, для фотона, испущенного на угол $\theta_{1}$, имеем
\[
p_{1} k=p_{10} k_{0}-p_{1} k_{0} \cos \theta_{1}=p_{1} k_{0}\left[1-\cos \theta_{1}+\frac{m^{2}}{2 p_{1}^{2}}\right],
\]
поскольку $p_{10}$ можно разложить по $m^{2} / p_{1}^{2}$ в силу (2.161):
\[
p_{10}=\sqrt{m^{2}+p_{1}^{2}}=p_{1}+\frac{m^{2}}{2 p_{1}},
\]
или, введя $\theta_{0}^{2}=m^{2} / p_{1}^{2}$ и учитывая, что $1-\cos \theta_{1} \approx \theta_{1}^{2} / 2$,
\[
p_{1} k=\frac{p_{1} k_{0}}{2}\left(\theta_{1}^{2}+\theta_{0}^{2}\right) .
\]
Если $\theta_{1} \ll 1$ и $m^{2} / 2 p_{1}^{2} \ll 1$, то знаменатель в амплитуде снова мал и вероятность тормозного излучения велика. Таким образом, тормозные фотоны, в основном, излучаются на малые углы.
Числитель в выражении для амплитуды равен
\[
e p_{1}=-p_{1} \sin \theta_{1} \simeq-p_{1} \theta_{1}
\]
(фотоны поляризованы параллельно $\mathbf{p}_{2}-\mathbf{p}_{1}$ ). Аналогичные выражения получаются и для второго слагаемого амплитуды, так что окончательно имеем
\[
F_{\text {торм }}=-e f_{s}(q) \frac{2}{k}\left[\frac{\theta_{1}}{\theta_{1}^{2}+\theta_{0}^{2}}-\frac{\theta_{2}}{\theta_{2}^{2}+\theta_{0}^{2}}\right] .
\]
Большие импульсы электрона здесь сокращаются.
Из (2.165) видно, что если электрон рассеялся на очень малый угол $\theta_{s} \ll \theta_{1} \approx \theta_{2}$, то амплитуды излучения до и после рассеяния вычитаются и тормозного излучения практически нет. Однако, при рассеянии на достаточно большой угол, $\theta_{s} \gg \theta_{0}$ одна из амплитуд может быть много больше другой и сокращение более не имеет места. Это возможно в двух случаях: $\theta_{2} \approx \theta_{s} \gg \theta_{1}$ или наоборот $\theta_{1} \approx \theta_{s} \gg \theta_{2}$.
Это означает, что в релятивистском случае тормозное излучение сконцентрировано внутри двух узких конусов, $\theta_{1} \ll \theta_{s}$ и $\theta_{2} \ll \theta_{s}$, которые направлены вдоль $\mathbf{p}_{1}$ и $\mathbf{p}_{2}$. Эти конусы совершенно одинаковы.
Рассмотрим для примера сечение излучения в одном из этих конусов.
\[
\begin{array}{c}
d \sigma_{\text {торм }}=d \sigma_{s} \frac{4 e^{2}}{k^{2}} \frac{\theta_{1}^{2}}{\left(\theta_{1}^{2}+\theta_{0}^{2}\right)^{2}} \frac{d^{4} k \delta\left(k^{2}\right)}{(2 \pi)^{3}}, \\
\frac{d^{4} k \delta\left(k^{2}\right)}{(2 \pi)^{3}}=\frac{k_{0} d k_{0}}{(2 \pi)^{3} 2} 2 \pi d \cos \theta \\
d \sigma_{\text {Tорм }}=d \sigma_{s} \frac{2 e^{2}}{8 \pi^{3}} \frac{d k_{0}}{k_{0}} 2 \pi \sin \theta_{1} d \theta_{1} \frac{\theta_{1}^{2}}{\left(\theta_{1}^{2}+\theta_{0}^{2}\right)^{2}}=d \sigma_{s} \frac{\alpha}{\pi} \frac{d k_{0}}{k_{0}} \frac{\theta_{1}^{2} d \theta_{1}^{2}}{\left(\theta_{1}^{2}+\theta_{0}^{2}\right)^{2}} .
\end{array}
\]
Интегрируя по углам в узком конусе $\Delta \theta$ и энергиям фотона, получим полное сечение тормозного излучения в виде (при $\theta_{0} \ll \Delta \theta$ ):
\[
d \sigma_{t}=d \sigma_{s} \frac{\alpha}{\pi} \ln \frac{k_{0 \max }}{k_{0 \min }} \ln \frac{\Delta \theta}{\theta_{0}^{2}} \cong d \sigma_{s} \frac{\alpha}{\pi} \ln \frac{p_{1}}{k_{0 \min }} \ln \frac{p_{1}^{2}}{m^{2}},
\]
поскольку $k_{0 \max }=p_{1}, \theta_{0}=m^{2} / 2 p_{1}^{2}$.
Таким образом, сечение растет с ростом энергии налетающей частицы как квадрат логарифма (это все при рассеянии на достаточно большой угол). Следовательно, при очень больших энергиях наша теория (основанная на первом порядке по $\alpha$ ) тоже неприменима.
