Выше мы рассмотрели следующие величины: функцию Грина электрона $G$, функцию Грина фотона $D_{\mu
u}$ и вершинную часть $\Gamma_{\mu}$. Убедились, что через них выражаются все наблюдаемые величины. Мы показали, что точные функции Грина имеют вид:
\[
G=\frac{1}{m_{0}-\hat{p}+\Sigma(\hat{p})}, \quad D=\frac{1}{k^{2}\left[1-\Pi\left(k^{2}\right)\right]} .
\]

Функция $G$, вообще говоря, не имеет полюса при $\hat{p}=m_{0}$, т. е. эта \»голая\» (или затравочная) масса не имеет физического смысла. Далее мы явно выделили полюса этих функций, сопоставив им физические (или перенормированные) массы $m$, и записали функции Грина в виде:
\[
G(p)=\frac{Z_{2}}{m-\hat{p}+\Sigma_{c}(\hat{p})}=Z_{2} G^{c}(p),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\Sigma_{c}(\hat{p})=\frac{\Sigma(\hat{p})-\Sigma(m)-\Sigma^{\prime}(m)(\hat{p}-m)}{1-\Sigma^{\prime}(m)} \approx(\hat{p}-m)^{2}, \\
Z_{2}=\frac{1}{1-\Sigma^{\prime}(m)},
\end{array}
\]

Аналогично, функция Грина фотона
\[
D\left(k^{2}\right)=\frac{Z_{3}}{k^{2}\left[1-\Pi_{c}\left(k^{2}\right)\right]}=Z_{3} D^{c}\left(k^{2}\right),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\Pi_{c}\left(k^{2}\right)=\frac{\Pi\left(k^{2}\right)-\Pi(0)}{1-\Pi(0)} \sim k^{2}, \\
Z_{3}=\frac{1}{1-\Pi(0)} .
\end{array}
\]

Перенормированная масса фотона остается равной нулю. Для вершинной части мы получили
\[
\Gamma_{\mu}=Z_{1}^{-1} \Gamma_{\mu}^{c} \quad, \quad \Gamma_{\mu}^{c}(m, m)=\gamma_{\mu} .
\]

Далее было показано, что все графики выражаются через перенормированные величины $\Gamma_{\mu}^{c}, G^{c}, D^{c}$ точно так же, как и через неперенормированные $\Gamma_{\mu}, G, D$, если ввести перенормированный заряд
\[
e_{c}^{2}=Z_{3} e^{2}
\]

и заменить \»голье\» массы на перенормированные (было показано, что $\left.Z_{1}=Z_{2}\right)$.

Таким образом, все физические величины можно выразить через наблюдаемые заряд и массу. Возникает вопрос, можно ли вычислить $e_{c}$ и $m$ через затравочные величины? Оказывается, нельзя, поскольку интегралы расходятся. С другой стороны, нам пришлось ввести перенормированные $G^{c}, D^{c}, \Gamma^{c}$, а чтобы это имело смысл, мы должны показать, что в эти величины не входят ни затравочная масса, ни затравочный заряд. Для этого нам нужно найти уравнения для $\Gamma^{c}, \Sigma^{c}, \Pi^{c}$ и так их сформулировать, чтобы в них вошли только перенормированные заряд и масса, но не затравочные величины. Тогда вся процедура перенормировок будет иметь смысл.

Выясним сначала, какие бывают расходимости и отчего они происходят. Укажем типы расходимостей:
1. ультрафиолетовая, возникает при $k \rightarrow \infty$;
2. инфракрасная, возникает при $k \rightarrow 0$;
3. возможные полюса амплитуд.
Мы уже обсудили физический смысл инфракрасных расходимостей и показали, что для разумно поставленных задач они отсутствуют. Что касается последнего типа расходимостей, то при некоторых определенных значениях внешних импульсов амплитуды, действительно, могут иметь особенности, например, если в каком-нибудь пропагаторе окажется $k^{2}-m^{2}=0$. Однако можно доказать, что если все наружные импульсы пространственноподобны и удовлетворяют неравенству треугольника, то эти сингулярности отсутствуют. Это ясно потому, что в этом случае всегда можно все контуры интегрирования в фейнмановских интегралах развернуть так, что все импульсы станут евклидовыми (рис. 34).
261
Рис. 34

Физические амплитуды (которые имеют времениподобные внешние импульсы) получаются из амплитуд с евклидовскими импульсами с помощью аналитического продолжения. Сингулярности в этих амплитудах получаются именно в результате продолжения. Эти сингулярности имеют непосредственный физический смысл, связанный с условием унитарности (см. главу 3), и мы не будем их здесь обсуждать.

Остаются лишь так называемые ультрафиолетовые расходимости, возникающие при $k \rightarrow \infty$.
Рассмотрим произвольную скелетную диаграмму
Очевидно, что в силу сохранения тока число внешних электронных линий должно быть четным. Обозначим через $F_{e}$ число внутренних электронных линий, $F_{\gamma}$ — внутренних фотонных линий, $N_{e}$ — внешних электронных линий и $N_{\gamma}$ — внешних фотонных линий. Тогда амплитуда, соответствующая такой диаграмме, будет описываться интегралом
\[
\int \frac{d^{4} k_{1} \ldots d^{4} k_{l}}{k_{1}^{2} k_{2}^{2} \ldots k_{F_{\gamma}}^{2}\left(\hat{k}_{F_{\gamma}+1}-m\right)\left(\hat{k}_{F_{\gamma}+2}-m\right) \ldots\left(\hat{k}_{F_{\gamma}+F_{c}}-m\right)},
\]

где $l$ — число независимых внутренних линий, по которым ведется интегрирование. Его легко определить. Пусть в диаграмме $n$ вершин, в каждой вершине сходятся 3 линии, причем $k_{i}+k_{j}=k_{l}$.

Так как имеется $n$ законов сохранения ( $\delta$-функций) по числу вершин, а одна из этих $\delta$-функций выражает общий закон сохранения и не содержит внутренних импульсов, то число независимых импульсов равно
\[
l=F_{e}+F_{\gamma}-n+1 .
\]

Если в интеграле (5.1) суммарная степень дифференциалов больше или равна степени знаменателя, то он расходится. То есть только при
\[
4 l-2 F_{\gamma}-F_{e}=3 F_{e}+2 F_{\gamma}-4 n+4<0
\]

интеграл сходится. Покажем теперь, что, в действительности, это выражение не зависит от процессов во внутренней части диаграммы, т. е. ни от $F_{e}$, ни от $F_{\gamma}$. Она зависит только от числа внешних линий, т. е. от вида самого процесса, описываемого диаграммой. Действительно, если внутри имеем замкнутую электронную линию (см. рис. 35), то число промежутков равно числу вершин, т. е.
Рис. 35

Если электронную линию разомкнуть, то число внутренних линий уменьшится на одну, а число внешних увеличивается на две, число вершин не изменится, т. е.
\[
n=F_{e}+\frac{N_{e}}{2} .
\]

На каждую внутреннюю фотонную линию приходится две вершины, так как она должна начаться на электронной линии и закончиться на электронной линии, а на каждую внешнюю линию приходится одна вершина, т. е.
\[
n=2 F_{\gamma}+N_{\gamma} .
\]

Таким образом, если задано число внешних линий и число вершин, то этим определяется и число внутренних линий:
\[
F_{e}=n-\frac{N_{e}}{2} \quad, \quad F_{\gamma}=\frac{n}{2}-\frac{N_{\gamma}}{2} .
\]

Тогда условие сходимости интеграла:
\[
\mathcal{K}=3 F_{e}+2 F_{\gamma}-4 n+4=-\frac{3}{2} N_{e}-N_{\gamma}+4<0,
\]

т. е. определяется числом внешних линий, как и говорилось выше. Видно также, что когда число внешних линий велико, т. е. процесс достаточно сложный, то, наверняка, никаких расходимостей нет и все в порядке.
1. Рассмотрим простейшие диаграммы.
Как мы уже видели, собственная энергия электрона формально
2. расходится линейно (реально — логарифмически).
Поляризационный оператор фотона расходится квадратично, на самом же деле калибровочная инвариантность уменьшает расхо-
3. димость до логарифмической.
4.
Вершинная часть расходится логарифмически.
Такая диаграмма расходится линейно, однако мы покажем, что из инвариантности относительно зарядового сопряжения она обращается в нуль.

6. Диаграмма сходится.
7.
Тоже сходится.
Расходится логарифмически (ниже будет показано, что реально такая амплитуда сходится благодаря калибровочной инвариантности).

Точно так же обращается в нуль любая диаграмма без внешних заряженных частиц и с нечетным числом внешних фотонов. Это так называемая теорема Фарри. Действительно, наша теория инвариантна относительно зарядового сопряжения. Однако при зарядовом сопряжении знак волновой функции фотона меняется: $e_{\mu} \rightarrow-e_{\mu}$, т. е. амплитуда для

нечетного числа фотонов должна изменить знак. Но с другой стороны, откуда амплитуда \»знает\», что внутри произошло изменение частиц на античастицы? От этого ничего не изменится, поэтому она должна быть тождественно равна нулю. Поясним это на простейшей диаграмме:

При зарядовом сопряжении эти две диаграммы меняются местами и, кроме того, меняют знак, следовательно, их сумма равна нулю.
Рассмотрим теперь рассеяние света на свете:

В силу сохранения тока должно быть
\[
k_{1 \mu_{1}} M_{\mu_{1} \mu_{2} \mu_{3} \mu_{4}}=0
\]

для импульса любого из внешних фотонов $k_{i}$. Рассмотрим

Так как интеграл расходится при больших $p$, то $k_{i}$ в знаменателях можно пренебречь и в амплитуде никакой зависимости от внешних импульсов нет. Следовательно, расходящаяся часть амплитуды (5.4) не удовлетворяет условию сохранения тока (5.5), поскольку величина, не зависящая от $k_{\mu}$, не может дать нуль при умножении на $k$. На самом деле, нужно сложить все диаграммы

тогда оказывается, что (5.5) удовлетворяется автоматически, а сумма интегралов конечна. Причем все величины, удовлетворяющие (5.5), сходятся при любом способе регуляризации, не нарушающем закона сохранения тока.

Таким образом, расходящимися оказываются только три величины: собственная энергия электрона, поляризационный оператор фотона и вершинная часть:

Посмотрим, как перенормировки устраняют эти расходимости. Сначала будем считать, что
\[
G=G_{0}, D=D_{0},
\]

и попробуем построить уравнение для вершинной части. По определению,

Это фактически и есть уравнение для $\Gamma_{\mu}$. Действительно, (5.6) можно перерисовать и так:

Проинтегрировав (5.7), получим (5.6). Причем существенно, что в (5.7) не входят диаграммы типа
3

поскольку такая диаграмма содержится уже в

Между тем диаграммы

расходятся по-разному. Выясним, как именно.
1.
\[
\frac{1}{\hat{p}_{1}-\hat{k}_{1}-m} \overbrace{p_{1}} \overbrace{p_{2}}^{\hat{p}_{2}-\hat{k}_{1}-m} \sim \int_{p}^{\Lambda} \frac{d^{4} k_{1}}{k_{1}^{4}} \sim \ln \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}},
\]

так как расходимость возникает при $k_{1} \gg p_{1}, p_{2}, m$.

(a) При $k_{2}$ фиксированном расходимости нет, имеем при $k_{1} \gg k_{2}$
\[
\int_{k_{2}}^{\infty} \frac{d^{4} k_{1}}{k_{1}^{8}} \sim \frac{1}{k_{2}^{4}} .
\]

Интегрирование по $d^{4} k_{2}$ теперь дает
\[
\int \frac{d^{4} k_{2}}{k_{2}^{4}} \sim \ln q .
\]
(b) Если, наоборот, $k_{2} \gg k_{1}$ ( $k_{1}$ фиксированно), то будем иметь
\[
\int_{k_{1}}^{\Lambda} \frac{d^{4} k_{2}}{k_{2}^{4}} \sim \ln \frac{\Lambda^{2}}{k_{1}^{2}}
\]

При интегрировании по $d^{4} k_{1}$ получим
\[
\int_{p}^{\Lambda} \frac{d^{4} k_{1}}{k_{1}^{4}} \ln \frac{\Lambda^{2}}{k_{1}^{2}} \sim \ln ^{2} \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}} .
\]

То есть расходимость усилилась по сравнению с
今. и это

естественно, поскольку в графике

содержится прежняя вершина $\sim \ln \Lambda^{2} / p^{2}$ и фактически еще одна диаграмма

тоже пропорциональная $\ln \Lambda^{2} / p^{2}$.
3. Вторая диаграмма
Интеграл сходится, если интегрировать по $d^{4} k_{2}$ при фиксированном $k_{1}\left(k_{2} \gg k_{1}\right)$ или, наоборот, интегрировать по $d^{4} k_{1}$ при фиксированном $k_{2}\left(k_{1} \gg k_{2}\right)$. Единственная ситуация, когда интеграл может разойтись, — это $k_{1} \sim k_{2}$, при этом получим
\[
\int \frac{d^{4} k}{k^{4}} \sim \ln \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}} .
\]

Это рассмотрение можно провести для более сложных диаграмм и получить важное утверждение: сколько бы членов с точными вершинными частями мы ни взяли в разложении (5.7) (скелетные диаграммы), все они расходятся только логарифмически. Поэтому, как мы увидим, процедура вычитаний (перенормировок) приводит к конечному результату, и можно написать уравнение для вершинной части, которое вообще не будет содержать расходимостей.

Построим это, полностью конечное, уравнение для вершинной части. Полная вершинная часть может быть записана в виде
\[
\Gamma_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}, q\right)=\gamma_{\mu}+\Lambda_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}, q\right) .
\]

На массовой поверхности имеем
\[
\Lambda_{\mu}(m, m, 0)=\gamma_{\mu} \Lambda(m, m, 0) .
\]

Представим уравнение (5.8) в виде
\[
\Gamma_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}, q\right)=\gamma_{\mu}(1+\Lambda(m, m, 0))+\Lambda_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}, q\right)-\Lambda_{\mu}(m, m, 0) .
\]

В терминах разложения по скелетным диаграммам уравнение (5.10) имеет вид:
\[
\Gamma_{\mu}\left(p_{1}, p_{2}, q\right)=\gamma_{\mu}(1+\Lambda(m, m, 0))+
\]

Уравнение (5.11) содержит $\Gamma_{\mu}$ и в правой, и в левой части, т. е. это интегральное уравнение для вершинной части. Подставим в (5.11) $\Gamma_{\mu}$ в виде
\[
\Gamma_{\mu}=\Gamma_{\mu}^{c} Z_{1}^{-1},
\]

где
\[
Z_{1}^{-1}=1+\Lambda(m, m, 0) .
\]

Тогда получим
$Z_{1}^{-1}$ в верхних вершинах сократились, а в остальных дали перенормированный заряд $e_{c}=Z_{1}^{-1} e$ (мы пока отвлекаемся от перенормировок функций Грина). Расходимость же исчезла, поскольку в каждом порядке под интегралы входят разности:

которые стремятся к нулю при $k \rightarrow \infty$ в силу замечательного свойства:
\[
\Gamma(a, b, c) \rightarrow \Gamma(b) \quad \text { при } \quad b \gg a, c,
\]
т. е. Г зависит от наибольшего импульса. Это свойство легко подметить из того же уравнения или прямо из диаграмм теории возмущений.

Перейдем теперь к реальной задаче, когда функции Грина электрона и фотона точные. Вершинная часть будет иметь вид:
e

Как и в предыдущем случае, введем
\[
\Gamma_{\mu}=Z_{1}^{-1} \Gamma_{\mu}^{c} .
\]

Прибавляя $\Lambda_{\mu}(m, m, 0)=\gamma_{\mu} \Lambda(m, m, 0)$ и вычитая почленно, получим, аналогично предыдущему,
\[
\Gamma_{\mu}^{c}=
\]

Как и прежде, $Z_{1}^{-1}$ в верхних вершинах сократятся, а в остальных появится множитель $Z_{1}^{-1}$; кроме того, так как $G=Z_{2} G^{c}, D=Z_{3} D^{c}$, в каждой вершине появятся множители $Z_{2} Z_{3}^{\frac{1}{2}}$. Вместе они дадут перенормированный заряд
\[
e_{c}=e Z_{1}^{-1} Z_{2} Z_{3}^{\frac{1}{2}}
\]

а поскольку $Z_{1}=Z_{2}$,
\[
e_{c}^{2}=Z_{3} e^{2} .
\]

Таким образом, действительно, мы получили интегральное уравнение для перенормированной вершины $\Gamma_{\mu}^{c}$, в которое входят только перенормированный заряд $e_{c}$ и перенормированные функции Грина электрона и фотона $G^{c}$ и $D^{c}$. Оно будет конечным, если нам удастся построить конечные уравнения для функций Грина.
Начнем с
\[
\underline{\underline{G}}=\underline{G_{0}}+\underline{G_{0}+\square(p)} .
\]

Для собственной энергии имеем
\[
-\Sigma(p)=
\]

Обратим внимание, что здесь в начале стоит $\gamma_{\mu}$, а не точная вершинная часть, поскольку все процессы начинаются с точки:

а далее может происходить все, что угодно. Таким образом,
\[
-\Sigma(p)=e^{2} \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \gamma_{\mu} G(p-k) \Gamma_{\mu}(p-k, p, k) D\left(k^{2}\right) .
\]

Это уравнение Швингера-Дайсона. Аналогичное уравнение можно также получить и для поляризационного оператора фотона:

T. e.
\[
\Pi_{\mu
u}\left(k^{2}\right)=-e^{2} \operatorname{Sp} \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i}\left\{\gamma_{\mu} G(p) \Gamma_{
u}(p, k-p) G(k-p)\right\} .
\]

Пользы, однако, от этих уравнений мало, поскольку интегралы для $\Sigma(p)$ и $\Pi_{\mu
u}\left(k^{2}\right)$ расходятся. Но нас интересуют не сами $\Sigma(p)$ и $\Pi\left(k^{2}\right)$, а разности вида
\[
\Sigma(p)-\Sigma(m)-\Sigma^{\prime}(m)(\hat{p}-m),
\]

так как именно они входят в функции Грина. Такое двойное вычитание и устраняет расходимость.

Посмотрим, как это происходит. Для этого рассмотрим производную $\partial \Sigma(p) / \partial p_{\mu}$. Произвольный член разложения собственной энергии электрона имеет вид:

Таким образом, имеется одна электронная линия, и внешний импульс $p$ входит в виде разностей $p-k_{1}, p-k_{1}-k_{2}$ и т. д. Производная от каждого электронного пропагатора будет иметь вид:
\[
\frac{\partial}{\partial p_{\mu}} \frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}}=\frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}} \gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}} .
\]

Таким образом, производная содержит уже два пропагатора и $\gamma_{\mu}$, т. е. представляет собой не что иное, как вершинную часть с нулевым импульсом фотона. Графически, дифференцируя почленно $\Sigma(p)$, получаем
T. e.

Итак, получено линейное уравнение относительно $\partial \Sigma / \partial p_{\mu}$. В частности, из (5.18) следует тождество Уорда:
\[
\gamma_{\mu}-\frac{\partial \Sigma}{\partial p_{\mu}}=\Gamma_{\mu}(p, p, 0)
\]

В уравнении (5.18) можно проделать процедуру вычитания так

же, как и для вершинной части. Действительно,
\[
\frac{\partial}{\partial p_{\mu}} G^{-1}(p)=\frac{\partial}{\partial p_{\mu}}[m-\hat{p}+\Sigma(p)]=\bigwedge^{\prime+\cdots}
\]

Вводя перенормированную функцию Грина, согласно $G^{-1}=Z_{2}^{-1} G_{c}^{-1}$, где $Z_{2}^{-1}=1-\Sigma^{\prime}(m)$, прибавляя и вычитая почленно $\Sigma^{\prime}(m)$ (что эквивалентно прибавлению и вычитанию $\Lambda(m, m)$ ), получим выражение:
\[
\frac{\partial G_{c}^{-1}}{\partial p_{\mu}}=
\]

в которое входит только перенормированный заряд $e_{c}$ и которое не содержит расходимости.

Аналогично можно построить похожее по структуре линейное уравнение для $\partial П\left(k^{2}\right) / \partial k_{\mu}$ и убедиться, что его также можно перенормировать.

Таким образом, все можно выразить через перенормированные величины, заряд и массу, и нигде при этом расходимость не встретится. Эти выводы мы получили, исходя из теории возмущений, и на самом деле у нас нет уверенности, что они останутся верными при выходе за ее рамки.