Какой процесс может соответствовать взаимодействию между заряженной частицей и фотоном?

Нам известно, что заряды испускают электромагнитные волны, т.е. наша частица могла бы испустить фотон. Таким образом, за основу можно было бы принять процесс

Амплитуда испускания фотона с поляризацией $\mu$ есть
\[
G_{\mu}\left(x_{3}, x_{2} ; x_{1}\right)=\int D_{\mu
u}\left(x_{3}-x\right) G\left(x_{2}-x\right) \Gamma_{
u}(x) G\left(x-x_{1}\right) d^{4} x .
\]

Амплитуда взаимодействия $\Gamma_{
u}$, в принципе, может зависеть и от поляризации, что мы и отметили индексом $
u$. Как и раньше, $\Gamma_{
u}$ не должна зависеть от $x_{\mu}$, с другой стороны, это вектор, а единственный вектор, который мы можем придумать, кроме $x_{\mu}$, есть $\partial / \partial x_{\mu}$, т. е.
\[
\begin{array}{l}
G\left(x_{2}-x\right) \Gamma_{
u}(x) G\left(x-x_{1}\right)= \\
\quad=a G\left(x_{2}-x\right) \frac{\partial G\left(x-x_{1}\right)}{\partial x_{
u}}+b \frac{\partial G\left(x_{2}-x\right)}{\partial x_{
u}} G\left(x-x_{1}\right),
\end{array}
\]

где $a$ и $b$ – некоторые константы. Кроме того, на взаимодействие мы должны наложить условие, чтобы избавиться от двух лишних поляризаций, входящих в $D_{\mu
u} \sim \delta_{\mu
u}$. Поскольку полученное поле должно

удовлетворять условию Лоренца, то
\[
\frac{\partial G_{\mu}\left(x_{3}, x_{2} ; x_{1}\right)}{\partial x_{3 \mu}}=0 .
\]
$G_{\mu}$ зависит от $x_{3}$ только через посредство $D_{\mu
u}$, поэтому ее дифференцирование в (1.128) сводится к дифференцированию $D_{\mu
u}$. Дифференцирование $D_{\mu
u}$ дает следующий результат:
\[
\frac{\partial D_{\mu
u}\left(x_{3}-x\right)}{\partial x_{3 \mu}}=i \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} e^{i k\left(x_{3}-x\right)} k_{\mu} \sum_{\lambda=0}^{3} e_{\mu}^{\lambda} e_{
u}^{\lambda} .
\]

Но $k_{\mu} e_{\mu}^{\lambda}=0$ только для 3 -х векторов $e^{\lambda}(\lambda=1,2,3)$, а $k_{\mu} e_{\mu}^{0}
eq 0$. Чтобы выполнялось условие Лоренца, этот член должен выпасть при интегрировании в (1.126). Таким образом, сохранение тока требует такого условия на $\Gamma_{
u}$, чтобы поляризация $e_{\mu}^{0}$ не давала вклада в интеграл (1.126).
Вычислим $\partial G_{\mu} / \partial x_{3 \mu}$ и приравняем ее нулю $\left(D_{\mu
u} \equiv \delta_{\mu
u} D(x)\right.$ ):
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial G_{\mu}\left(x_{3}, x_{2} ; x_{1}\right)}{\partial x_{3 \mu}}=g_{\mu
u} \int \frac{\partial D\left(x_{3}-x\right)}{\partial x_{3 \mu}} \delta_{\mu
u} G\left(x_{2}-x\right) \Gamma_{
u} G\left(x-x_{1}\right) d^{4} x= \\
=\int D\left(x_{3}-x\right) \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\left(G\left(x_{2}-x\right) \Gamma_{
u} G\left(x-x_{1}\right)\right) d^{4} x=0 .
\end{array}
\]

Здесь мы воспользовались тем, что $\partial D\left(x_{3}-x\right) / \partial x_{3 \mu}=-\partial D\left(x_{3}-x\right) / \partial x_{\mu}$ и проинтегрировали по частям. (1.130) выполнится, если
\[
\frac{\partial}{\partial x_{\mu}} G\left(x_{2}-x\right) \Gamma_{\mu} G\left(x-x_{1}\right)=0 .
\]

Мы получили условие на взаимодействие. Подставим (1.127) в (1.131):
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\left(G\left(x_{2}-x\right) \Gamma_{\mu}(x) G\left(x-x_{1}\right)\right)= \\
=a \frac{\partial G\left(x_{2}-x\right)}{\partial x_{\mu}} \frac{\partial G\left(x-x_{1}\right)}{\partial x_{\mu}}+b \frac{\partial G\left(x_{2}-x\right)}{\partial x_{\mu}} \frac{\partial G\left(x-x_{1}\right)}{\partial x_{\mu}}+ \\
+a G\left(x_{2}-x\right) \frac{\partial^{2} G\left(x-x_{1}\right)}{\partial x_{\mu}^{2}}+b \frac{\partial^{2} G\left(x_{2}-x\right)}{\partial x_{\mu}^{2}} G\left(x-x_{1}\right) .
\end{array}
\]

Поскольку $\partial^{2} G(x) / \partial x_{\mu}^{2}=-m^{2} G-i \delta(x)$, если положить $a=-b$, члены с массой в (1.132) взаимно уничтожаются, остается
\[
\frac{\partial}{\partial x_{\mu}} G \Gamma_{\mu} G=a\left[G\left(x_{2}-x_{1}\right)(-i) \delta\left(x_{1}-x\right)-G\left(x_{2}-x_{1}\right)(-i) \delta\left(x-x_{2}\right)\right],
\]
т. е. равенства нулю мы не получили. С другой стороны, член в правой части отличен от нуля только при $x_{1}, x_{2}=x$, т. е. в момент приготовления источника электрон, не успев никуда распространиться, испустил фотон, нас же при реальной постановке эксперимента интересует, что с электроном произошло потом, поэтому вклада в физические величины этот член не дает. В принципе, мы бы могли его скомпенсировать введением взаимодействия типа

которое поддерживает точное сохранение тока в момент приготовления частицы. Однако это дополнительное взаимодействие никогда не войдет в амплитуды физических процессов. Заряженные частицы, которые мы изучаем в природе, приготавливаются задолго до эксперимента – так, что фотоны, испущенные в процессе приготовления, никогда не попадут в детекторы.
Итак, за неимением лучшего мы получили
\[
\Gamma_{\mu}(x)=\gamma \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial x_{\mu}}
\]

Соответственно,
\[
G_{\mu}\left(x_{3}, x_{2} ; x_{1}\right)=\gamma \int D\left(x_{3}-x\right) G\left(x_{2}-x\right) \frac{\overleftrightarrow{\partial}}{\partial x_{\mu}} G\left(x-x_{1}\right) d^{4} x
\]

Этой амплитуде соответствует график:
Рис. 6
Посмотрим, является ли развитая нами теория удовлетворительной со следующей точки зрения. Рассмотрим область интегрирования в (1.134), где $t_{1}, t_{2}<t_{3}$. Это соответствует диаграмме:
Рис. 7

описывающей превращение двух заряженных частиц в фотон, но нам известно, что заряд-то вроде бы должен сохраняться. Есть и другое формальное противоречие, не связанное с зарядом. Если есть две одинаковые частицы со спином нуль, как известно, амплитуда любого процесса с этими частицами должна быть симметрична относительно их перестановки. Мы же получили явно антисимметричную амплитуду (см. (1.134)) (относительно перестановки $x_{1} \leftrightarrow x_{2}$ ).

Выход из такой ситуации есть, и заключается он в гипотезе, что для заряженных частиц имеет место вырождение по массе, т. е. для любой заряженной частицы существует античастица с той же массой, но противоположного заряда. Такая гипотеза приводит к другой возможности интерпретации графика на рис. 7: из $x_{2}$ движется не частица, а античастица. Можно считать, что $G(x)$ при $t>0$ имеет смысл функции распространения частицы, при $t<0$ – античастицы. Для того, чтобы спасти сохранение заряда, мы вынуждены приписать античастице противоположный заряд. Этим самым мы сразу же решаем и проблему с симметрией амплитуды. Действительно, если $t_{1}<t<t_{2}$, при замене $x_{1} \leftrightarrow x_{2}$ мы получим $t_{2}<t<t_{1}$, т. е. мы получаем диаграмму с распространением античастицы, а не частицы. Поскольку античастица нетождественна частице, мы не должны требовать симметрии этой амплитуды. Одновременно мы приходим к выводу, что амплитуда меняет знак при замене частицы на античастицу. Как мы увидим ниже, $\gamma$ пропорциональна электрическому заряду, так что это еще раз показывает, что заряд античастицы противоположен по знаку заряду частицы.

Существование античастиц в настоящее время является твердо установленным экспериментальным фактом, а их предсказание, собственно, явилось следствием релятивистской инвариантности и сохранения заряда. Вообще, существование античастиц есть всегда следствие сохранения некоторого (не обязательно электрического) заряда, существование антинейтрона, например, связано с сохранением барионного заряда, анти- $K$-мезона – с сохранением гипер-заряда и т. д.