Какой процесс может соответствовать взаимодействию между заряженной частицей и фотоном?

Нам известно, что заряды испускают электромагнитные волны, т.е. наша частица могла бы испустить фотон. Таким образом, за основу можно было бы принять процесс

Амплитуда испускания фотона с поляризацией $\mu$ есть
$$G_{\mu }(x_3,x_2;x_1)=\int D_{\mu u}(x_3-x)G(x_2-x){\mathrm{\Gamma }}_u(x)G(x-x_1)d^{4}x.$$

Амплитуда взаимодействия ${\mathrm{\Gamma }}_u$, в принципе, может зависеть и от поляризации, что мы и отметили индексом $u$. Как и раньше, ${\mathrm{\Gamma }}_u$ не должна зависеть от $x_{\mu }$, с другой стороны, это вектор, а единственный вектор, который мы можем придумать, кроме $x_{\mu }$, есть $\partial /\partial x_{\mu }$, т. е.
$$\begin{array}{l}G(x_2-x){\mathrm{\Gamma }}_u(x)G(x-x_1)=\\ =aG(x_2-x)\frac{\partial G(x-x_1)}{\partial x_u}+b\frac{\partial G(x_2-x)}{\partial x_u}G(x-x_1),\end{array}$$

где $a$ и $b$ — некоторые константы. Кроме того, на взаимодействие мы должны наложить условие, чтобы избавиться от двух лишних поляризаций, входящих в $D_{\mu u}\sim {\delta }_{\mu u}$. Поскольку полученное поле должно

удовлетворять условию Лоренца, то
$$\frac{\partial G_{\mu }(x_3,x_2;x_1)}{\partial x_{3\mu }}=0.$$
$G_{\mu }$ зависит от $x_3$ только через посредство $D_{\mu u}$, поэтому ее дифференцирование в (1.128) сводится к дифференцированию $D_{\mu u}$. Дифференцирование $D_{\mu u}$ дает следующий результат:
$$\frac{\partial D_{\mu u}(x_3-x)}{\partial x_{3\mu }}=i\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^{4}i}{e}^{ik(x_3-x)}{k}_{\mu }\sum _{\lambda =0}^3{e}_{\mu }^{\lambda }{e}_u^{\lambda }.$$

Но $k_{\mu }{e}_{\mu }^{\lambda }=0$ только для 3 -х векторов $e^{\lambda }(\lambda =1,2,3)$, а $k_{\mu }{e}_{\mu }^{0}eq0$. Чтобы выполнялось условие Лоренца, этот член должен выпасть при интегрировании в (1.126). Таким образом, сохранение тока требует такого условия на ${\mathrm{\Gamma }}_u$, чтобы поляризация $e_{\mu }^0$ не давала вклада в интеграл (1.126).
Вычислим $\partial G_{\mu }/\partial x_{3\mu }$ и приравняем ее нулю $(D_{\mu u}\equiv {\delta }_{\mu u}D(x)$ ):
$$\begin{array}{c}\frac{\partial G_{\mu }(x_3,x_2;x_1)}{\partial x_{3\mu }}=g_{\mu u}\int \frac{\partial D(x_3-x)}{\partial x_{3\mu }}{\delta }_{\mu u}G(x_2-x){\mathrm{\Gamma }}_{u}G(x-x_1)d^{4}x=\\ =\int D(x_3-x)\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}\left(G(x_2-x){\mathrm{\Gamma }}_{u}G(x-x_1)\right)d^{4}x=0.\end{array}$$

Здесь мы воспользовались тем, что $\partial D(x_3-x)/\partial x_{3\mu }=-\partial D(x_3-x)/\partial x_{\mu }$ и проинтегрировали по частям. (1.130) выполнится, если
$$\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}G(x_2-x){\mathrm{\Gamma }}_{\mu }G(x-x_1)=0.$$

Мы получили условие на взаимодействие. Подставим (1.127) в (1.131):
$$\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}(G(x_2-x){\mathrm{\Gamma }}_{\mu }(x)G(x-x_1))=\\ =a\frac{\partial G(x_2-x)}{\partial x_{\mu }}\frac{\partial G(x-x_1)}{\partial x_{\mu }}+b\frac{\partial G(x_2-x)}{\partial x_{\mu }}\frac{\partial G(x-x_1)}{\partial x_{\mu }}+\\ +aG(x_2-x)\frac{{\partial }^{2}G(x-x_1)}{\partial x_{\mu }^2}+b\frac{{\partial }^{2}G(x_2-x)}{\partial x_{\mu }^2}G(x-x_1).\end{array}$$

Поскольку ${\partial }^{2}G(x)/\partial x_{\mu }^2=-m^{2}G-i\delta (x)$, если положить $a=-b$, члены с массой в (1.132) взаимно уничтожаются, остается
$$\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}G{\mathrm{\Gamma }}_{\mu }G=a[G(x_2-x_1)(-i)\delta (x_1-x)-G(x_2-x_1)(-i)\delta (x-x_2)],$$
т. е. равенства нулю мы не получили. С другой стороны, член в правой части отличен от нуля только при $x_1,x_2=x$, т. е. в момент приготовления источника электрон, не успев никуда распространиться, испустил фотон, нас же при реальной постановке эксперимента интересует, что с электроном произошло потом, поэтому вклада в физические величины этот член не дает. В принципе, мы бы могли его скомпенсировать введением взаимодействия типа

которое поддерживает точное сохранение тока в момент приготовления частицы. Однако это дополнительное взаимодействие никогда не войдет в амплитуды физических процессов. Заряженные частицы, которые мы изучаем в природе, приготавливаются задолго до эксперимента — так, что фотоны, испущенные в процессе приготовления, никогда не попадут в детекторы.
Итак, за неимением лучшего мы получили
$${\mathrm{\Gamma }}_{\mu }(x)=\gamma \frac{\overleftrightarrow{\partial }}{\partial x_{\mu }}$$

Соответственно,
$$G_{\mu }(x_3,x_2;x_1)=\gamma \int D(x_3-x)G(x_2-x)\frac{\overleftrightarrow{\partial }}{\partial x_{\mu }}G(x-x_1)d^{4}x$$

Этой амплитуде соответствует график:
Рис. 6
Посмотрим, является ли развитая нами теория удовлетворительной со следующей точки зрения. Рассмотрим область интегрирования в (1.134), где $t_1,t_2<t_3$. Это соответствует диаграмме:
Рис. 7

описывающей превращение двух заряженных частиц в фотон, но нам известно, что заряд-то вроде бы должен сохраняться. Есть и другое формальное противоречие, не связанное с зарядом. Если есть две одинаковые частицы со спином нуль, как известно, амплитуда любого процесса с этими частицами должна быть симметрична относительно их перестановки. Мы же получили явно антисимметричную амплитуду (см. (1.134)) (относительно перестановки $x_1\leftrightarrow x_2$ ).

Выход из такой ситуации есть, и заключается он в гипотезе, что для заряженных частиц имеет место вырождение по массе, т. е. для любой заряженной частицы существует античастица с той же массой, но противоположного заряда. Такая гипотеза приводит к другой возможности интерпретации графика на рис. 7: из $x_2$ движется не частица, а античастица. Можно считать, что $G(x)$ при $t>0$ имеет смысл функции распространения частицы, при $t<0$ — античастицы. Для того, чтобы спасти сохранение заряда, мы вынуждены приписать античастице противоположный заряд. Этим самым мы сразу же решаем и проблему с симметрией амплитуды. Действительно, если $t_1<t<t_2$, при замене $x_1\leftrightarrow x_2$ мы получим $t_2<t<t_1$, т. е. мы получаем диаграмму с распространением античастицы, а не частицы. Поскольку античастица нетождественна частице, мы не должны требовать симметрии этой амплитуды. Одновременно мы приходим к выводу, что амплитуда меняет знак при замене частицы на античастицу. Как мы увидим ниже, $\gamma$ пропорциональна электрическому заряду, так что это еще раз показывает, что заряд античастицы противоположен по знаку заряду частицы.

Существование античастиц в настоящее время является твердо установленным экспериментальным фактом, а их предсказание, собственно, явилось следствием релятивистской инвариантности и сохранения заряда. Вообще, существование античастиц есть всегда следствие сохранения некоторого (не обязательно электрического) заряда, существование антинейтрона, например, связано с сохранением барионного заряда, анти- $K$-мезона — с сохранением гипер-заряда и т. д.