Мы вычислили поправки первого порядка к рассеянию электронов внешним полем.
Иногда приходится вычислять много поправок более высокого порядка, например, в случае рассеяния на ядре с большим атомным номером $Z$, так как параметром разложения здесь является $Z \alpha$. К счастью, ситуация упрощается из-за того, что все частицы, обладающие большим зарядом $Z$, имеют большую массу $M \gg m_{e}$. Пользуясь этим обстоятельством, займемся изучением взаимодействия тяжельх заряженных частиц с электроном и попытаемся найти все поправки по $Z \alpha$. Итак, процесс взаимодействия описывается всевозможными диаграммами вида:

Рассмотрим пока первые три графика:

Для функции Грина тяжелой частицы имеем (предполагая, что она обладает спином $1 / 2$ )
\[
G(y)=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} e^{-i p y} \frac{M+\hat{p}}{M^{2}-p^{2}-i \delta} .
\]

Запишем $p_{0}$ в виде (пользуясь тем, что $\mathrm{p}^{2} \ll M^{2}$ )
\[
p_{0}=M+\varepsilon,
\]

где $\varepsilon-$ кинетическая энергия, тогда
\[
M^{2}-p^{2}=M^{2}-(M+\varepsilon)^{2}+\mathbf{p}^{2}=-2 M \varepsilon+\mathbf{p}^{2}=2 M\left(\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 M}-\varepsilon\right)
\]

и
\[
\begin{array}{l}
G(y)=\int \frac{d \varepsilon d^{3} p}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i(M+\varepsilon) \tau}\left[M\left(1+\gamma_{0}\right)+\varepsilon \gamma_{0}-\mathbf{p} \gamma\right] e^{i \mathbf{p y}}}{-2 M \varepsilon-i \delta+\mathbf{p}^{2}}= \\
=\frac{e^{-i M \tau}}{2 M} \theta(\tau) \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} e^{-i \frac{\mathbf{p}^{2}}{2 M} \tau} e^{i \mathbf{p y}}\left[M\left(1+\gamma_{0}\right)+\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 M} \gamma_{0}-\mathbf{p} \gamma\right]= \\
=\theta(\tau) e^{-i M \tau} \frac{1+\gamma_{0}}{2} \delta(\mathbf{y}) .
\end{array}
\]

Мы получили естественный результат – тяжелая частица покоится в одной точке и распространяется вперед только по времени. (Мы везде пренебрегли членами $\mathbf{p}^{2}$ по сравнению с массой покоя.) Нижней линии диаграммы

таким образом, будет отвечать выражение
\[
Z e \int G\left(y_{2}-y\right) i \gamma_{\mu} G\left(y-y_{1}\right) D(x-y) d^{4} y=
\]

\[
\begin{array}{l}
=i Z e \delta\left(\mathbf{y}_{2}-\mathbf{y}_{1}\right) \frac{1+\gamma_{0}}{2} \gamma_{\mu} \frac{1+\gamma_{0}}{2} \times \\
\times \int d \tau e^{-i\left(\tau_{2}-\tau\right) M-i\left(t-\tau_{1}\right) M} D(x-y) \theta\left(\tau_{2}-\tau\right) \theta\left(\tau-\tau_{1}\right)= \\
=\delta\left(\mathbf{y}_{2}-\mathbf{y}_{1}\right) g_{\mu 0} e^{-i M\left(\tau_{2}-\tau_{1}\right)}\left[-u\left(\mathbf{x}-\mathbf{y}_{1}\right)\right] \frac{1+\gamma_{0}}{2},
\end{array}
\]

где
\[
u=-i Z e \int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}} d \tau D\left(t-\tau, \mathbf{x}-\mathbf{y}_{1}\right) \theta\left(\tau_{2}-\tau_{1}\right) .
\]

При выводе (4.101) мы использовали то, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{1+\gamma_{0}}{2} \gamma_{i} \frac{1+\gamma_{0}}{2}=\frac{1+\gamma_{0}}{2} \frac{1-\gamma_{0}}{2} \gamma_{i}=0, \\
\frac{1+\gamma_{0}}{2} \gamma_{0} \frac{1+\gamma_{0}}{2}=\frac{1+\gamma_{0}}{2}
\end{array}
\]
т. e.
\[
\frac{1+\gamma_{0}}{2} \gamma_{\mu} \frac{1+\gamma_{0}}{2}=g_{\mu 0} \frac{1+\gamma_{0}}{2}
\]

Вычислим интеграл (4.102) при $\tau_{1} \rightarrow-\infty, \tau_{2} \rightarrow+\infty$. Имеем
\[
D\left(t-\tau, \mathbf{x}-\mathbf{y}_{1}\right)=\int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i k_{0}(t-\tau)+i \mathbf{k}\left(\mathbf{x}-\mathbf{y}_{1}\right)}}{k_{0}^{2}-\mathbf{k}^{2}},
\]

тогда
\[
\begin{aligned}
u & =-i Z e \iint_{-\infty}^{\infty} d \tau \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i k_{0}(t-\tau)+i \mathbf{k}\left(\mathbf{x}-\mathbf{y}_{1}\right)}}{k_{0}^{2}-\mathbf{k}^{2}}= \\
& =-i Z e \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i k_{0} t+i \mathbf{k}\left(\mathbf{x}-\mathbf{y}_{1}\right)}}{k_{0}^{2}-\mathbf{k}^{2}} \delta\left(k_{0}\right) 2 \pi= \\
& =-i Z e \int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3} i} \frac{e^{i \mathbf{k}\left(\mathbf{x}-\mathbf{y}_{1}\right)}}{-\mathbf{k}^{2}}=\frac{Z e}{4 \pi\left|\mathbf{x}-\mathbf{y}_{1}\right|},
\end{aligned}
\]
т. е. получили выражение, совпадающее с обычным кулоновским потенциалом для заряда $Z e$ :
\[
u=\frac{Z e}{4 \pi|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} .
\]

Зависимость от координаты электрона в (4.101) вошла только в $u$, так что график можно перерисовать так:

Нижней линии соответствует свободная функция Грина тяжелой частицы (4.100), а верхней, при $\tau_{1} \rightarrow-\infty, \tau_{2} \rightarrow \infty,-$ амплитуда рассеяния электрона внешним (кулоновским) полем, создаваемым частицей $Z e$, a именно:
\[
\int d^{4} x G\left(x_{2}-x\right)\left(i \gamma_{0} e u(x, y)\right) G\left(x-x_{1}\right) .
\]

Рассмотрим следующую диаграмму:

Нижней ее части соответствует выражение
\[
\begin{aligned}
& \int G\left(y_{2}-y^{\prime \prime}\right) i \gamma_{\mu} Z e G\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right) i \gamma_{
u} Z e G\left(y^{\prime}-y_{1}\right) \times \\
\times & D\left(x^{\prime}-y^{\prime}\right) D\left(x^{\prime \prime}-y^{\prime \prime}\right) d^{4} y^{\prime} d^{4} y^{\prime \prime}= \\
= & i g_{\mu 0} Z e \frac{1+\gamma_{0}}{2} i g_{
u 0} Z e \delta\left(\mathbf{y}_{2}-\mathbf{y}_{1}\right) e^{-i M\left(\tau_{2}-\tau_{1}\right)} \times \\
& \times \int d \tau^{\prime} d \tau^{\prime \prime} D\left(t^{\prime}-\tau^{\prime}, \mathbf{x}^{\prime}-\mathbf{y}_{1}\right) D\left(t^{\prime \prime}-\tau^{\prime \prime}, \mathbf{x}^{\prime \prime}-\mathbf{y}^{\prime \prime}\right), \\
\text { причем } \tau_{1}< & \tau^{\prime}<\tau^{\prime \prime}<\tau_{2} .
\end{aligned}
\]

Если бы не это неравенство, интеграл разбился бы на произведения. Однако диаграмме

соответствует такое же выражение, но с другими ограничениями на переменные интегрирования: $\tau_{1}<\tau^{\prime \prime}<\tau^{\prime}<\tau_{2}$. Так что сложение этих диаграмм означает просто переход к интегрированию по всем $\tau^{\prime}, \tau^{\prime \prime}$, и в результате для суммы будем иметь

То есть результат опять разбился на две части: свободное движение тяжелой частицы и рассеяние электрона на кулоновском поле этой частицы; это соответствует тому, что тяжелая частица не чувствует ни отдачи, ни изменения времени. Сумме этих диаграмм можем сопоставить, как и прежде, график

Аналогичная ситуация возникает и в следующих порядках, т. е. полную амплитуду рассеяния на тяжелой частице можно представить в виде

где $G_{e}$ – функция Грина электрона во внешнем поле. Будем ее изображать жирной линией, т. е.

Это не что иное, как интегральное уравнение для функции Грина электрона в графическом виде, его можно переписать так:
\[
\begin{array}{l}
G_{e}\left(x_{2}, x_{1} ; \mathbf{y}_{1}\right)=G\left(x_{2}-x_{1}\right)+ \\
+\int d^{4} x G\left(x_{2}-x\right)\left[i e \gamma_{0} u\left(\mathbf{x}, \mathbf{y}_{1}\right)\right] G_{e}\left(x, x_{1} ; \mathbf{y}_{1}\right) .
\end{array}
\]

От интегрального уравнения легко перейти к дифференциальному, если вспомнить, что
\[
\left(i \gamma_{\mu} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}-m\right) G(x)=-i \delta(x) .
\]

Подействовав на (4.107) оператором $i \gamma_{\mu} \partial / \partial x_{\mu}-m$, получим
\[
\begin{array}{l}
\left(i \gamma_{\mu} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}-m\right) G_{e}\left(x_{2}, x_{1} ; \mathbf{y}_{1}\right)= \\
=-i \delta\left(x_{2}-x_{1}\right)+e \gamma_{0} u\left(\mathbf{x}_{2}, \mathbf{y}_{1}\right) G_{e}\left(x_{2}, x_{1} ; \mathbf{y}_{1}\right)
\end{array}
\]

T. e.
\[
\left(i \gamma_{\mu} \frac{\partial}{\partial x_{2 \mu}}-m-e \gamma_{0} u\right) G_{e}\left(x_{2}, x_{1} ; \mathbf{y}_{1}\right)=-i \delta\left(x_{2}-x_{1}\right) .
\]

Как обычно, функцию Грина можно представить в виде
\[
G_{e}\left(x_{2}, x_{1} ; \mathbf{y}_{1}\right)=\left\{\begin{array}{c}
\sum_{n} \Psi_{n}^{+}\left(x_{2}\right) \Psi_{n}^{+*}\left(x_{1}\right), t_{2}>t_{1} \\
-\sum_{n} \Psi_{n}^{-}\left(x_{2}\right) \Psi_{n}^{-*}\left(x_{1}\right), t_{2}<t_{1}
\end{array},\right.
\]

где $\Psi_{n}$ – волновые функции электрона, удовлетворяющие уравнению
\[
\left\{i \gamma_{\mu} \frac{\partial}{\partial x_{2 \mu}}-m-\gamma_{0} \frac{Z e^{2}}{4 \pi\left|\mathbf{x}-\mathbf{y}_{1}\right|}\right\} \Psi_{n}(x)=0 .
\]

Это есть уравнение Дирака для электрона в кулоновском поле.
Мы пока рассмотрели все поправки по $Z \alpha$, связанные с обменом фотонами, и получили

и т. Д.
Однако есть поправки, например, такого вида:

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0248.jpg.txt

4.6. Уравнение Дирака во внешнем поле
247
Ясно, что суммирование таких диаграмм одинакового порядка, как и раньше, эквивалентно переходу к интегрированию по всем промежуточным временам, а следовательно, интегралы разобьются на отдельные сомножители.
Для второго порядка будем иметь
\[
G\left(y_{2}-y_{1}\right)\left(-Z^{2} e^{2} \int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}} d \tau^{\prime} d \tau^{\prime \prime} D_{00}\left(\tau^{\prime}-\tau^{\prime \prime}\right)\right)^{2} \frac{1}{2 !}, \quad \tau^{\prime}<\tau^{\prime \prime} .
\]
$1 / 2 !$ возникает из того, что число независимых диаграмм в $2 !$ раз меньше числа перестановок. Аналогично, для $n$-го порядка
\[
G\left(y_{2}-y_{1}\right)\left(-Z^{2} e^{2} \int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}} d \tau^{\prime} d \tau^{\prime \prime} D_{00}\left(\tau^{\prime}-\tau^{\prime \prime}\right)\right)^{n} \frac{1}{n !}, \quad \tau^{\prime}<\tau^{\prime \prime} .
\]

Если все сложить, получим
\[
G\left(y_{2}-y_{1}\right) e^{-Z^{2} e^{2} \int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}} d \tau^{\prime} d \tau^{\prime \prime} D_{00}\left(\tau^{\prime}-\tau^{\prime \prime}\right)}, \quad \tau^{\prime}<\tau^{\prime \prime} .
\]

Переходя к новым переменным в интеграле $\tau=\tau^{\prime \prime}-\tau^{\prime}, x=\tau^{\prime \prime}+\tau^{\prime}$, имеем
\[
G\left(y_{2}-y_{1}\right) e^{-\left(\tau_{2}-\tau_{1}\right) Z^{2} e^{2}} \int_{0}^{\tau_{2}-\tau_{1}} d \tau D_{00}(\tau), \quad \tau^{\prime}<\tau^{\prime \prime} .
\]

При $\tau_{2} \rightarrow \infty, \tau_{1} \rightarrow-\infty$ легко убедиться, что интеграл в показателе экспоненты чисто мнимый:
\[
\int_{0}^{\infty} d \tau \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i k_{0} \tau}}{k^{2}-i \varepsilon}=\int_{0}^{\infty} d \tau \int \frac{d^{3} k e^{-i|k| \tau}}{2|k|(2 \pi)^{3}} .
\]

Интеграл по $d \tau$ равен
\[
\int_{0}^{\infty} d \tau e^{-i|k| \tau}=\frac{1}{i|k|}
\]

откуда
\[
Z^{2} e^{2} \int_{0}^{\infty} d \tau D_{00}(\tau)=-i Z^{2} e^{2} \int \frac{d^{3} k}{2|k|^{2}} \frac{1}{(2 \pi)^{3}} \equiv i \delta m .
\]

Следовательно, функция Грина тяжелой частицы
\[
G\left(y_{2}-y_{1}\right) \sim e^{-i(M+\delta M)\left(\tau_{2}-\tau_{1}\right)},
\]
т. е. возникла перенормировка массы. Видно, что в нашем приближении интеграл (4.115) для $\delta m$ расходится линейно.
Есть еще такие поправки к движению тяжелой частицы:

Учет этих поправок означает, что свободную функцию Грина фотона
\[
D_{00}(\tau)=
\]

нужно заменить на перенормированную

На электрон же опять ничего не повлияло.
Таким образом, задача разбилась на две части: движение электрона во внешнем поле и перенормировку массы тяжелой частицы.

Из уравнений Дирака (4.109) мы можем определить энергетический спектр электрона во внешнем поле. Для этой цели сделаем подстановку $\Psi_{n}=\exp \left(-E_{n} t\right) \Psi_{n}(\mathbf{r})$ в уравнении (4.109). Кроме того, умножим (4.109) на $\gamma_{0}$ и, обозначив $\gamma_{0} \boldsymbol{\gamma} \equiv \boldsymbol{\alpha}$, получим стационарное уравнение Дирака для частицы в поле:
\[
E_{n} \Psi_{n}=\left(-i \boldsymbol{\alpha}
abla+m \gamma_{0}-\frac{Z e^{2}}{4 \pi r}\right) \Psi_{n} .
\]

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0250.jpg.txt

4.6. Уравнение Дирака во внешнем поле
249
При $E>m, E<-m$ имеем сплошной спектр, при $|E|<m$ – дискретный, соответствующий связанным состояниям:

Для энергии $E$ основного связанного состояния в поле ядра с зарядом $Z$ имеем
\[
\frac{E}{m}=\sqrt{1-(\alpha Z)^{2}} .
\]

Если $E=m+\varepsilon$, где $\varepsilon-$ энергия связи, то
\[
\frac{\varepsilon}{m}=\sqrt{1-(\alpha Z)^{2}}-1 .
\]

Зависимость энергии основного состояния от $Z$ имеет вид:

То есть при $Z=137$ энергия обращается в нуль. Однако при $Z \geqslant 137$ уравнение Дирака решений не имеет (энергия становится мнимой). Это специальное свойство чисто кулоновского потенциала. Оно связано с тем, что если уравнение Дирака переписать в виде уравнения Шредингера с некоторым эффективным потенциалом, то эффективный потенциал оказывается $\sim 1 / r^{2}$, т. е. приводит к падению на центр (при $Z \geqslant 137)$.

С другой стороны, реальное ядро имеет конечный размер, и если это учесть, то можно увеличивать $Z$ и дальше. Уровень при этом опустится ниже нуля:

Это отвечает тому, что атом становится легче ядра. Действительно, масса атома
\[
M_{A}=M_{Z}+m_{e}+\varepsilon<M_{Z} .
\]

Однако при $E>-m$ ядро еще не может распасться на атом и позитрон, так как
\[
M_{Z}-\left(M_{A}+m_{e}\right)=-2 m_{e}-\varepsilon<0 .
\]

Будем дальше увеличивать $Z$; при некотором $Z_{\text {кр }}$ энергия связи станет равной $2 m_{e}(E=-m)$ и ядро сможет распасться на атом и позитрон (рис. 33).

Рис. 33
Т. е. может произойти процесс
\[
Z \rightarrow\left(Z e^{-}\right)+e^{+} .
\]

При $Z>Z_{\text {кр }}$ ядро является нестабильной системой, атом же устойчив.
На языке функций Грина это выглядит следующим образом. Для тяжелой частицы имеем
\[
G_{Z}\left(y_{2}-y_{1}\right) \sim e^{-\left(Z^{2} e^{2} \int_{0}^{\infty} D_{00}(\tau) d \tau\right)\left(\tau_{2}-\tau_{1}\right)} .
\]

При этом для свободной функции Грина фотона мы получали чисто мнимый интеграл в показателе экспоненты. Однако если вместо $D_{00}(\tau)$ подставить

и вычислить интеграл при $Z>Z_{\mathrm{kp}}$, то он окажется равным $i(\delta M+i \gamma)$, т е. появится дополнительная мнимость, соответствующая реальному рождению пары в поле ядра, а в функции Грина появится затухание
\[
G_{Z} \sim e^{-\gamma\left(\tau_{2}-\tau_{1}\right)},
\]

которое отвечает распаду ядра на атом и позитрон.

Атом же продолжает существовать стабильно, однако его описание становится, по существу, многочастичным. Действительно, решение уравнения Дирака при $E<-m$ принадлежит сплошному спектру, следовательно, не убывает на бесконечности. А атом тем не менее существует. Дело в том, что, хотя состояние отдельного электрона не локализовано, при $Z>Z_{\text {кр возможны процессы, кроме }}$

такие:

когда в конце возник электрон в результате обмена, то есть электрон непрерывно заменяется, хотя в целом заряд остается локализованным. Ясно, что эта задача уже не одночастичная.

Реалистические расчеты (учитывающие размеры реальных ядер) дают для $Z_{\text {кр величину }}$
\[
Z_{\text {Kр }} \simeq 170 .
\]

Экспериментально реализовать такой заряд в принципе можно, сталкивая два тяжелых атома так, чтобы оба ядра оказались внутри электронного облака.