Вычислим, к примеру, амплитуду рассеяния. Пусть нам задано начальное состояние $\Psi_{i}(\mathbf{r}, t)$. В результате взаимодействия частица переходит в состояние $\Psi(\mathbf{r}, t)$. Волновая функция $\Psi(\mathbf{r}, t)$ содержит информацию о взаимодействии и \”помнит\” начальное состояние. Амплитуда вероятности того, что возникнет состояние $\Psi_{f}$, есть
\[
\int \Psi_{f}^{*}(\mathbf{r}, t) \Psi(\mathbf{r}, t) d^{3} r
\]

Это выражение можно переписать при помощи функции распространения. Поскольку
\[
\Psi(\mathbf{r}, t)=\int K\left(\mathbf{r}, t ; \mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) \Psi_{i}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime},
\]

то амплитуда перехода $i \rightarrow f$ или матричный элемент матрицы рассеяния $S$ запишется так:
\[
S_{f i}=\int \Psi_{f}^{*}(\mathbf{r}, t) \Psi(\mathbf{r}, t) d^{3} r=\int \Psi_{f}^{*}(\mathbf{r}, t) K\left(\mathbf{r}, t ; \mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) \Psi_{i}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) d^{3} r d^{3} r^{\prime} .
\]

Кроме того, в полученном выражении нужно времена устремить к бесконечности: $t \rightarrow \infty, t^{\prime} \rightarrow-\infty$ и окончательно, переходя от функции $K$ к $G$, получим
\[
S_{f i}=\int \Psi_{f}^{*}(\mathbf{r}, t) G\left(\mathbf{r}, t ; \mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) \Psi_{i}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) d^{3} r d^{3} r^{\prime} .
\]

Вычислим (1.38) для реального процесса: пусть свободная частица с импульсом $\mathbf{p}_{1}$, провзаимодействовав с полем, перешла в состояние с импульсом $\mathbf{p}_{2}$, т. е.
\[
\Psi_{1}=e^{i \mathbf{p}_{1} \mathbf{r}-i\left(p_{1}^{2} / 2 m\right) t}, \quad \Psi_{2}=e^{i \mathbf{p}_{2} \mathbf{r}-i\left(p_{2}^{2} / 2 m\right) t} .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
S_{\mathbf{p}_{2} \mathbf{p}_{1}}=\int d^{3} r^{\prime} d^{3} r e^{-i \mathbf{p}_{2} \mathbf{r}+i\left(p_{2}^{2} / 2 m\right) t} e^{i \mathbf{p}_{1} \mathbf{r}^{\prime}-i\left(p_{1}^{2} / 2 m\right) t^{\prime}} \times \\
\quad \times \int \frac{d^{4} p_{1}^{\prime} d^{4} p_{2}^{\prime}}{(2 \pi)^{8} i} G\left(p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}\right) e^{i \mathbf{p}^{\prime}{ }_{2} \mathbf{r}-i p_{20}^{\prime} t} e^{-i \mathbf{p}^{\prime}{ }_{1} \mathbf{r}^{\prime}+i p_{10}^{\prime} t^{\prime}} .
\end{array}
\]

Интегрирование в (1.39) по $d^{3} r, d^{3} r^{\prime}$ дает
\[
(2 \pi)^{3} \delta\left(\mathbf{p}_{2}-\mathbf{p}_{2}^{\prime}\right)(2 \pi)^{3} \delta\left(\mathbf{p}_{1}-\mathbf{p}_{1}^{\prime}\right) .
\]

В результате получим
\[
S_{\mathbf{p}_{2}, \mathbf{p}_{1}}=\frac{1}{(2 \pi)^{2} i} \int d p_{10} d p_{20} e^{i t\left(p_{2}^{2} / 2 m-p_{20}\right)} e^{-i t^{\prime}\left(p_{1}^{2} / 2 m-p_{10}\right)} G\left(p_{1}, p_{2}\right) .
\]

Теперь вспомним разложение $G\left(p_{1}, p_{2}\right)$ в ряд (1.36):
\[
\begin{array}{l}
G\left(p_{1}, p_{2}\right)=(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}-p_{2}\right) G_{0}\left(p_{1}\right)+G_{0}\left(p_{2}\right)\left[-V\left(p_{2}-p_{1}\right)\right] G_{0}\left(p_{1}\right)+ \\
\quad+G_{0}\left(p_{1}\right) \int \frac{d^{4} p^{\prime}}{(2 \pi)^{4}} V\left(p^{\prime}-p_{1}\right) G_{0}\left(p^{\prime}\right) V\left(p_{2}-p^{\prime}\right) G_{0}\left(p_{2}\right)+\cdots
\end{array}
\]

Подставляя это выражение в (1.40), для первого члена разложения получим
\[
\begin{array}{l}
S_{\mathbf{p}_{2}, \mathbf{p}_{1}}^{0}=-i(2 \pi)^{2} \delta\left(\mathbf{p}_{1}-\mathbf{p}_{2}\right) \int d p_{10} e^{i\left(t-t^{\prime}\right)\left(\mathbf{p}^{2} / 2 m-p_{10}\right)} G_{0}\left(\mathbf{p}, p_{10}\right)= \\
\quad=-i(2 \pi)^{2} \delta\left(\mathbf{p}_{1}-\mathbf{p}_{2}\right) \int \frac{d p_{0}}{\mathbf{p}^{2} / 2 m-p_{0}-i \varepsilon} e^{i \tau\left(\mathbf{p}^{2} / 2 m-p_{0}\right)}= \\
\quad=(2 \pi)^{3} \delta\left(\mathbf{p}_{1}-\mathbf{p}_{2}\right),
\end{array}
\]
т. е. рассеяния в этом приближении нет. При выводе (1.41) мы использовали явный вид (1.28) для функции Грина $G_{0}\left(\mathbf{p}, p_{0}\right)$ в силу того, что $\tau>0$, замкнули контур вниз, для интеграла в результате получили значение $2 \pi i$.

Все остальные члены разложения $G\left(p_{1}, p_{2}\right)$ содержат по краям свободные функции Грина, так что можно написать
\[
G\left(p_{1}, p_{2}\right)=(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}-p_{2}\right) G_{0}\left(p_{1}\right)+G_{0}\left(p_{1}\right) T\left(p_{1}, p_{2}\right) G_{0}\left(p_{2}\right),
\]

где $T\left(p_{1}, p_{2}\right)$ содержит все внутренние линии и интегрирования по промежуточным импульсам.

Вычислим вклад в интеграл (1.40) от второго члена (1.42). При $t \rightarrow \infty$ экспоненциальный множитель в подынтегральном выражении быстро осциллирует и, если бы подынтегральная функция была гладкой, интеграл обратился бы в нуль. Однако она содержит полюсные множители
\[
G_{0}\left(p_{1}\right) G_{0}\left(p_{2}\right)=\frac{1}{\left(\mathbf{p}_{1}^{2} / 2 m-p_{10}-i \varepsilon\right)\left(\mathbf{p}_{2}^{2} / 2 m-p_{20}-i \varepsilon\right)} .
\]

Функция $T\left(p_{1}, p_{2}\right)$ является более гладкой, поскольку содержит интегрирования типа
\[
\int \frac{d^{4} p^{\prime}}{\mathbf{p}^{\prime 2} / 2 m-p_{0}^{\prime}}
\]

Поэтому интеграл можно вычислить по вычетам. Окончательно для $S_{\mathbf{p}_{2}, \mathbf{p}_{1}}$ получаем
\[
S_{\mathbf{p}_{2}, \mathbf{p}_{1}}=(2 \pi)^{3} \delta\left(\mathbf{p}_{2}-\mathbf{p}_{1}\right)+(2 \pi)^{4} i T\left(p_{1}, p_{2}\right) .
\]

Таким образом, $T\left(p_{1}, p_{2}\right)$ является амплитудой рассеяния, и для ее вычисления нужно поступать следующим образом:
1. выписать интересующие нас графики
2. написать соответствующую функцию Грина по полученным нами правилам:
\[
G\left(p_{1}, p_{2}\right)=\delta\left(p_{1}-p_{2}\right) G_{0}\left(p_{1}\right)(2 \pi)^{4}+\frac{i T\left(p_{1}, p_{2}\right)}{\left(\mathbf{p}_{2}^{2} / 2 m-p_{20}\right)\left(\mathbf{p}_{1}^{2} / 2 m-p_{10}\right)} ;
\]
3. выбросить полюсные множители;
4. положить $p_{10}=\mathbf{p}_{1}^{2} / 2 m, p_{20}=\mathbf{p}_{2}^{2} / 2 m$ для всех частиц, относящихся к внешним линиям.