Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеется тяжелая частица (например, ядро или протон), и на нее налетает легкая частица. При рассеянии может произойти процесс с испусканием любых частиц (на предыдущей лекции, например, мы рассмотрели испускание фотонов), т. е.

Рис. 14
В амплитуду рассеяния частицы на кулоновском центре входит $1 / q^{2}$ $\left(q^{2}=\left(p-p^{\prime}\right)^{2}\right)$, т. е. наибольший вклад в сечение дают малые $q^{2}$. Нельзя ли из того, что энергия налетающей частицы велика, а $q^{2}$ мал, сделать некоторые заключения о произвольном процессе, типа изображенного на диаграммах?

Итак, пусть $q^{2} \ll m^{2}, s \gg m^{2}$. При малых $q^{2}$ фотон почти реальный и задача фактически разбивается на две части: испускание ядром фотона и рассеяние частицы на этом фотоне с испусканием чего угодно, т. e.
Рис. 15

Рассмотрим весь процесс в системе покоя электрона $\left(p_{1}=(m, 0)\right.$ ), где ядро налетает на него с большой скоростью.

Кулоновское поле быстрой частицы сжато в направлении движения. Это поле, как мы покажем, можно представить в виде совокупности почти реальных фотонов. Сечение (рис. 14) тогда можно записать в виде
\[
d \sigma_{W}=d \sigma_{c}(\mathbf{q}) n(\mathbf{q}) d^{3} q,
\]

где $n(\mathbf{q}) d^{3} q$ – число фотонов с импульсами в интервале $d^{3} q$, испускаемых ядром; $d \sigma_{c}$ – сечение процесса (рис. 15); $n(\mathbf{q}$ ) можно вычислить как вероятность найти фотон в кулоновском поле быстрой частицы из разложения электрического и магнитного полей ядра в системе покоя электрона по плоским волнам, как сделали это Вайцзекер и Вильямс. А можно поступить и по-другому. Амплитуда (рис. 15) есть
\[
F_{c}=M_{\mu}\left(q, p_{1}, \ldots\right) e_{\mu}^{
u}
\]

здесь $q^{2}=0$, поскольку фотон реальный. Для (рис. 14) же имеем
\[
F_{W}=\frac{Z e}{q^{2}}\left(p+p^{\prime}\right)_{\mu} M_{\mu}\left(q, p_{1}, \ldots\right) .
\]

Попытаемся найти связь между этими амплитудами. Если бы можно было считать в $(2.170) q^{2}=0$ везде, кроме полюсного множителя, то множители $M_{\mu}$ в обеих формулах совпали бы. Это сделать мы можем: поскольку $q^{2} / m^{2} \ll 1$, то $q^{2}$ мало по сравнению со всеми другими импульсами, входящими в $M_{\mu}$.
Далее, в силу сохранения тока, имеем
\[
q_{\mu} M_{\mu}=0 \quad, \quad e_{\mu} q_{\mu}=0 .
\]

В системе покоя электрона импульс налетающего ядра имеет компоненты
\[
p=\left(p_{0}, p_{z}, 0,0\right) \text {. }
\]

Имеем
\[
p-q=p^{\prime} \quad, \quad p^{2}=p^{\prime 2}=M^{2} \quad, \quad q^{2} \ll M^{2},
\]

отсюда
\[
(p-q)^{2}=p^{2}=M^{2},
\]
T. e.
\[
-2 p q+q^{2}=0,
\]

или в силу (2.172)
\[
-2\left(p_{0} q_{0}-p_{z} q_{z}\right)+q^{2}=-2 p_{z}\left(q_{0}-q_{z}\right)-\frac{M^{2}}{p_{z}} q_{0}+q^{2}=0 .
\]

Условие (2.173) может выполниться при
\[
q_{0}-q_{z} \sim \frac{q^{2}}{p_{z}}
\]

и
\[
q_{0} \sim \frac{q^{2} p_{z}}{M^{2}}=\frac{q^{2}}{p_{z}}\left(\frac{p_{z}^{2}}{M^{2}}\right) \gg q_{0}-q_{z},
\]
т. е. фотон возникает релятивистским, $q_{0}$ велико, хотя разница $q_{0}-q_{z}$ мала. Обозначим составляющую импульса фотона в плоскости, перпендикулярной $z$, через $q_{\perp}$, тогда
\[
q^{2}=q_{0}^{2}-q_{z}^{2}-q_{\perp}^{2}=2 q_{0}\left(q_{0}-q_{z}\right)-q_{\perp}^{2},
\]

отсюда видно, что $q^{2} \simeq-q_{\perp}^{2}$.
Теперь рассмотрим в (2.170) множитель
\[
\left(p+p^{\prime}\right)_{\mu} M_{\mu}\left(q, p_{1}, \ldots\right)=(2 p-q)_{\mu} M_{\mu} .
\]

Он равен
\[
2 p_{\mu} M_{\mu} \simeq 2 p_{0}\left(M_{0}-M_{z}\right)
\]

в силу сохранения тока.
С другой стороны,
\[
q_{\mu} M_{\mu}=q_{0} M_{0}-q_{z} M_{z}-q_{\perp} M_{\perp}=q_{0}\left(M_{0}-M_{z}\right)-q_{\perp} M_{\perp}=0,
\]
T. e.
\[
M_{0}-M_{z}=\frac{q_{\perp} M_{\perp}}{q_{0}}
\]

и
\[
\left(p+p^{\prime}\right)_{\mu} M_{\mu}=\frac{2 p_{0}}{q_{0}} q_{\perp} M_{\perp} .
\]

Покажем, что (2.176) выражается через (2.169). Рассмотрим $e_{\mu} M_{\mu}$. Выберем калибровку, где
\[
\text { eq } \left.=0 \quad \text { (т. e. } \quad e_{0}=0\right) .
\]

Тогда
\[
e_{\mu} M_{\mu}=-e_{z} M_{z}-e_{\perp} M_{\perp},
\]

но из (2.177) следует
\[
e_{z} q_{z}+e_{\perp} q_{\perp}=0 .
\]

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0158.jpg.txt

2.10. Формула Вайцзекера-Вильямса
157
Поскольку $q_{\perp} / q_{z} \ll 1$, то $e_{z}$ мало:
\[
e_{z}=-\frac{e_{\perp} q_{\perp}}{q_{z}}
\]

Физический смысл этого в следующем: фотоны летят почти параллельно быстрой частице ( $q_{\perp} \ll q_{z}$ ), естественно, что поляризация их лежит в плоскости, перпендикулярной направлению движения этой частицы. Таким образом,
\[
e_{\mu} M_{\mu}=-\mathbf{e}_{\perp} \mathbf{M}_{\perp} .
\]

Мы видим, что физика процесса полностью определяется поперечной частью $\mathbf{M}_{\perp}$ амплитуды рассеяния фотона, как для виртуального фотона, так и для реального. Заметим далее, что при $q_{\perp} \ll m$ амплитуда не может зависеть от направления вектора $\mathbf{q}_{\perp}$. При вычислении сечения мы должны усреднить по двум поперечным поляризациям $\mathbf{e}_{\perp}\left(\mathbf{e}_{\perp}^{2}=1\right)$ для случая реального фотона и проинтегрировать по всем поперечным направлениям вектора $\mathbf{q}_{\perp}$ для случая виртуального фотона. Учитывая это, мы можем просто использовать нормированные векторы $\mathbf{q}_{\perp} / \sqrt{\mathbf{q}_{\perp}}$ в качестве векторов поляризации. Тогда
\[
\left(p+p^{\prime}\right)_{\mu} M_{\mu}=\frac{2 p_{0}}{q_{0}}\left|q_{\perp}\right|\left(\mathbf{e}_{\perp} \cdot \mathbf{M}_{\perp}\right)=\frac{\mathbf{2} \mathbf{p}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{q}_{\mathbf{0}}}\left|\mathbf{q}_{\perp}\right| \mathbf{F}_{\mathbf{c}},
\]
T. e.
\[
F_{W}=\frac{Z e}{q^{2}} \frac{2 p_{0}}{q_{0}}\left|q_{\perp}\right| F_{c} .
\]

Для сечения $d \sigma_{W}$ рассеяния электрона на ядре тогда получим
\[
\begin{aligned}
d \sigma_{W}= & \frac{Z^{2} e^{2}}{q^{4}}\left(\frac{2 p_{0}}{q_{0}}\right)^{2} q_{\perp}^{2} \frac{1}{4 m p_{0}} 4 m q_{0} \times \\
& \times\left[\frac{1}{4 m q_{0}}\left|F_{c}\right|^{2} \frac{d^{4} k_{1} \delta\left(k_{1}^{2}-m_{1}^{2}\right) \ldots d^{4} k_{n} \delta\left(k_{n}^{2}-m_{n}^{2}\right)}{(2 \pi)^{3 n}}(2 \pi)^{4} \times\right. \\
& \left.\times \delta\left(p_{1}+p-\sum k_{i}-p^{\prime}-p_{1}^{\prime}\right) \frac{d^{4} p_{1}^{\prime}}{(2 \pi)^{3}} \delta\left(p_{1}^{\prime 2}-m^{2}\right)\right] \frac{d^{4} p^{\prime}}{(2 \pi)^{3}} \delta\left(p^{\prime 2}-M^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Учтем
\[
\delta\left(p_{1}+p-\sum k_{i}-p^{\prime}-p_{1}^{\prime}\right)=\delta\left(p_{1}+q-\sum k_{i}-p_{1}^{\prime}\right),
\]

так как $p-p^{\prime}=q$.

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0159.jpg.txt

158
Глава 2. Частицы со спином $1 / 2$
Тогда выражение в квадратных скобках (2.180) – это просто сечение процесса (рис. 15) $d \sigma_{c}$, т. е.
\[
\begin{array}{c}
d \sigma_{W}=\frac{Z^{2} e^{2}}{q^{4}}\left(\frac{2 p_{0}}{q_{0}}\right)^{2} q_{\perp}^{2} \frac{q_{0}}{p_{0}} d \sigma_{c}(q) \frac{d^{4} q}{(2 \pi)^{3}} \delta\left(-2 p q+q^{2}\right), \\
d^{4} q=d q_{0} d q_{z} d^{2} q_{\perp} .
\end{array}
\]

Проинтегрируем по $d q_{0}$ при помощи $\delta$-функций (в знаменателе появится $2 p_{0}$ ), тогда
\[
d \sigma_{W}=n(q) d \sigma_{c} d q_{z} d^{2} q_{\perp},
\]

где
\[
n(q)=\frac{Z^{2} e^{2}}{(2 \pi)^{3}} \frac{2 q_{\perp}^{2}}{q_{0} q^{4}}=\frac{Z^{2} \alpha}{\pi^{2}} \frac{q_{\perp}^{2}}{q_{0} q^{4}} .
\]

Мы получили таким образом плотность фотонов, испускаемых ядром, на единицу импульса. Перепишем сечение в виде (поскольку $q_{0} \sim q_{z}$ )
\[
d \sigma_{W}=d \sigma_{c}[b] \frac{Z^{2} \alpha}{\pi^{2}} \frac{d q_{0}}{q_{0}} \frac{q_{\perp}^{2} d^{2} q_{\perp}}{q^{4}} .
\]

Мы уже писали (2.173):
\[
-2\left(p_{0} q_{0}-p_{z} q_{z}\right)+q^{2}=-2 p_{z}\left(q_{0}-q_{z}\right)-\frac{M^{2}}{p_{z}} q_{0}+q^{2}=0,
\]
т. e.
\[
q_{0}-q_{z}=\frac{q^{2}}{2 p_{z}}-\frac{M^{2}}{2 p_{z}^{2}} q_{0} \sim-\frac{M^{2}}{2 p_{z}^{2}} q_{0},
\]

если пренебречь $q^{2} / p_{z}$. Тогда
\[
q^{2}=-q_{\perp}^{2}+2 q_{0}\left(q_{0}-q_{z}\right) \approx-q_{\perp}^{2}-q_{0}^{2} \frac{M^{2}}{p_{z}^{2}},
\]

и если
\[
\frac{q_{0}}{p_{0}} \ll 1, \quad \frac{q_{0}^{2} M^{2}}{p_{z}^{2}} \ll q_{\perp}^{2} \ll M^{2},
\]

то $q^{4}$ очень малая величина и, если проинтегрировать по $d^{2} q_{\perp}$, интеграл логарифмически расходится:
\[
d \sigma_{W}=d \sigma_{c} \frac{Z^{2} \alpha}{\pi} \frac{d q_{0}}{q_{0}} \ln \frac{p_{z}^{2}}{q_{0}^{2}}
\]

при
\[
\frac{M^{2} q_{0}^{2}}{p_{0}^{2}} \ll q_{\perp}^{2} \ll M^{2} .
\]

Мы рассматривали изменение переданного импульса, считая $q^{2}$ малым; аналогично интегрируя еще по $d q_{0}$, получим ( $M<q_{0}<p_{0}$ )
\[
d \sigma_{W}=d \sigma_{c} \frac{Z^{2} \alpha}{\pi} \ln ^{2} \frac{p_{z}^{2}}{q_{0}^{2}} .
\]

Видим, что сечение велико. Следовательно, при рассеянии быстрой частицы с малой передачей импульса могут родиться много частиц. Иначе говоря, такой вайцзекеровский процесс может служить интенсивным источником всяких частиц. А эффект велик потому, что рождается много фотонов, хотя сечение этого процесса на один фотон может быть и небольшим.

Именно из такого процесса была получена в свое время нижняя оценка массы $W$-бозона. Пусть взаимодействие (слабое) имеет вид:

Как обнаружить существование $W$-бозона? Нейтрино практически не взаимодействуют, однако при рассеянии на кулоновском поле ядра сечение велико за счет электромагнитного взаимодействия мюона с ядром (рисунок ниже). Отсюда получили, что $m_{W}>5$ ГэВ.