Считается (гипотеза), что амплитуды любых реальных процессов должны с необходимостью удовлетворять условиям унитарности и причинности. Рассмотрим подробнее, что эти условия означают и к каким ограничениям на амплитуды они приводят.
3.2.1 Причинность

Пусть имеется некоторый процесс (забудем пока про спины):

С точки зрения причинности нас будут интересовать зависимость амплитуды от точек $x_{1}, x_{2}$, поэтому запишем ее в виде
\[
F=\int e^{i k^{\prime} x_{2}-i k x_{1}} f_{p p^{\prime}}\left(x_{1}, x_{2}\right) d^{4} x_{1} d^{4} x_{2},
\]

где
\[
f_{p p^{\prime}}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\int e^{i p^{\prime} y_{2}-i p y_{1}} f\left(x_{1}, x_{2} ; y_{1}, y_{2}\right) d^{4} y_{1} d^{4} y_{2} .
\]

В силу трансляционной инвариантности (однородность пространствавремени), амплитуда $f\left(x_{1}, x_{2} ; y_{1}, y_{2}\right)$ зависит только от разностей координат. Замена
\[
\begin{aligned}
x_{i} & =x_{i}^{\prime}+a, \\
y_{i} & =y_{i}^{\prime}+a
\end{aligned}
\]

приведет лишь к изменению показателей экспонент в (3.36), при этом функция $f_{p p^{\prime}}\left(x_{1}, x_{2}\right)$ преобразуется следующим образом:
\[
f_{p p^{\prime}}\left(x_{1}, x_{2}\right)=e^{i\left(p^{\prime}-p\right) a} f_{p p^{\prime}}\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}\right) .
\]

Поэтому функцию $f_{p p^{\prime}}$ можно представить в виде
\[
f_{p p^{\prime}}\left(x_{1}, x_{2}\right)=e^{i\left(p^{\prime}-p\right)\left(x_{1}+x_{2}\right) \frac{1}{2}} \tilde{f}_{p p^{\prime}}\left(x_{1}-x_{2}\right) .
\]

Действительно, при трансляции (3.37) функция (3.39) будет преобразовываться по закону (3.38), поскольку
\[
\begin{array}{l}
x_{1}-x_{2}=x_{1}^{\prime}-x_{2}^{\prime}, \\
x_{1}+x_{2}=x_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}+2 a .
\end{array}
\]

Тогда, перейдя в (3.35) к переменным $x_{2}-x_{1}=x_{12}$ и $x_{1}+x_{2}$ для амплитуды $F$, получим
\[
\begin{array}{l}
F=\int e^{i\left(k^{\prime}-k\right)\left(x_{1}+x_{2}\right) \frac{1}{2}+i\left(k^{\prime}+k\right) x_{12} \frac{1}{2}} \times \\
\times e^{i\left(p^{\prime}-p\right)\left(x_{1}+x_{2}\right) \frac{1}{2}} \tilde{f}_{p p^{\prime}}\left(x_{1}-x_{2}\right) d^{4}\left(x_{1}+x_{2}\right) d^{4} x_{12} .
\end{array}
\]

Интегрируя по $d^{4}\left(x_{1}+x_{2}\right)$, получим
\[
\begin{aligned}
F & =(2 \pi)^{4} \delta\left(p+k-p^{\prime}-k^{\prime}\right) \times \\
& \times \int e^{i \frac{\left(k+k^{\prime}\right)}{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)}\left(x_{2}-x_{1}\right) \tilde{f}_{p p^{\prime}}\left(x_{12}\right) d^{4} x_{12}= \\
& =(2 \pi)^{4} \delta\left(p+k-p^{\prime}-k^{\prime}\right) f\left(k, k^{\prime} ; p, p^{\prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Как всегда, следствием трансляционной инвариантности является сохранение энергии-импульса. Итак, появление $\delta$-функции в амплитуде – факт общий, который выражает однородность пространствавремени.

Что означает причинность на языке амплитуды (3.40)? Причинность означает, что область интегрирования $x_{20}<x_{10}$ и $x_{12}^{2}<0$ не должна давать вклада в амплитуду. Физический смысл этого утверждения следующий: если мы рассеиваем пучок частиц на некоторой мишени, то рассеянные частицы не должны вылетать из мишени ранее, чем прилетели падающие. Следовательно, $\tilde{f}_{p p^{\prime}}\left(x_{12}\right)$ должна иметь вид:
\[
\tilde{f}_{p p^{\prime}}\left(x_{12}\right)=\theta\left(\left(x_{12}\right)_{0}\right) \theta\left(x_{12}^{2}\right) \varphi\left(x_{12}\right)+\varphi^{\prime}\left(x_{12}\right),
\]

причем член $\varphi^{\prime}\left(x_{12}\right)$ при интегрировании должен давать нулевой вклад в амплитуду.

В выражении (3.40) $k, k^{\prime}, p, p^{\prime}$ у нас не любые. Поскольку частицы реальны, эти величины удовлетворяют соотношениям:
\[
\begin{array}{l}
k_{0}=\sqrt{\mathbf{k}^{2}+\lambda^{2}}, k_{0}^{\prime}=\sqrt{\mathbf{k}^{\prime 2}+\lambda^{2}}, \\
p_{0}=\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}, \quad p_{0}^{\prime}=\sqrt{\mathbf{p}^{\prime 2}+m^{2}}
\end{array}
\]

и, кроме того, связаны законами сохранения:
\[
k-k^{\prime}=p^{\prime}-p .
\]

Давайте предположим, что $\tilde{f}_{p p^{\prime}}\left(x_{12}\right)$ имеет именно структуру (3.41), т. е. причинность выполняется (в противном случае теория потеряла бы всякий смысл). Пусть $p=p^{\prime}, k=k^{\prime}$ (рассеяние вперед) и направим ось $z$ по вектору $\mathbf{k}$. Тогда из (3.40) следует, что
\[
\begin{array}{l}
f(k, k ; p, p) \equiv f(k, p)=\int d^{4} x e^{i k_{0} x_{0}-i k_{z} z} \tilde{f}_{p}(x)= \\
=\int d^{4} x e^{i k_{0}\left(x_{0}-z\right)} \tilde{f}_{p}(x)=f\left(k_{0}\right) .
\end{array}
\]

Поскольку наша функция имеет вид (3.41), то вклад в интеграл дает область
\[
x_{0}>0, \quad x_{0}^{2}-z^{2}>0,
\]

откуда следует, что
\[
x_{0}-z>0 \text {. }
\]

Из последнего неравенства и (3.42), в свою очередь, следует, что если интеграл (3.42) сходится на вещественной оси $k_{0}$ (т. е. если $f\left(k_{0}\right)$ имеет смысл), то в верхней полуплоскости он сходится еще лучше. Иначе говоря, при выполнении условия причинности амплитуда аналитична в верхней полуплоскости. Справедливо и обратное: если амплитуда аналитична, то она может быть записана в форме (3.42). Если же $f\left(k_{0}\right)$ имеет в верхней полуплоскости особенность, то она не может быть причинной.

Следуют ли из причинности какие-либо выводы о поведении амплитуды $f\left(k_{0}\right)$ с ростом $k_{0}$ ? Если $k_{0}$ велико, то при интегрировании в (3.42) область $x_{0}-z \simeq 0$ дает максимальный вклад в интеграл. Если $\tilde{f}\left(x^{2}\right)$ имеет в нуле сингулярность, то $f\left(k_{0}\right)$ может расти с $k_{0}$. Например, если
\[
\tilde{f}\left(x^{2}\right) \sim \delta\left(x_{0}-z\right),
\]

то
\[
f\left(k_{0}\right) \rightarrow \text { const },
\]

но при
\[
\tilde{f}\left(x^{2}\right) \sim \delta^{\prime}\left(x_{0}-z\right)
\]

имеем уже
\[
f\left(k_{0}\right) \rightarrow k_{0},
\]
т. е. если $\tilde{f}\left(x^{2}\right)$ имеет структуру
\[
\tilde{f}\left(x^{2}\right)=\sum_{n} C_{n} \delta^{(n)}\left(x_{0}-z\right),
\]

то
\[
f\left(k_{0}\right)=\sum_{n} C_{n} k_{0}^{n} .
\]

В принципе, если (3.43) содержит бесконечное число производных $\delta$-функций (т. е. $f\left(k_{0}\right)$ растет быстрее любой степени $k_{0}$ ), мы не гарантированы от того, что не нарушили причинность. Действительно, явно антипричинная функция
\[
\theta\left(-x_{0}+z\right)=\sum_{n} C_{n} \delta^{(n)}\left(x_{0}-z\right)
\]

как раз и содержит бесконечное число таких производных.

Таким образом, если потребуем, чтобы
\[
f\left(k_{0}\right)<k_{0}^{N} \quad \text { при } \quad k_{0} \rightarrow \infty,
\]

что соответствует конечному набору $\delta^{(n)}$-функций в (3.43), то условие причинности заведомо не нарушится. Функции $f\left(k_{0}\right)$, аналитичные в верхней полуплоскости и растущие не быстрее некоторой степени $k_{0}$, мы будем называть причинными.

Хотя мы не доказали формально, что причинность требует, чтобы амплитуда обладала этими свойствами, эта гипотеза, однако, довольно хорошо аргументирована. Действительно, как мы проверяем причинность на опыте? Пусть мы имеем пакет, описывающий налетающие частицы (фотоны в нашем случае):
\[
\Psi(x)=\int e^{-i k_{0}\left(x_{0}-z\right)} C\left(k_{0}\right) d k_{0} .
\]

Рассеянные вперед фотоны опишутся так:
\[
\Psi^{\prime}(x)=\int e^{-i k_{0}\left(x_{0}-z\right)} f\left(k_{0}\right) C\left(k_{0}\right) d k_{0} .
\]

Причинность для налетающих частиц здесь означает, что $C\left(k_{0}\right)$ должна быть такой, чтобы
\[
\Psi(x)=0 \quad \text { если } \quad z-x_{0}>a,
\]
т. е. если источник фотонов помещен в $a$, то до того, как они были испущены, их не было. Этого можно добиться выбором особенностей $C\left(k_{0}\right)$. Именно, если $C\left(k_{0}\right)$ не имеет особенностей в верхней полуплоскости и на большом круге ведет себя как $e^{-i k_{0} a}$, то при $z-x_{0}>a$ в (3.46) можно замкнуть контур в верхней полуплоскости и показать, что $\Psi(x)=0$. После рассеяния $\Psi^{\prime}(x)$ также должно равняться нулю при $z-x_{0}>a$, но если $f\left(k_{0}\right) \sim e^{-i k_{0} c},(c>0)$ на большом круге, то $\Psi^{\prime}(x)$ будет равно нулю только при $z-x_{0}>a+c$, но не при $z-x_{0}>a$.

Давайте теперь посмотрим, аналитичны ли наши борновские амплитуды? Им соответствуют диаграммы:

В системе покоя электрона имеем
\[
s=(p+k)^{2}=m^{2}+\lambda^{2}+2 m k_{0},
\]
( $\lambda$ – малая масса фотона),
\[
u=\left(p-k^{\prime}\right)=m^{2}+\lambda^{2}-2 m k_{0}^{\prime}=m^{2}+\lambda^{2}-2 m k_{0}
\]
( $k_{0}=k_{0}^{\prime}$ при рассеянии вперед). Полюса амплитуды лежат в точках, определяемых равенствами:
\[
\begin{aligned}
-\lambda^{2}+2 m k_{0} & =0, \\
\lambda^{2}+2 m k_{0} & =0,
\end{aligned}
\]
T. e.
\[
k_{0}= \pm \frac{\lambda^{2}}{2 m} .
\]

Однако амплитуда определена в области $k_{0} \geqslant \lambda$ (жирная линия на рис. 18), а полюса в точках $\left|k_{0}\right|<\lambda$, т. е. не там, где определена амплитуда. Таким образом, борновская амплитуда имеет правильные аналитические свойства (не имеет полюсов в верхней полуплоскости и убывает при $\left|k_{0}\right| \rightarrow \infty$ ) и следовательно удовлетворяет причинности.

Как же это получилось? Ведь $G\left(x_{2}-x_{1}\right)$, входящая в амплитуду, отнюдь не равна нулю при $x_{20}-x_{10}<0$. Первая диаграмма дает:

\[
\begin{array}{c}
=\int d^{4} x_{1} d^{4} x_{2} e^{i\left(k^{\prime}+p^{\prime}\right) x_{2}-i(k+p) x_{1}} G\left(x_{2}-x_{1}\right)= \\
=(2 \pi)^{4} \delta\left(p+k-p^{\prime}-k^{\prime}\right) \int d^{4} x_{12} e^{i(k+p) x_{12}} G\left(x_{12}\right), \\
G\left(x_{12}\right)=\int \frac{d^{4} q}{(2 \pi)^{4} i} e^{-i q x_{12}} \frac{1}{m^{2}-q^{2}-i \varepsilon},
\end{array}
\]
T. e.
\[
F \sim \int d^{4} q \delta(p+k-q) \frac{1}{m^{2}-q^{2}-i \varepsilon}=\frac{1}{m^{2}-(p+k)^{2}-i \varepsilon},
\]

а так как $q_{0}=p_{0}+k_{0}>0$, то левый полюс $q_{0}=-\sqrt{m^{2}+\mathbf{q}^{2}}$ у функции $1 /\left(m^{2}-q^{2}\right)$ заведомо не работает. Поэтому его можно считать расположенным не в верхней, а в нижней полуплоскости. Но, как мы знаем, такое расположение полюсов отвечает запаздывающей функции Грина, которая пропорциональна $G_{R}\left(x_{21}\right) \sim \theta\left(x_{20}-x_{10}\right)$. Значит область $x_{20}<x_{10}$ действительно не дает вклада в интеграл.

Во второй диаграмме знак $\varepsilon$ (положение полюса) несуществен, поскольку знаменатель может обратиться в нуль, если только частица $I$ нестабильна, т. е. может самопроизвольно распасться на две.

Поэтому при вычислении амплитуды для стабильной частицы функцию Грина в этой диаграмме также можно заменить на запаздывающую. Однако просто заменить всюду фейнмановские функции на запаздывающие нельзя, поскольку мы получили бы неправильный результат для амплитуд рассеяния, в частности, если бы мы рассмотрели ту же амплитуду в других каналах.

Рассмотрим соотношение между разными каналами на мандельштамовской плоскости с точки зрения причинности и аналитичности.
\[
\begin{array}{c}
s+t+u=2 m^{2}+2 \lambda^{2} \\
s=(m+\lambda)^{2}
\end{array}
\]
– начало физической области.

Пользуясь аналитичностью амплитуды, мы в свое время продолжали ее в $t$ – и $u$-каналы. Продолжение, указанное стрелкой на мандельштамовской плоскости, аналогично следующему продолжению в плоскости $k_{0}$ (см. рис. 19). Иначе говоря, в отличие от нерелятивистской квантовой механики, область отрицательных $k_{0}$ тоже имеет смысл.

В этом как раз и состоит одна из основных особенностей релятивистской теории: аналитичность амплитуды (т. е. причинность) обеспечивает возможность ее продолжения в мандельштамовской плоскости из канала в канал или в плоскости $k_{0}$. Как мы покажем ниже из условия унитарности, должна быть комплексна в физических областях разных

Рис. 19

каналов, отмеченных жирными линиями на рисунке. Мы увидим далее, что амплитуда имеет точку ветвления в точках, которые отвечают началу физических областей $k_{0}= \pm \lambda$, и жирные линии отвечают разрезам амплитуды в комплексной плоскости. Физическая амплитуда в $s$-канале есть предельное значение на верхнем берегу правого разреза (рис. 20).
Рис. 20

Глава 3. Общие свойства амплитуды рассеяния
Поскольку в верхней полуплоскости амплитуда аналитична, ее можно продолжить, как указано на рис. 19 (т. е. в $u$-канал). Получим ли мы при этом амплитуду нового процесса? Казалось бы, для этого достаточно заменить $k_{0}$ на $-k_{0}$. Однако, повторяя выкладку (3.42) в $u$-канале, получим
\[
f_{u}=\int d^{4} x e^{i k_{0}^{\prime}\left(x_{0}-z\right)} \tilde{f}(x), \quad x_{0}-z<0,
\]
т. e.
\[
f_{s}\left(-k_{0}^{\prime}\right)=f_{u}^{*}\left(k_{0}^{\prime}\right) .
\]

Следовательно, в $u$-канале нужно к вещественной оси подходить снизу. Это естественно, поскольку амплитуды отличаются знаком $k_{0}$, то
\[
k_{0}+i \varepsilon \rightarrow-k_{0}-i \varepsilon .
\]

Этот переход изображен на рисунке:

Таким образом, физическая амплитуда в $u$-канале также есть предельное значение на вещественной оси некоторой аналитической функции. Поскольку в части комплексной плоскости (в области между разрезами) эта функция есть аналитическое продолжение $s$-канальной амплитуды, то данная функция – та же самая, чье предельное значение на правом разрезе есть $s$-канальная амплитуда.

Рассмотрев требования причинности в $u$-канале, можно показать, что амплитуду можно продолжать в нижнюю полуплоскость $k_{0}$. Иначе говоря, амплитуда должна быть аналитичной и в верхней, и в нижней полуплоскостях (но с учетом разреза на вещественной оси). Верхняя и нижняя полуплоскости $k_{0}$ есть, по существу, плоскости $s$-канальной и $u$-канальной амплитуд. Переход с одной из них в другую эквивалентен аналитическому продолжению амплитуды из одного канала в другой.
3.2.2 Унитарность

Мы ввели $S$-матрицу, матричные элементы которой $S_{b a}$ определяют амплитуды переходов из состояния $|a\rangle_{t=-\infty}$ в состояние $|b\rangle_{t=+\infty}$, т. е. если

в $t=-\infty$ система находилась в состоянии
\[
\Psi=\left(\begin{array}{c}
\Psi_{1} \\
\Psi_{2} \\
\cdot \\
\cdot \\
\cdot
\end{array}\right)
\]

то в $t=+\infty$
\[
\Psi^{\prime}=S \Psi
\]

Волновые функции начального и конечного состояния имеют вид:
\[
\begin{array}{c}
\Psi=\sum_{a} \Psi_{a}|a\rangle, \\
\Psi^{\prime}=\sum_{b} \Psi_{b}^{\prime}|b\rangle=\sum_{a} \Psi_{a} S|a\rangle=\sum_{a b} \Psi_{a}\langle b|S| a\rangle|b\rangle, \\
\Psi_{b}^{\prime}=\sum_{a}\langle b|S| a\rangle \Psi_{a}=\sum_{a} S_{b a} \Psi_{a} .
\end{array}
\]

Отсюда вытекает приведенный выше смысл $S_{b a}$ как амплитуды перехода. Сохранение вероятности означает, что
\[
\sum_{a}\left|\Psi_{a}\right|^{2}=\sum_{b}\left|\Psi_{b}^{\prime}\right|^{2}
\]

Принцип суперпозиции требует выполнения (3.53) для любых начальных состояний. Это приводит к тому, что $S$-матрица должна быть унитарной, т. е.
\[
S S^{+}=1,
\]

или в матричном виде
\[
\sum_{b} S_{a b} S_{b c}^{+}=\delta_{a c} .
\]

Диагональная часть условия (3.55)
\[
\sum_{b} S_{a b} S_{b a}^{+}=\sum_{b}\left|S_{a b}\right|^{2}=1
\]

означает сохранение вероятности, а недиагональная
\[
\sum_{b} S_{a b} S_{b c}^{+}=0, \quad c
eq a
\]
– ортогональность состояний.

Представим $S$-матрицу в виде
\[
S=1+i T .
\]

Тогда из условия унитарности (3.54) следует
\[
1+i T-i T^{+}+T T^{+}=1,
\]
T. e.
\[
-i\left[T-T^{+}\right]=T T^{+} .
\]

Обычно условием унитарности называется именно (3.57). В матричном виде (3.57) запишется
\[
-i\left[T_{b a}-T_{b a}^{+}\right]=\sum T_{b c} T_{c a}^{+},
\]

или, так как $T_{b a}^{+}=T_{a b}^{*}$,
\[
-i\left[T_{b a}-T_{a b}^{*}\right]=\sum T_{b c} T_{a c}^{*} .
\]

Предположим, что теория $P T$-инвариантна, как, например, квантовая электродинамика, тогда
\[
T_{a b}=T_{\tilde{b} \tilde{a}}
\]
$(|\tilde{b}\rangle,|\tilde{a}\rangle$ – состояния с противоположными спинами). Но, как мы обсуждали выше, всегда можно выбрать базис так, что в нем
\[
T_{a b}=T_{b a} .
\]

При этом (3.58) примет вид:
\[
-i\left[T_{a b}-T_{a b}^{*}\right]=\sum_{c} T_{b c} T_{c a}^{*},
\]
T. e.
\[
\operatorname{Im} T_{a b}=\frac{1}{2} \sum_{c} T_{a c} T_{c b}^{*} .
\]

А отсюда следует, что амплитуда не может быть вещественной, т. е. сразу видно, что наши борновские амплитуды, наверняка, неточны, поскольку вещественны. Особенно ясна комплексность амплитуды при рассеянии вперед, т. е. при $a=b$ :
\[
\operatorname{Im} T_{a a}=\frac{1}{2} \sum_{c}\left|T_{a c}\right|^{2} .
\]

Соотношение (3.60) носит название оптической теоремы:
\[
T_{a a} \sim A(\theta=0), \quad \sum\left|T_{a c}\right|^{2} \sim \sigma_{t o t}
\]
– мнимая часть амплитуды рассеяния вперед пропорциональна полному сечению рассеяния.

Таким образом, условие унитарности требует, чтобы амплитуды рассеяния в физической области были комплексными.

Вернемся к нашему примеру Комптон-эффекта для фотона (с малой массой $\lambda$ ). Физическая область на мандельштамовской плоскости это заштрихованная часть (см. рис. 21).
Рис. 21

Полюса амплитуды лежат на пунктирных линиях, отвечающих $s=m^{2}, u=m^{2}$. На комплексной плоскости $k_{0}$ картинка будет выглядеть так (рис. 22). Физические области отмечены жирными линиями. Полюса борновской амплитуды отмечены крестиками.

Выясним теперь, имеют ли борновские амплитуды хотя бы какоенибудь отношение к условию унитарности. Для этой цели распишем его подробнее. У нас было
\[
T_{a b}=(2 \pi)^{4} \delta\left(\sum p_{a}-\sum p_{b}\right) F_{a b} \prod_{a} \frac{1}{\sqrt{2 k_{0 i}}} \prod_{b} \frac{1}{\sqrt{2 k_{0 i}}} .
\]

Подставляя (3.61) в (3.59), получим
\[
\operatorname{Im} F_{a b}=\frac{1}{2} \sum_{c} F_{a c} F_{c b}^{*}(2 \pi)^{4} \delta\left(\sum p_{a}-\sum p_{c}\right) \prod_{c} \frac{1}{2 k_{0 i}}
\]

(помним, что в $F$ выполняются законы сохранения), тогда
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{Im} F_{a b}= \\
=\frac{1}{2} \sum \int \frac{d^{3} k_{1} \ldots d^{3} k_{n}}{n !(2 \pi)^{3 n}} \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{2 k_{0 i}} F\left(a ; k_{1}, \ldots, k_{n}\right) \times \\
\times F^{*}\left(k_{1}, \ldots, k_{n} ; b\right)(2 \pi)^{4} \delta\left(\sum k_{i}-\sum p_{b}\right) .
\end{array}
\]

Или, выражая $d^{3} k / 2 k_{0}$ через $d^{4} k \delta_{+}\left(k^{2}-m^{2}\right)$, окончательно получим
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{Im} F_{a b}= \\
=\frac{1}{2 n !} \sum \int d^{4} k_{1} \ldots d^{4} k_{n} \delta_{+}\left(k_{1}^{2}-m^{2}\right) \ldots \delta_{+}\left(k_{n}^{2}-m^{2}\right) \times \\
\times F F^{*} \frac{(2 \pi)^{4} \delta\left(\sum k_{i}-p_{b}\right)}{(2 \pi)^{3 n}} .
\end{array}
\]

Множитель $1 / n !$ в (3.63), (3.64) учитывает тождественность частиц. В случае рассеяния вперед ( $a \simeq b$ ) из (3.64) видно, что $\operatorname{Im} F_{a b}$ отличается от полного сечения множителем
\[
\frac{1}{4 E_{1} E_{2} j}=\frac{1}{4 \sqrt{s} p}
\]

(а также общим множителем $1 / 2$ ). Учитывая, что
\[
j=\frac{p}{E_{1}}-\frac{p}{E_{2}}=\frac{p \sqrt{s}}{E_{1} E_{2}},
\]

получим
\[
\operatorname{Im} F(s, 0)=2 \sqrt{s} p \sigma_{t} .
\]

Это и есть оптическая теорема. Выражение (3.64) будем писать в символическом виде:
\[
\operatorname{Im} F=\sum_{n} F_{n} F_{n}^{*}
\]

Рассмотрим теперь борновскую амплитуду

В свое время мы писали соотношение
\[
\frac{1}{x-i \varepsilon}=P \frac{1}{x}+i \pi \delta(x)
\]

так что
\[
\operatorname{Im} \frac{e^{2}}{m^{2}-s-i \varepsilon}=e^{2} \pi \delta\left(s-m^{2}\right) .
\]

Точное же значение мнимой части дается (3.64), и мы можем ее изобразить графически (аналогично изображению сечений) так:

В промежуточных состояниях частицы реальные и поэтому, например, одного электрона в промежуточном состоянии быть не может. Однако рассмотрим формально вклад в мнимую часть от одноэлектронного промежуточного состояния, т. е.

и
\[
\operatorname{Im} F_{22}=\frac{2 \pi}{2} \int d^{4} q\left|F_{21}\right|^{2} \delta\left(q^{2}-m^{2}\right) \delta(p+k-q),
\]
т. е.
\[
\operatorname{Im} F_{22}=\pi\left|F_{21}\right|^{2} \delta\left((p+k)^{2}-m^{2}\right) .
\]

Таким образом, борновское приближение в определенном смысле удовлетворяет условию унитарности, а именно, в том смысле, что его мнимая часть определяется вкладом одноэлектронного промежуточного состояния.

В принципе, одноэлектронное промежуточное состояние может давать вклад в мнимую часть амплитуды совершенно \”честным\” образом. Рассмотрим, например, процесс перехода трех частиц в три:

В мнимую часть амплитуды такого процесса войдет, в частности,

Электрон, отмеченный крестиком, может быть реальным (это не запрещено в данном случае законами сохранения), и за счет такого промежуточного состояния мы получим вклад в мнимую часть без противоречия с законами сохранения. Но, с другой стороны, из всей суммы для мнимой части (3.66) отвечает только первому ее члену. Посмотрим, плохо это или нет. Усложнение диаграммы на одну вершину приводит к множителю $е$, и если

Если рассмотреть вклад от промежуточного двухчастичного состояния $(n=2)$, то порядок величины правой части $e^{4}$, для $n=3$ мы получили бы $e^{6}$ и т. д., а слева $-\operatorname{Im} F \sim e^{2}$, т. е. такие вклады и не должны появляться. И единственный вклад – это
\[
\operatorname{Im} F=F_{21} F_{12}^{*} \sim e^{2} .
\]

Таким образом, борновские амплитуды позволяют вычислять мнимые части амплитуд более высокого порядка в силу соотношения унитарности. Например, в мнимой части амплитуды

Если, допустим, хотим вычислить ее с точностью до $e^{4}$, пренебрегаем членами порядка $e^{6}$ и выше, а все амплитуды, входящие в первую диаграмму, нам уже известны. Так можно найти мнимые части амплитуд в высших приближениях во всех областях мандельштамовской плоскости. Однако, чтобы знать всю амплитуду, нужно знать еще и реальную часть, и здесь нам на помощь приходит аналитичность амплитуды, которая позволяет вычислить вещественную часть по мнимой.
По теореме Коши, имеем
\[
f\left(k_{0}\right)=\int \frac{d k_{0}^{\prime}}{2 \pi i} \frac{f\left(k_{0}^{\prime}\right)}{k_{0}^{\prime}-k_{0}},
\]

контур интегрирования приведен на рис. 23.
С другой стороны, мы можем пренебречь интегралами по большим кругам и представить контур в виде, указанном на рис. 24.
При этом
\[
\begin{array}{l}
f\left(k_{0}\right)=\int \frac{d k_{0}^{\prime}}{2 \pi i} \frac{f\left(k_{0}^{\prime}\right)}{k_{0}^{\prime}-k_{0}}=\frac{r_{1}}{k_{10}-k_{0}}+\frac{r_{2}}{k_{20}-k_{0}}+ \\
+\frac{1}{\pi} \int_{m+\lambda}^{\infty} \frac{d k_{0}^{\prime}}{k_{0}^{\prime}-k_{0}} \operatorname{Im} f\left(k_{0}^{\prime}\right)+\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{-m-\lambda} \frac{d k_{0}^{\prime}}{k_{0}^{\prime}-k_{0}} \operatorname{Im} f\left(k_{0}^{\prime}\right),
\end{array}
\]

Рис. 24

поскольку
\[
\frac{1}{2 i}\left\{f\left(k_{0}^{\prime}-i \varepsilon\right)-f\left(k_{0}^{\prime}+i \varepsilon\right)\right\}=\operatorname{Im} f\left(k_{0}^{\prime}\right) .
\]

Члены с $r_{1}$ и $r_{2}$ в(3.69) отвечают вкладу в интеграл от полюсов $k_{01}$ и $k_{02}$ борновского приближения (высшие приближения в этих точках, как увидим, особенностей не имеют). По этой амплитуде можно найти мнимую часть в еще более высоком приближении и т.д. В частности, используя борновские приближения для процесса, можно найти амплитуду рассеяния света на свете. Действительно,

нам известны, и, подставляя (3.70) в (3.69), найдем $F(2 \gamma \rightarrow 2 \gamma)$.
Таким образом, из амплитуды предыдущего приближения мы можем найти мнимую часть последующего, а по дисперсионному интегралу (3.69) – и саму амплитуду. Повторяя последовательно эту процедуру, можно найти амплитуду в любом порядке теории возмущений.

При выполнении этой программы мы можем, однако, столкнуться с проблемой сходимости дисперсионных интегралов. Сходимость же определяется поведением амплитуд рассеяния при больших энергиях. В действительности, эта проблема тесно связана с возможными улътрафиолетовыми расходимостями теории. Мы рассмотрим эту проблему в главе 5 .