Мы строили квантовую электродинамику следующим образом. Ввели функции Грина электрона и фотона
\[
\begin{array}{ll}
& =G \\
—^{-+-+—^{-}} & =D_{\mu
u},
\end{array}
\]
рассмотрели простейшее взаимодействие
В случае $\pi$-мезона нам понадобилось более сложное взаимодействие
Еще более сложные взаимодействия вводить нет смысла, так как теории получаются неперенормируемыми.
Построенная таким образом теория оказалась в блестящем согласии с экспериментом. Однако и она на очень малых расстояниях перестает работать; с этим как раз и связана проблема нуля заряда, которую мы собираемся обсуждать.
Мы видели, что диаграммы расходятся в области больших виртуальных импульсов и при этом оказываются практически не зависящими от внешних импульсов, например,
\[
\Lambda_{\mu}^{(1)}=e^{2} \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \gamma_{
u} \frac{1}{m-\hat{p}_{1}+\hat{k}} \gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}_{2}+\hat{k}} \gamma_{
u} \frac{1}{k^{2}}
\]
от $p_{1}$ и $p_{2}$ не зависит, так как $p_{1}, p_{2} \ll k$. В области больших $k$ (т. е. малых расстояний) интеграл расходится, т. е. теория неприменима, поэтому мы ввели параметр обрезания $\Lambda$, причем в области интегрирования около $\Lambda$ при $p_{1}, p_{2} \ll \Lambda$ интеграл не зависит ни от $p_{1}$, ни от $p_{2}$. Далее мы ввели $\Gamma(m, m, 0)$ и вычли ее из $\Gamma\left(p_{1}, p_{2}, k\right)$, и все оказалось сходящимся, а то, что мы ничего не знаем при больших $k$, вошло в константы перенормировок, т. е. фактически в перенормированный заряд $e_{c}=Z_{1}^{-1} Z_{2} Z_{3}^{\frac{1}{2}} e$.
Однако все эти рассуждения справедливы при не очень больших внешних импульсах, а именно: мы полагали $p_{1}, p_{2} \ll \Lambda$. А что произойдет, если мы будем увеличивать внешние импульсы, т. е. при $p^{2} / m^{2} \gg 1$ ? (Впервые эта задача была поставлена Гелл-Манном и Лоу, а решена Ландау, Абрикосовым и Халатниковым.)
Рассмотрим поляризационный оператор фотона
\[
{ }_{—-}{ }^{k}-{ }_{-}=\Pi_{\mu
u}(k)=\left(g_{\mu
u} k^{2}-k_{\mu} k_{
u}\right) \Pi\left(k^{2}\right) .
\]
Мы вычислили
\[
\Pi_{c}^{(1)}\left(k^{2}\right)=\frac{\alpha_{c}}{3 \pi} \ln \frac{k^{2}}{m^{2}} .
\]
Первые члены теории возмущений, таким образом, будут выглядеть
\[
\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{k^{2}} k^{2} \frac{\alpha_{c}}{3 \pi} \ln \frac{k^{2}}{m^{2}} \frac{1}{k^{2}} \sim \frac{1}{k^{2}}\left(1+\frac{\alpha_{c}}{3 \pi} \ln \frac{k^{2}}{m^{2}}\right) .
\]
То есть при больших $k^{2}$ ряд может разойтись, и теория возмущений перестает работать. Ясно, что член
содержит уже $\ln ^{2} k^{2} / m^{2}$, и, вообще говоря, более сложные диаграммы будут расти еще сильнее с ростом $k^{2}$. В вершинную часть же (5.19) основной вклад дают фотоны с большим $k \sim \Lambda$.
Однако посмотрим на интеграл (5.19), он содержит
\[
\frac{1}{m-\hat{p}_{1}+\hat{k}} \times \cdots
\]
С усложнением диаграмм растет число знаменателей, а вместе с ним и степень $p$ в знаменателе. То есть с увеличением $p$ подынтегральные выражения будут падать. Это происходит, однако, только при $p \sim \Lambda$, поскольку основной вклад в интеграл дают $k \sim \Lambda$.
Введем достаточно большее $\Lambda$ и рассмотрим область
\[
p^{2} \gg m^{2}, \quad \Lambda^{2} / p^{2} \gg 1 .
\]
Тогда (5.19) примет простой вид:
\[
\Lambda_{\mu}^{(1)} \sim e^{2} \int_{p}^{\Lambda} \frac{d^{4} k}{k^{4}} \sim \alpha_{0} \ln \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}},
\]
так как легко убедиться, что основной вклад в интеграл (5.19) будет давать область $p \ll k \ll \Lambda$. Выберем $\Lambda$ так, чтобы
\[
\alpha_{0} \ln \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}} \sim 1, \alpha_{0} \ll 1 .
\]
Тогда вершина, например, будет иметь следующую структуру:
\[
\begin{aligned}
\Gamma & =\sum_{n \geqslant m} \alpha_{0}^{n} \ln ^{m} \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}} c_{n m}= \\
& =1+\alpha_{0} \ln \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}}+\alpha_{0}^{2} \ln ^{2} \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}}+\alpha_{0}^{2} \ln \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}}+\cdots
\end{aligned}
\]
Ясно, что наибольший вклад дадут члены $\sim \alpha_{0}^{n} \ln ^{n} \Lambda^{2} / p^{2} \sim 1$, а члены $\sim \alpha_{0}^{n+1} \ln ^{n} \Lambda^{2} / p^{2} \sim \alpha_{0}$ будут уже малой поправкой, т. е. можно записать
\[
\Gamma=f_{1}\left(\alpha_{0} \ln \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}}\right)+\alpha_{0} f_{2}\left(\alpha_{0} \ln \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}}\right)+\alpha_{0}^{2} f_{3}+\cdots
\]
Можно ограничиться первым членом (главное логарифмическое приближение), тогда задача упрощается. Определим $\Gamma, G, D$ в этом приближении.
Нарисуем скелетные диаграммы
Первое упрощение связано с тождеством Уорда:
\[
e_{c}^{2}=Z_{1}^{-2} Z_{2}^{2} Z_{3} e_{0}^{2} .
\]
Так как $Z_{1}=Z_{2}$, то расходимости, связанные с вершинной частью и функцией Грина электрона, в заряде сокращаются. А следовательно, можно переформулировать теорию так, чтобы они вообще не встретились. Это можно сделать подходящим выбором калибровки. В данном случае, следуя Ландау, выберем поперечную часть фотонной функции Грина в виде
\[
D_{\mu
u}^{t}=\frac{1}{k^{2}}\left(\delta_{\mu
u}-\frac{k_{\mu} k_{
u}}{k^{2}}\right)
\]
и покажем, что при этом расходимости в Г действительно исчезают:
\[
\begin{aligned}
\Gamma_{\mu}^{(1)} & =e_{0}^{2} \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \gamma_{\alpha} \frac{1}{m-\hat{p}_{1}+\hat{k}} \gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}_{2}+\hat{k}} \gamma_{\beta} D_{\alpha \beta}^{t}(k)= \\
& =e_{0}^{2} \int_{p}^{\Lambda} \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i}\left[\gamma_{\alpha} \frac{1}{\hat{k}} \gamma_{\mu} \frac{1}{\hat{k}} \gamma_{\alpha} \frac{1}{\hat{k}}-\hat{k} \frac{1}{\hat{k}} \gamma_{\mu} \frac{1}{\hat{k}} \hat{k} \frac{1}{k^{4}}\right]= \\
& =e_{0}^{2} \int_{p}^{\Lambda} \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i}\left[\frac{\gamma_{\alpha} \hat{k} \gamma_{\mu} \hat{k} \gamma_{\alpha}}{k^{6}}-\frac{\gamma_{\mu}}{k^{4}}\right] .
\end{aligned}
\]
Первое слагаемое содержит $k_{i} k_{j}$, в силу симметрии, при $i
eq j$ интеграл от него равен нулю, т. е.
\[
\begin{array}{c}
\frac{k_{i} k_{j}}{k^{6}} \rightarrow \delta_{i j} \frac{1}{4} k^{2} \frac{1}{k^{6}}, \\
\gamma_{\alpha} \gamma_{i} \gamma_{\mu} \gamma_{i} \gamma_{\alpha}=4 \gamma_{\mu},
\end{array}
\]
т. е. главные вклады в интеграл сократятся. Можно показать, что во втором порядке главный член $\sim \alpha_{0}^{2} \ln ^{2} \lambda^{2} / p^{2}$ исчезнет и останется член $\alpha_{0}^{2} \ln \Lambda^{2} / p^{2}$, которым мы пренебрегаем в нашем приближении. Аналогичную работу можно проделать и для $G$; в результате, в главном логарифмическом приближении получим
\[
\begin{aligned}
\Gamma_{\mu} & =\gamma_{\mu}+0\left(e_{0}^{2}\right), \\
G(p) & =-\frac{1}{\hat{p}}+0\left(e_{0}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]
Теперь вычислим $\Pi_{\mu
u}$ в этом приближении. Очевидно, поскольку $\Gamma_{\mu}=\gamma_{\mu}$. В справедливости (5.25) можно убедиться и непосредственным вычислением диаграмм более высоких порядков:
В них логарифмические вклады сократятся. Таким образом, в логарифмическом приближении вычисление поляризационного оператора $\Pi_{\mu
u}$ сводится к вычислению простейшей диаграммы.
Вычислим $\Pi_{\mu
u}(k)-\Pi_{\mu
u}(0)$ :
\[
\begin{array}{l}
\Pi_{\mu
u}(k)-\Pi_{\mu
u}(0)= \\
=-e_{0}^{2} \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \operatorname{Sp}\left\{\gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}} \gamma_{
u}\left[\frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}}-\frac{1}{m-\hat{p}}\right]\right\} .
\end{array}
\]
Разложим в ряд по степеням $\hat{k}$ выражение $(m-\hat{p}+\hat{k})^{-1}$ :
\[
\frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}}=\frac{1}{m-\hat{p}}-\frac{1}{m-\hat{p}} \hat{k} \frac{1}{m-\hat{p}}+\frac{1}{m-\hat{p}} \hat{k} \frac{1}{m-\hat{p}} \hat{k} \frac{1}{m-\hat{p}}+\cdots
\]
Первый член (5.27) сократится в подынтегральном выражении, второй даст нуль из-за симметрии при вычислении интеграла. Действительно,
\[
\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \operatorname{Sp} \gamma_{\mu} \frac{1}{\hat{p}} \gamma_{
u} \frac{1}{\hat{p}} \hat{k} \frac{1}{\hat{p}}=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \operatorname{Sp} \frac{\gamma_{\mu} \hat{p} \gamma_{
u} \hat{p} \hat{k} \hat{p}}{p^{6}}=0 .
\]
Третий член (5.27) как раз и дает логарифмическую расходимость, таким образом, будем иметь
\[
\Pi_{\mu
u}(k)-\Pi_{\mu
u}(0)=-e_{0}^{2} \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \operatorname{Sp} \gamma_{\mu} \frac{1}{\hat{p}} \gamma_{
u} \frac{1}{\hat{p}} \hat{k} \frac{1}{\hat{p}} \hat{k} \frac{1}{\hat{p}} .
\]
Так как
\[
\Pi_{\mu
u}=\left(g_{\mu
u} k^{2}-k_{\mu} k_{
u}\right) \Pi\left(k^{2}\right)
\]
то
\[
\Pi_{\mu \mu}^{c}=3 k^{2} \Pi^{c}\left(k^{2}\right) .
\]
С другой стороны, из (5.28)
\[
3 k^{2} \Pi\left(k^{2}\right)=2 e_{0}^{2} \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \frac{1}{p^{2}} \operatorname{Sp} \hat{k} \frac{1}{\hat{p}} \hat{k} \frac{1}{\hat{p}},
\]
поскольку
\[
\gamma_{\mu} \frac{1}{\hat{p}} \gamma_{\mu} \frac{1}{\hat{p}}=\frac{\gamma_{\mu} \hat{p} \gamma_{\mu} \hat{p}}{p^{4}}=-\frac{2 p^{2}}{p^{4}}=-\frac{2}{p^{2}} .
\]
После некоторых преобразований получим
\[
\Pi\left(k^{2}\right)=-\frac{4}{3} e_{0}^{2} \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \frac{1}{p^{4}} .
\]
Введя $i p_{0}^{\prime}=p_{0}$, т. е. разворачивая контур интегрирования, как обычно, евклидовым образом, будем иметь
\[
\Pi\left(k^{2}\right)=-\frac{4}{3} e_{0}^{2} \int_{k}^{\Lambda} \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4}} \frac{1}{p^{4}} .
\]
Так как
\[
d^{4} p=p^{2} d p^{2} \frac{d \Omega}{2}=\pi^{2} p^{2} d p^{2},
\]
To
\[
\Pi\left(k^{2}\right)=-\frac{4 e_{0}^{2}}{3 \cdot 16 \pi^{2}} \ln \frac{\Lambda^{2}}{k^{2}}=-\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{k^{2}} .
\]
Таким образом, в логарифмическом приближении
\[
D_{\mu
u}=\frac{g_{\mu
u}}{k^{2}} \frac{1}{1-\Pi\left(k^{2}\right)}=\frac{g_{\mu
u}}{k^{2}} \frac{1}{1+\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{k^{2}}} .
\]
Это неперенормированная функция Грина. Как ее перенормировать?
Обозначим
\[
d=\frac{1}{1+\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{k^{2}}} .
\]
Это выражение можно переписать так:
\[
\begin{array}{c}
d=\frac{1}{1+\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{k^{2}}+\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{m^{2}}-\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{m^{2}}}= \\
=\frac{1}{1+\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{m^{2}}-\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{k^{2}}{m^{2}}}=\frac{1}{1+\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{m^{2}}} \frac{1}{1-\frac{\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{k^{2}}{m^{2}}}{1+\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{m^{2}}}} .
\end{array}
\]
Обозначим
\[
Z_{3}=\frac{1}{1+\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{m^{2}}},
\]
тогда
\[
d=Z_{3} \frac{1}{1-\frac{Z_{3} \alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{k^{2}}{m^{2}}}=\frac{Z_{3}}{1-\frac{\alpha_{c}}{3 \pi} \ln \frac{k^{2}}{m^{2}}} .
\]
Таким образом, параметр обрезания вошел в постоянную перенормировки $Z_{3}$ и в физический заряд $e_{c}$, и то, что нам удалось вынести $Z_{3}$ за скобку, есть как раз свойство перенормируемости теории.
С другой стороны, мы получили
\[
\alpha_{c}=\frac{\alpha_{0}}{1+\frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{m^{2}}} .
\]
Казалось бы, все хорошо: $\alpha_{c}<\alpha_{0}$, как и должно быть из-за поляризации вакуума. Однако если устремим $\Lambda \rightarrow \infty$, то
\[
\alpha_{c}=\frac{3 \pi}{\ln \frac{\Lambda^{2}}{m^{2}}} \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad \Lambda \rightarrow \infty,
\]
т. е. при любом затравочном заряде (а мы считали $\alpha_{0} \ll 0$ ) он полностью экранируется в этом пределе, так что $\alpha_{c}=0$. Это может означать, что такой подход неверен на малых расстояниях, но если есть такое расстояние, где электродинамика становится несправедливой, мы из этого расстояния может вычислить $\alpha_{c}$ и, наоборот, вычислить $\Lambda$ по значению $\alpha_{c}=1 / 137$. Из (5.37) вытекает
\[
\frac{\Lambda^{2}}{m^{2}} \sim e^{\frac{3 \pi}{\alpha_{c}}},
\]
откуда $1 / \Lambda \simeq 10^{-50} \mathrm{~cm}$.
Ситуация несколько изменяется, если учесть вклад в поляризацию вакуума от разных сортов частиц. Если имеется, допустим, $
u$ различных частиц со спином $1 / 2$, то (5.36) изменится так:
\[
\alpha_{c}=\frac{\alpha_{0}}{1+
u \frac{\alpha_{0}}{3 \pi} \ln \frac{\Lambda^{2}}{m^{2}}} .
\]
Тогда, если принять, что квантовая электродинамика перестает работать на расстояниях порядка планковской длины, т. е. $l_{P}=$ $=\sqrt{G} \simeq 10^{-33}$ ( $G$ – ньютоновская гравитационная постоянная), то получим, что возможное число сортов частиц
\[
u \sim 12 \text {. }
\]
Хуже обстоит дело с функцией Грина, так как выражение
\[
d_{c}=\frac{1}{1-\frac{\alpha_{c}}{3 \pi} \ln \frac{k^{2}}{m^{2}}}
\]
при фиксированном $\alpha_{c}$ имеет полюс в области $k^{2}<0$, т. е. возникают частицы с мнимой массой. Впрочем, в некотором смысле, это искусственная трудность, поскольку в нашей теории $\Lambda=\infty$, т. е. $\alpha_{c}=0$. И полюса нет, но при этом нет и взаимодействия.
Эта проблема до сих пор не решена ${ }^{1}$. И если в квантовой электродинамике такая трудность возникает на безумно малых расстояниях из-за малости $\alpha_{c}$, т. е. в реальных ситуациях она несущественна, то в сильных взаимодействиях, где константа связи $g \sim 1$, мы сразу с ней
${ }^{1}$ Остался черновик работы В.Н.Грибова \”Квантовая электродинамика на малых расстояниях\”, которую он подготовил как дополнительный параграф этой главы. Он планировал обсудить там возможное решение проблемы нуля заряда – полюса Ландау в квантовой электродинамике, или в более широком смысле, в единой теории электрослабого взаимодействия. Это решение возникло в качестве \”побочного продукта\” его многолетнего изучения проблемы удержания кварков в квантовой хромодинамике (КХД) – теории \”цветных\” кварков и глюонов, которая описывает, как полагают, микроскопическую структуру адронов и их взаимодействий. Грибов показал, что когда константа связи превышает критическое значение, равное
\[
\frac{\alpha}{\pi}>1-\sqrt{\frac{2}{3}},
\]
свойства теории принципиально меняются. В теории появляются связанные состояния фермионов с отрицательной энергией и обычный вакуум становится нестабильным. Происходит явление, напоминающее фазовый переход в физике твердого тела, что приводит к кардинальному изменению свойств всех состояний.
В КХД константа связи между кварками и глюонами, в противоположность электродинамической $\alpha_{e . m}$, pacтem с расстоянием и достигает критического значения на расстояниях порядка 1 ферми ( $\left.10^{-13} \mathrm{~cm}\right)$. Грибов привел аргументы в пользу точки зрения, что сверхкритическое связывание легких кварков приводит к нестабильности \”цветных\” состояний и, в конечном счете, к явлению невылетания цвета.
В квантовой электродинамике сверхкритические явления происходят на очень малых расстояниях, порядка планковского масштаба, $l_{P}$. Они, с одной стороны, могут быть ответственны за появление хиггсовского бозона – скалярной частицы, которая необходима в современной единой теории электрослабых взаимодействий – теории Вейнберга-Салама. В.Н.Грибов предсказал, что масса составного хиггсовского бозона должна быть немного больше, чем масса тяжелейшего из кварков (так называемого top-кварка, $\left.m_{\text {top }} \approx 200 m_{\text {proton }}\right)$.
С другой стороны, сверхкритические явления приводят к решению проблемы полюса Ландау в КЭД – константа связи увеличивается на малых расстояниях, но остается конечной.
Работа В.Н.Грибова \”Квантовая электродинамика на малых расстояниях\” будет опубликована в сборнике его избранных работ, который подготавливается к печати.
сталкиваемся, так как вынуждены вводить параметр обрезания $\Lambda \sim m$. Так что там эта трудность реальная.
Заметим, что при доказательстве нуля заряда мы пользовались логарифмическим приближением:
\[
e_{0}^{2} \ln \frac{\Lambda^{2}}{p^{2}} \sim 1, \quad e_{0}^{2} \ll 1 .
\]
т. е. мы, формально говоря, не можем устремлять $\Lambda$ к $\infty$. Однако (как заметил Померанчук) выражение (5.36) получено для перенормированного заряда, который, как мы знаем, только и входит в высшие неучтенные поправки. Поскольку $\alpha_{c} \rightarrow 0$ при $\Lambda \rightarrow \infty$, то и все поправки стремятся к нулю при $\Lambda \rightarrow \infty$. Поэтому наше утверждение не зависит от условия $e_{0}^{2} \ln \Lambda^{2} / p^{2} \sim 1$.
Единственная гипотеза, которая сделана, – это условие
\[
e_{0}^{2} \ll 1 \text {. }
\]
Если отказаться от него, то мы с самого начала не имеем теории возмущений, и наша теория, по существу, не сформулирована.
