Мы строили квантовую электродинамику следующим образом. Ввели функции Грина электрона и фотона
$$\begin{array}{ll}& =G\\ {—}^{-+-+{—}^{-}}& =D_{\mu u},\end{array}$$

рассмотрели простейшее взаимодействие

В случае $\pi$-мезона нам понадобилось более сложное взаимодействие

Еще более сложные взаимодействия вводить нет смысла, так как теории получаются неперенормируемыми.

Построенная таким образом теория оказалась в блестящем согласии с экспериментом. Однако и она на очень малых расстояниях перестает работать; с этим как раз и связана проблема нуля заряда, которую мы собираемся обсуждать.
Мы видели, что диаграммы расходятся в области больших виртуальных импульсов и при этом оказываются практически не зависящими от внешних импульсов, например,
$${\mathrm{\Lambda }}_{\mu }^{(1)}=e^2\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^{4}i}{\gamma }_u\frac{1}{m-{\hat{p}}_1+\hat{k}}{\gamma }_{\mu }\frac{1}{m-{\hat{p}}_2+\hat{k}}{\gamma }_u\frac{1}{k^2}$$

от $p_1$ и $p_2$ не зависит, так как $p_1,p_2\ll k$. В области больших $k$ (т. е. малых расстояний) интеграл расходится, т. е. теория неприменима, поэтому мы ввели параметр обрезания $\mathrm{\Lambda }$, причем в области интегрирования около $\mathrm{\Lambda }$ при $p_1,p_2\ll \mathrm{\Lambda }$ интеграл не зависит ни от $p_1$, ни от $p_2$. Далее мы ввели $\mathrm{\Gamma }(m,m,0)$ и вычли ее из $\mathrm{\Gamma }(p_1,p_2,k)$, и все оказалось сходящимся, а то, что мы ничего не знаем при больших $k$, вошло в константы перенормировок, т. е. фактически в перенормированный заряд $e_c=Z_1^{-1}{Z}_2{Z}_3^{\frac{1}{2}}e$.

Однако все эти рассуждения справедливы при не очень больших внешних импульсах, а именно: мы полагали $p_1,p_2\ll \mathrm{\Lambda }$. А что произойдет, если мы будем увеличивать внешние импульсы, т. е. при $p^2/m^2\gg 1$ ? (Впервые эта задача была поставлена Гелл-Манном и Лоу, а решена Ландау, Абрикосовым и Халатниковым.)
Рассмотрим поляризационный оператор фотона
$${}_{—-}{}^k-{}_{-}={\mathrm{\Pi }}_{\mu u}(k)=(g_{\mu u}{k}^2-k_{\mu }{k}_u)\mathrm{\Pi }\left(k^2\right).$$

Мы вычислили
$${\mathrm{\Pi }}_c^{(1)}\left(k^2\right)=\frac{{\alpha }_c}{3\pi }\ln \frac{k^2}{m^2}.$$

Первые члены теории возмущений, таким образом, будут выглядеть
$$\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k^2}{k}^2\frac{{\alpha }_c}{3\pi }\ln \frac{k^2}{m^2}\frac{1}{k^2}\sim \frac{1}{k^2}(1+\frac{{\alpha }_c}{3\pi }\ln \frac{k^2}{m^2}).$$

То есть при больших $k^2$ ряд может разойтись, и теория возмущений перестает работать. Ясно, что член

содержит уже ${\ln }^2{k}^2/m^2$, и, вообще говоря, более сложные диаграммы будут расти еще сильнее с ростом $k^2$. В вершинную часть же (5.19) основной вклад дают фотоны с большим $k\sim \mathrm{\Lambda }$.
Однако посмотрим на интеграл (5.19), он содержит
$$\frac{1}{m-{\hat{p}}_1+\hat{k}}\times \cdots$$

С усложнением диаграмм растет число знаменателей, а вместе с ним и степень $p$ в знаменателе. То есть с увеличением $p$ подынтегральные выражения будут падать. Это происходит, однако, только при $p\sim \mathrm{\Lambda }$, поскольку основной вклад в интеграл дают $k\sim \mathrm{\Lambda }$.
Введем достаточно большее $\mathrm{\Lambda }$ и рассмотрим область
$$p^2\gg m^2,{\mathrm{\Lambda }}^2/p^2\gg 1.$$

Тогда (5.19) примет простой вид:
$${\mathrm{\Lambda }}_{\mu }^{(1)}\sim e^2{\int }_p^{\mathrm{\Lambda }}\frac{d^{4}k}{k^4}\sim {\alpha }_0\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{p^2},$$

так как легко убедиться, что основной вклад в интеграл (5.19) будет давать область $p\ll k\ll \mathrm{\Lambda }$. Выберем $\mathrm{\Lambda }$ так, чтобы
$${\alpha }_0\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{p^2}\sim 1,{\alpha }_0\ll 1.$$

Тогда вершина, например, будет иметь следующую структуру:
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma }& =\sum _{n⩾m}{\alpha }_0^n{\ln }^m\frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{p^2}{c}_{nm}=\\ & =1+{\alpha }_0\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{p^2}+{\alpha }_0^2{\ln }^2\frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{p^2}+{\alpha }_0^2\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{p^2}+\cdots \end{array}$$

Ясно, что наибольший вклад дадут члены $\sim {\alpha }_0^n{\ln }^n{\mathrm{\Lambda }}^2/p^2\sim 1$, а члены $\sim {\alpha }_0^{n+1}{\ln }^n{\mathrm{\Lambda }}^2/p^2\sim {\alpha }_0$ будут уже малой поправкой, т. е. можно записать
$$\mathrm{\Gamma }=f_1({\alpha }_0\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{p^2})+{\alpha }_0{f}_2({\alpha }_0\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{p^2})+{\alpha }_0^2{f}_3+\cdots$$

Можно ограничиться первым членом (главное логарифмическое приближение), тогда задача упрощается. Определим $\mathrm{\Gamma },G,D$ в этом приближении.
Нарисуем скелетные диаграммы

Первое упрощение связано с тождеством Уорда:
$$e_c^2=Z_1^{-2}{Z}_2^2{Z}_3{e}_0^2.$$

Так как $Z_1=Z_2$, то расходимости, связанные с вершинной частью и функцией Грина электрона, в заряде сокращаются. А следовательно, можно переформулировать теорию так, чтобы они вообще не встретились. Это можно сделать подходящим выбором калибровки. В данном случае, следуя Ландау, выберем поперечную часть фотонной функции Грина в виде
$$D_{\mu u}^t=\frac{1}{k^2}({\delta }_{\mu u}-\frac{k_{\mu }{k}_u}{k^2})$$

и покажем, что при этом расходимости в Г действительно исчезают:
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Gamma }}_{\mu }^{(1)}& =e_0^2\int \frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^{4}i}{\gamma }_{\alpha }\frac{1}{m-{\hat{p}}_1+\hat{k}}{\gamma }_{\mu }\frac{1}{m-{\hat{p}}_2+\hat{k}}{\gamma }_{\beta }{D}_{\alpha \beta }^t(k)=\\ & =e_0^2{\int }_p^{\mathrm{\Lambda }}\frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^{4}i}[{\gamma }_{\alpha }\frac{1}{\hat{k}}{\gamma }_{\mu }\frac{1}{\hat{k}}{\gamma }_{\alpha }\frac{1}{\hat{k}}-\hat{k}\frac{1}{\hat{k}}{\gamma }_{\mu }\frac{1}{\hat{k}}\hat{k}\frac{1}{k^4}]=\\ & =e_0^2{\int }_p^{\mathrm{\Lambda }}\frac{d^{4}k}{(2\pi {)}^{4}i}[\frac{{\gamma }_{\alpha }\hat{k}{\gamma }_{\mu }\hat{k}{\gamma }_{\alpha }}{k^6}-\frac{{\gamma }_{\mu }}{k^4}].\end{array}$$

Первое слагаемое содержит $k_i{k}_j$, в силу симметрии, при $ieqj$ интеграл от него равен нулю, т. е.
$$\begin{array}{c}\frac{k_i{k}_j}{k^6}\to {\delta }_{ij}\frac{1}{4}{k}^2\frac{1}{k^6},\\ {\gamma }_{\alpha }{\gamma }_i{\gamma }_{\mu }{\gamma }_i{\gamma }_{\alpha }=4{\gamma }_{\mu },\end{array}$$
т. е. главные вклады в интеграл сократятся. Можно показать, что во втором порядке главный член $\sim {\alpha }_0^2{\ln }^2{\lambda }^2/p^2$ исчезнет и останется член ${\alpha }_0^2\ln {\mathrm{\Lambda }}^2/p^2$, которым мы пренебрегаем в нашем приближении. Аналогичную работу можно проделать и для $G$; в результате, в главном логарифмическом приближении получим
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Gamma }}_{\mu }& ={\gamma }_{\mu }+0\left(e_0^2\right),\\ G(p)& =-\frac{1}{\hat{p}}+0\left(e_0^2\right).\end{array}$$

Теперь вычислим ${\mathrm{\Pi }}_{\mu u}$ в этом приближении. Очевидно, поскольку ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu }={\gamma }_{\mu }$. В справедливости (5.25) можно убедиться и непосредственным вычислением диаграмм более высоких порядков:

В них логарифмические вклады сократятся. Таким образом, в логарифмическом приближении вычисление поляризационного оператора ${\mathrm{\Pi }}_{\mu u}$ сводится к вычислению простейшей диаграммы.
Вычислим ${\mathrm{\Pi }}_{\mu u}(k)-{\mathrm{\Pi }}_{\mu u}(0)$ :
$$\begin{array}{l}{\mathrm{\Pi }}_{\mu u}(k)-{\mathrm{\Pi }}_{\mu u}(0)=\\ =-e_0^2\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^{4}i}\mathrm{Sp}\left\{{\gamma }_{\mu }\frac{1}{m-\hat{p}}{\gamma }_u[\frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}}-\frac{1}{m-\hat{p}}]\right\}.\end{array}$$

Разложим в ряд по степеням $\hat{k}$ выражение $(m-\hat{p}+\hat{k}{)}^{-1}$ :
$$\frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}}=\frac{1}{m-\hat{p}}-\frac{1}{m-\hat{p}}\hat{k}\frac{1}{m-\hat{p}}+\frac{1}{m-\hat{p}}\hat{k}\frac{1}{m-\hat{p}}\hat{k}\frac{1}{m-\hat{p}}+\cdots$$

Первый член (5.27) сократится в подынтегральном выражении, второй даст нуль из-за симметрии при вычислении интеграла. Действительно,
$$\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^{4}i}\mathrm{Sp}{\gamma }_{\mu }\frac{1}{\hat{p}}{\gamma }_u\frac{1}{\hat{p}}\hat{k}\frac{1}{\hat{p}}=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^{4}i}\mathrm{Sp}\frac{{\gamma }_{\mu }\hat{p}{\gamma }_u\hat{p}\hat{k}\hat{p}}{p^6}=0.$$

Третий член (5.27) как раз и дает логарифмическую расходимость, таким образом, будем иметь
$${\mathrm{\Pi }}_{\mu u}(k)-{\mathrm{\Pi }}_{\mu u}(0)=-e_0^2\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^{4}i}\mathrm{Sp}{\gamma }_{\mu }\frac{1}{\hat{p}}{\gamma }_u\frac{1}{\hat{p}}\hat{k}\frac{1}{\hat{p}}\hat{k}\frac{1}{\hat{p}}.$$

Так как
$${\mathrm{\Pi }}_{\mu u}=(g_{\mu u}{k}^2-k_{\mu }{k}_u)\mathrm{\Pi }\left(k^2\right)$$

то
$${\mathrm{\Pi }}_{\mu \mu }^c=3k^2{\mathrm{\Pi }}^c\left(k^2\right).$$

С другой стороны, из (5.28)
$$3k^2\mathrm{\Pi }\left(k^2\right)=2e_0^2\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^{4}i}\frac{1}{p^2}\mathrm{Sp}\hat{k}\frac{1}{\hat{p}}\hat{k}\frac{1}{\hat{p}},$$

поскольку
$${\gamma }_{\mu }\frac{1}{\hat{p}}{\gamma }_{\mu }\frac{1}{\hat{p}}=\frac{{\gamma }_{\mu }\hat{p}{\gamma }_{\mu }\hat{p}}{p^4}=-\frac{2p^2}{p^4}=-\frac{2}{p^2}.$$

После некоторых преобразований получим
$$\mathrm{\Pi }\left(k^2\right)=-\frac{4}{3}{e}_0^2\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^{4}i}\frac{1}{p^4}.$$

Введя $i{p}_0^{\prime }=p_0$, т. е. разворачивая контур интегрирования, как обычно, евклидовым образом, будем иметь
$$\mathrm{\Pi }\left(k^2\right)=-\frac{4}{3}{e}_0^2{\int }_k^{\mathrm{\Lambda }}\frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^4}\frac{1}{p^4}.$$

Так как
$$d^{4}p=p^{2}d{p}^2\frac{d\mathrm{\Omega }}{2}={\pi }^2{p}^{2}d{p}^2,$$

To
$$\mathrm{\Pi }\left(k^2\right)=-\frac{4e_0^2}{3\cdot 16{\pi }^2}\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{k^2}=-\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{k^2}.$$

Таким образом, в логарифмическом приближении
$$D_{\mu u}=\frac{g_{\mu u}}{k^2}\frac{1}{1-\mathrm{\Pi }\left(k^2\right)}=\frac{g_{\mu u}}{k^2}\frac{1}{1+\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{k^2}}.$$

Это неперенормированная функция Грина. Как ее перенормировать?
Обозначим
$$d=\frac{1}{1+\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{k^2}}.$$

Это выражение можно переписать так:
$$\begin{array}{c}d=\frac{1}{1+\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{k^2}+\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{m^2}-\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{m^2}}=\\ =\frac{1}{1+\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{m^2}-\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{k^2}{m^2}}=\frac{1}{1+\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{m^2}}\frac{1}{1-\frac{\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{k^2}{m^2}}{1+\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{m^2}}}.\end{array}$$

Обозначим
$$Z_3=\frac{1}{1+\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{m^2}},$$

тогда
$$d=Z_3\frac{1}{1-\frac{Z_3{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{k^2}{m^2}}=\frac{Z_3}{1-\frac{{\alpha }_c}{3\pi }\ln \frac{k^2}{m^2}}.$$

Таким образом, параметр обрезания вошел в постоянную перенормировки $Z_3$ и в физический заряд $e_c$, и то, что нам удалось вынести $Z_3$ за скобку, есть как раз свойство перенормируемости теории.
С другой стороны, мы получили
$${\alpha }_c=\frac{{\alpha }_0}{1+\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{m^2}}.$$

Казалось бы, все хорошо: ${\alpha }_c<{\alpha }_0$, как и должно быть из-за поляризации вакуума. Однако если устремим $\mathrm{\Lambda }\to \mathrm{\infty }$, то
$${\alpha }_c=\frac{3\pi }{\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{m^2}}\to 0\text{ при }\mathrm{\Lambda }\to \mathrm{\infty },$$
т. е. при любом затравочном заряде (а мы считали ${\alpha }_0\ll 0$ ) он полностью экранируется в этом пределе, так что ${\alpha }_c=0$. Это может означать, что такой подход неверен на малых расстояниях, но если есть такое расстояние, где электродинамика становится несправедливой, мы из этого расстояния может вычислить ${\alpha }_c$ и, наоборот, вычислить $\mathrm{\Lambda }$ по значению ${\alpha }_c=1/137$. Из (5.37) вытекает
$$\frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{m^2}\sim e^{\frac{3\pi }{{\alpha }_c}},$$

откуда $1/\mathrm{\Lambda }\simeq {10}^{-50}\mathrm{cm}$.
Ситуация несколько изменяется, если учесть вклад в поляризацию вакуума от разных сортов частиц. Если имеется, допустим, $u$ различных частиц со спином $1/2$, то (5.36) изменится так:
$${\alpha }_c=\frac{{\alpha }_0}{1+u\frac{{\alpha }_0}{3\pi }\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{m^2}}.$$

Тогда, если принять, что квантовая электродинамика перестает работать на расстояниях порядка планковской длины, т. е. $l_P=$ $=\sqrt{G}\simeq {10}^{-33}$ ( $G$ — ньютоновская гравитационная постоянная), то получим, что возможное число сортов частиц
\[

u \sim 12 \text {. }
\]

Хуже обстоит дело с функцией Грина, так как выражение
$$d_c=\frac{1}{1-\frac{{\alpha }_c}{3\pi }\ln \frac{k^2}{m^2}}$$

при фиксированном ${\alpha }_c$ имеет полюс в области $k^2<0$, т. е. возникают частицы с мнимой массой. Впрочем, в некотором смысле, это искусственная трудность, поскольку в нашей теории $\mathrm{\Lambda }=\mathrm{\infty }$, т. е. ${\alpha }_c=0$. И полюса нет, но при этом нет и взаимодействия.

Эта проблема до сих пор не решена ${}^1$. И если в квантовой электродинамике такая трудность возникает на безумно малых расстояниях из-за малости ${\alpha }_c$, т. е. в реальных ситуациях она несущественна, то в сильных взаимодействиях, где константа связи $g\sim 1$, мы сразу с ней
${}^1$ Остался черновик работы В.Н.Грибова \»Квантовая электродинамика на малых расстояниях\», которую он подготовил как дополнительный параграф этой главы. Он планировал обсудить там возможное решение проблемы нуля заряда — полюса Ландау в квантовой электродинамике, или в более широком смысле, в единой теории электрослабого взаимодействия. Это решение возникло в качестве \»побочного продукта\» его многолетнего изучения проблемы удержания кварков в квантовой хромодинамике (КХД) — теории \»цветных\» кварков и глюонов, которая описывает, как полагают, микроскопическую структуру адронов и их взаимодействий. Грибов показал, что когда константа связи превышает критическое значение, равное
$$\frac{\alpha }{\pi }>1-\sqrt{\frac{2}{3}},$$

свойства теории принципиально меняются. В теории появляются связанные состояния фермионов с отрицательной энергией и обычный вакуум становится нестабильным. Происходит явление, напоминающее фазовый переход в физике твердого тела, что приводит к кардинальному изменению свойств всех состояний.

В КХД константа связи между кварками и глюонами, в противоположность электродинамической ${\alpha }_{e.m}$, pacтem с расстоянием и достигает критического значения на расстояниях порядка 1 ферми ( ${10}^{-13}\mathrm{cm})$. Грибов привел аргументы в пользу точки зрения, что сверхкритическое связывание легких кварков приводит к нестабильности \»цветных\» состояний и, в конечном счете, к явлению невылетания цвета.
В квантовой электродинамике сверхкритические явления происходят на очень малых расстояниях, порядка планковского масштаба, $l_P$. Они, с одной стороны, могут быть ответственны за появление хиггсовского бозона — скалярной частицы, которая необходима в современной единой теории электрослабых взаимодействий — теории Вейнберга-Салама. В.Н.Грибов предсказал, что масса составного хиггсовского бозона должна быть немного больше, чем масса тяжелейшего из кварков (так называемого top-кварка, $m_{\text{top }}\approx 200m_{\text{proton }})$.

С другой стороны, сверхкритические явления приводят к решению проблемы полюса Ландау в КЭД — константа связи увеличивается на малых расстояниях, но остается конечной.

Работа В.Н.Грибова \»Квантовая электродинамика на малых расстояниях\» будет опубликована в сборнике его избранных работ, который подготавливается к печати.
сталкиваемся, так как вынуждены вводить параметр обрезания $\mathrm{\Lambda }\sim m$. Так что там эта трудность реальная.

Заметим, что при доказательстве нуля заряда мы пользовались логарифмическим приближением:
$$e_0^2\ln \frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{p^2}\sim 1,e_0^2\ll 1.$$
т. е. мы, формально говоря, не можем устремлять $\mathrm{\Lambda }$ к $\mathrm{\infty }$. Однако (как заметил Померанчук) выражение (5.36) получено для перенормированного заряда, который, как мы знаем, только и входит в высшие неучтенные поправки. Поскольку ${\alpha }_c\to 0$ при $\mathrm{\Lambda }\to \mathrm{\infty }$, то и все поправки стремятся к нулю при $\mathrm{\Lambda }\to \mathrm{\infty }$. Поэтому наше утверждение не зависит от условия $e_0^2\ln {\mathrm{\Lambda }}^2/p^2\sim 1$.
Единственная гипотеза, которая сделана, — это условие
$$e_0^2\ll 1\text{. }$$

Если отказаться от него, то мы с самого начала не имеем теории возмущений, и наша теория, по существу, не сформулирована.