Рассмотрим рассеяние $\pi^{-} \pi^{-} \rightarrow \pi^{-} \pi^{-}$:

Мы говорили, что мандельштамовские переменные не являются независимыми и удовлетворяют соотношению
\[
s+t+u=4 m^{2} .
\]

Чтобы помнить об этом, рисуется так называемая мандельштамовская плоскость, на которой откладываются эти переменные в направлении стрелок, как указано на рис. 10 .

Рис. 10

При этом используется свойство равностороннего треугольника, что сумма высот, опущенных из некоторой точки на плоскости на стороны (или продолжения сторон) треугольника, одинакова для всех точек плоскости (с учетом знака высот; положительные направления указаны стрелками). Таким образом, любой точке мандельштамовской плоскости соответствуют значения $s, t, u$, связанные (1.187). Очевидно, на прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно соответствующим основаниям, лежат точки $s=4 m^{2}, t=u=0 ; t=4 m^{2}, s=u=0$; $u=4 m^{2}, s=t=0$.

Рассмотрим, что такое физическая область на этой плоскости (см. рис. 11). В нашем случае рассеяния $\pi^{-}$на $\pi^{-}$в с.ц.м.
\[
s=4\left(p^{2}+m^{2}\right),
\]
т. е. $s \geqslant 4 m^{2}, t \leqslant 0, u \leqslant 0$. Это соответствует заштрихованной области. Называется она областью $s$-канала, поскольку здесь $s>0, t, u<0$. Жирными линиями на рис. 11 выделены область малых $t$, соответствующая рассеянию вперед (нерелятивистская ситуация), и область малых $u$, соответствующая рассеянию назад. Аналогично область $u \geqslant 4 m^{2}$, $s, t \leqslant 0$ называется областью $u$-канала, $t \geqslant 4 m^{2}, u, s \leqslant 0-t$-канала.

Рассмотрим, например, какому физическому процессу соответствует, например, область $u$-канала (рис. 12).

Рис. 11
Рис. 12
\

Сделаем в амплитуде процесса подстановку $p_{1}^{\prime}=-p_{1}^{+} ; p_{1}=-p_{1}^{\prime}+$. Здесь $p_{0}^{+}>0$, т. е. мы аналитически продолжаем амплитуду в область отрицательных частот. Диаграмму тогда можно перерисовать так:

Но, как мы уже говорили, такая диаграмма описывает уже $\pi^{+} \pi^{-}$-рассеяние с импульсами $p_{1}^{+}=-p_{1}^{\prime}, p^{+^{\prime}}=-p_{1}$, а переменные $s, t, u$ в этом случае станут теперь равны:
\[
\begin{array}{l}
s=\left(p_{2}-p_{1}^{+^{\prime}}\right)^{2}, \\
t=\left(p_{2}-p_{2}^{\prime}\right)^{2}, \\
u=\left(p_{1}^{+}+p_{2}\right)^{2},
\end{array}
\]
т. е. будет $u \geqslant 4 m^{2} ; s, t \leqslant 0$.

Таким образом, когда мы перешли от процесса $\pi^{-}+\pi^{-} \rightarrow \pi^{-}+\pi^{-}$ к процессу $\pi^{+}+\pi^{-} \rightarrow \pi^{+}+\pi^{-}$, наши переменные полностью изменились, и мы перешли из области $s$-канала в область $u$-канала. Мы фактически аналитически продолжили амплитуду $T$ из области $s$-канала в область $u$-канала, и при этом она стала описывать другой процесс. Именно так мы и получили (1.186) из (1.173).
Действительно, если исходная амплитуда была
\[
T=e^{2}\left[\frac{s-u}{t}+\frac{s-t}{u}\right]
\]

и была определена при $s \geqslant 4 m^{2} ; t, u<0$, то, если теперь понимать под $u: u=4\left(p_{c}^{2}+m^{2}\right)$, т. е. называть $u$ прежнюю $s$, а
\[
t=-2 p_{c}^{2}(1-\cos \theta), s=-2 p_{c}^{2}(1+\cos \theta),
\]

получим
\[
T_{\pi^{+} \pi^{-}}=e^{2}\left[\frac{u-s}{t}+\frac{u-t}{s}\right] .
\]

Именно это выражение мы и получали ранее для амплитуды $\pi^{+} \pi^{-}$рассеяния.

Таким образом, переход от частиц к античастицам можно делать двумя способами: либо вычислять амплитуды, фиксируя знак энергии $p$, а затем меняя его, либо фиксируя переменные $s, t, u$ определенным процессом, а затем аналитически продолжая амплитуду в другой канал.
Приведем еще один пример:

Если смотреть на диаграмму сверху, то в этом случае $p_{1}$ и $p_{2}^{\prime}$ являются импульсами частиц, а $p_{1}^{\prime}=-p_{1}^{+\prime}$ и $p_{2}=-p_{2}^{+}$- античастиц. С этой точки зрения
\[
\begin{array}{l}
s=\left(p_{1}-p_{2}^{+}\right)^{2}, \\
u=\left(p_{1}-p_{2}^{\prime}\right)^{2}, \\
t=\left(p_{1}+p_{1}^{+^{\prime}}\right)^{2},
\end{array}
\]
т. е. теперь мы оказываемся в области $t$-канала, который отвечает реакции $\pi^{+}\left(p^{+\prime_{1}}+\pi^{-}\left(p_{1}\right) \rightarrow \pi^{+}\left(p_{2}^{+}+\pi^{-}\left(p_{2}^{\prime}\right)\right.\right.$.

Итак, мы получили следующий важный результат: одна амплитуда описывает не один, а целый класс процессов:
в $s$-канале
\[
\pi^{-}+\pi^{-} \rightarrow \pi^{-}+\pi^{-}
\]

в $и$-канале
\[
\pi^{+}+\pi^{-} \rightarrow \pi^{+}+\pi^{-}
\]

в $t$-канале
\[
\pi^{+}+\pi^{-} \rightarrow \pi^{-}+\pi^{+} \text {. }
\]

В заключение этого параграфа заметим, что распад $\pi$-мезона на три запрещен законами сохранения, т. е. лежит в нефизической области. Но если мы увеличим массу одной частицы, то наша амплитуда опишет и этот процесс, а область распада на мандельштамовской плоскости будет внутри треугольника.