Рассмотрим рассеяние ${\pi }^{-}{\pi }^{-}\to {\pi }^{-}{\pi }^{-}$:

Мы говорили, что мандельштамовские переменные не являются независимыми и удовлетворяют соотношению
$$s+t+u=4m^2.$$

Чтобы помнить об этом, рисуется так называемая мандельштамовская плоскость, на которой откладываются эти переменные в направлении стрелок, как указано на рис. 10 .

Рис. 10

При этом используется свойство равностороннего треугольника, что сумма высот, опущенных из некоторой точки на плоскости на стороны (или продолжения сторон) треугольника, одинакова для всех точек плоскости (с учетом знака высот; положительные направления указаны стрелками). Таким образом, любой точке мандельштамовской плоскости соответствуют значения $s,t,u$, связанные (1.187). Очевидно, на прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно соответствующим основаниям, лежат точки $s=4m^2,t=u=0;t=4m^2,s=u=0$; $u=4m^2,s=t=0$.

Рассмотрим, что такое физическая область на этой плоскости (см. рис. 11). В нашем случае рассеяния ${\pi }^{-}$на ${\pi }^{-}$в с.ц.м.
$$s=4(p^2+m^2),$$
т. е. $s⩾4m^2,t⩽0,u⩽0$. Это соответствует заштрихованной области. Называется она областью $s$-канала, поскольку здесь $s>0,t,u<0$. Жирными линиями на рис. 11 выделены область малых $t$, соответствующая рассеянию вперед (нерелятивистская ситуация), и область малых $u$, соответствующая рассеянию назад. Аналогично область $u⩾4m^2$, $s,t⩽0$ называется областью $u$-канала, $t⩾4m^2,u,s⩽0-t$-канала.

Рассмотрим, например, какому физическому процессу соответствует, например, область $u$-канала (рис. 12).

Рис. 11
Рис. 12
\

Сделаем в амплитуде процесса подстановку $p_1^{\prime }=-p_1^{+};p_1=-p_1^{\prime }+$. Здесь $p_0^{+}>0$, т. е. мы аналитически продолжаем амплитуду в область отрицательных частот. Диаграмму тогда можно перерисовать так:

Но, как мы уже говорили, такая диаграмма описывает уже ${\pi }^{+}{\pi }^{-}$-рассеяние с импульсами $p_1^{+}=-p_1^{\prime },p^{{+}^{\prime }}=-p_1$, а переменные $s,t,u$ в этом случае станут теперь равны:
$$\begin{array}{l}s={(p_2-p_1^{{+}^{\prime }})}^2,\\ t={(p_2-p_2^{\prime })}^2,\\ u={(p_1^{+}+p_2)}^2,\end{array}$$
т. е. будет $u⩾4m^2;s,t⩽0$.

Таким образом, когда мы перешли от процесса ${\pi }^{-}+{\pi }^{-}\to {\pi }^{-}+{\pi }^{-}$ к процессу ${\pi }^{+}+{\pi }^{-}\to {\pi }^{+}+{\pi }^{-}$, наши переменные полностью изменились, и мы перешли из области $s$-канала в область $u$-канала. Мы фактически аналитически продолжили амплитуду $T$ из области $s$-канала в область $u$-канала, и при этом она стала описывать другой процесс. Именно так мы и получили (1.186) из (1.173).
Действительно, если исходная амплитуда была
$$T=e^2[\frac{s-u}{t}+\frac{s-t}{u}]$$

и была определена при $s⩾4m^2;t,u<0$, то, если теперь понимать под $u:u=4(p_c^2+m^2)$, т. е. называть $u$ прежнюю $s$, а
$$t=-2p_c^2(1-\cos \theta ),s=-2p_c^2(1+\cos \theta ),$$

получим
$$T_{{\pi }^{+}{\pi }^{-}}=e^2[\frac{u-s}{t}+\frac{u-t}{s}].$$

Именно это выражение мы и получали ранее для амплитуды ${\pi }^{+}{\pi }^{-}$рассеяния.

Таким образом, переход от частиц к античастицам можно делать двумя способами: либо вычислять амплитуды, фиксируя знак энергии $p$, а затем меняя его, либо фиксируя переменные $s,t,u$ определенным процессом, а затем аналитически продолжая амплитуду в другой канал.
Приведем еще один пример:

Если смотреть на диаграмму сверху, то в этом случае $p_1$ и $p_2^{\prime }$ являются импульсами частиц, а $p_1^{\prime }=-p_1^{+\prime }$ и $p_2=-p_2^{+}$- античастиц. С этой точки зрения
$$\begin{array}{l}s={(p_1-p_2^{+})}^2,\\ u={(p_1-p_2^{\prime })}^2,\\ t={(p_1+p_1^{{+}^{\prime }})}^2,\end{array}$$
т. е. теперь мы оказываемся в области $t$-канала, который отвечает реакции ${\pi }^{+}(p^{+{\prime }_1}+{\pi }^{-}\left(p_1\right)\to {\pi }^{+}(p_2^{+}+{\pi }^{-}\left(p_2^{\prime }\right)$.

Итак, мы получили следующий важный результат: одна амплитуда описывает не один, а целый класс процессов:
в $s$-канале
$${\pi }^{-}+{\pi }^{-}\to {\pi }^{-}+{\pi }^{-}$$

в $и$-канале
$${\pi }^{+}+{\pi }^{-}\to {\pi }^{+}+{\pi }^{-}$$

в $t$-канале
$${\pi }^{+}+{\pi }^{-}\to {\pi }^{-}+{\pi }^{+}\text{. }$$

В заключение этого параграфа заметим, что распад $\pi$-мезона на три запрещен законами сохранения, т. е. лежит в нефизической области. Но если мы увеличим массу одной частицы, то наша амплитуда опишет и этот процесс, а область распада на мандельштамовской плоскости будет внутри треугольника.