Посмотрим, что произойдет с фотонной функцией Грина в результате всевозможных процессов. Обозначим точную функцию Грина фотона $D_{\mu
u}$ графически следующим образом: ====, тогда

Если в результате суммирования всех диаграмм возникнет перенормировка массы фотона, то он перестанет быть фотоном, т. е. наша теория приведет к неверному результату. Посмотрим, так ли это.

Аналогично собственной энергии электрона $\Sigma(p)$, введем для фотона сумму всех диаграмм, которые не делятся однофотонной линией:

Эту сумму называют поляризационным оператором фотона. Тогда

или
\[
D_{\mu
u}(k)=D_{\mu
u}^{0}(k)+D_{\mu \mu^{\prime}}^{0}(k) \Pi_{\mu^{\prime}
u^{\prime}} D_{
u^{\prime}
u}^{0}(k)+D_{\mu \mu^{\prime}}^{0} \Pi_{\mu^{\prime}
u^{\prime}} D_{
u^{\prime}
u^{\prime \prime}}^{0} \Pi_{
u^{\prime \prime} \mu^{\prime \prime}} D_{\mu^{\prime \prime}
u}^{0} .
\]

Заметим, что
\[
D_{\mu
u}(k)=D_{\mu
u}^{0}(k)+D_{\mu \mu^{\prime}}^{0}(k) \Pi_{\mu^{\prime}
u^{\prime}} D_{
u^{\prime}
u}(k) .
\]

Подставляя $D_{\mu
u}^{0}=g_{\mu
u} / k^{2}$, получим
\[
k^{2} D_{\mu
u}=g_{\mu
u}+\Pi_{\mu
u^{\prime}} D_{
u^{\prime}
u},
\]

или
\[
\left[k^{2} \delta_{\mu
u^{\prime}}-\Pi_{\mu
u^{\prime}}(k)\right] D_{
u^{\prime}
u}=g_{\mu
u} .
\]

$\Pi_{\mu
u}$ – тензор второго ранга, зависящий от $k_{\mu}$, поэтому его можно представить в виде
\[
\Pi_{\mu
u}(k)=g_{\mu
u} a_{1}\left(k^{2}\right)+k_{\mu} k_{
u} a_{2}\left(k^{2}\right) .
\]

Аналогично для $D_{\mu
u}$ :
\[
D_{\mu
u}(k)=g_{\mu
u} d_{1}\left(k^{2}\right)+k_{\mu} k_{
u} d_{2}\left(k^{2}\right) .
\]

Подставляя (4.25) в (4.24), получим
\[
\left[k^{2}-a_{1}\left(k^{2}\right)\right] D_{\mu
u}(k)-k_{\mu} k_{
u^{\prime}} D_{
u^{\prime}
u} a_{2}\left(k^{2}\right)=g_{\mu
u}
\]

и окончательно
\[
\begin{array}{l}
{\left[k^{2}-a_{1}\left(k^{2}\right)\right] d_{1}\left(k^{2}\right) g_{\mu
u}+\left[k^{2}-a_{1}\left(k^{2}\right)\right] k_{\mu} k_{
u} d_{2}\left(k^{2}\right)-} \\
-\left[k_{\mu} k_{
u} d_{1}\left(k^{2}\right) a_{2}\left(k^{2}\right)+k^{2} d_{2}\left(k^{2}\right) a_{2}\left(k^{2}\right) k_{\mu} k_{
u}\right]=g_{\mu
u} .
\end{array}
\]

Приравнивая в (4.28) множители перед $\delta_{\mu
u}$ справа и слева, получим
\[
\left[k^{2}-a_{1}\left(k^{2}\right)\right] d_{1}\left(k^{2}\right)=1,
\]
т. e.
\[
d_{1}\left(k^{2}\right)=\frac{1}{k^{2}-a_{1}\left(k^{2}\right)} .
\]

Аналогично,
\[
d_{2}\left(k^{2}\right)=\frac{a_{2}}{\left(k^{2}-a_{1}\right)\left(k^{2}-a_{1}-k^{2} a_{2}\right)} .
\]

Благодаря сохранению тока член в $D_{\mu
u}$, пропорциональный $k_{\mu} k_{
u}$, вкладов в реальные амплитуды не дает, и пока мы его оставим. Сосредоточимся поэтому на части $D_{\mu
u}$, пропорциональной $g_{\mu
u}:{ }^{1}$
\[
D_{\mu
u}^{t}=\frac{g_{\mu
u}}{k^{2}-a_{1}\left(k^{2}\right)} .
\]
${ }^{1}$ Обычно (4.26) переписывают в виде
\[
D_{\mu
u}(k)=g_{\mu
u} d_{1}\left(k^{2}\right)+k_{\mu} k_{
u} d_{2}\left(k^{2}\right) \equiv d_{1}\left(k^{2}\right)\left(g_{\mu
u}-\frac{k_{\mu} k_{
u}}{k^{2}}\right)+\tilde{d}_{2}\left(k^{2}\right) k_{\mu} k_{
u},
\]

где
\[
\tilde{d}_{2}=\frac{1}{k^{2}} \frac{1}{k^{2}-a_{1}-k^{2} a_{2}} .
\]

Поперечной частью функции Грина называют обычно $d_{1}\left(k^{2}\right)\left(g_{\mu
u}-k_{\mu} k_{
u} / k^{2}\right)$. Она обращается в нуль при умножении на $k_{\mu}$, так как $k_{\mu}\left(g_{\mu
u}-k_{\mu} k_{
u} / k^{2}\right)=0$. Обсуждаемая нами функция $d_{1}\left(k^{2}\right)$ как раз и входит в поперечную часть функции Грина.

Если предположим, что $D_{\mu
u}^{t}$ имеет полюс при $k^{2}
eq 0$, то получим теорию, не имеющую отношения к электродинамике. Это означает, что вид (4.30) для $D_{\mu
u}^{t}$ накладывает ограничения на вид $a_{1}\left(k^{2}\right)$, а следовательно, и на поляризационный оператор $\Pi_{\mu
u}(k)$. Попытаемся выяснить, удовлетворяет ли $\Pi_{\mu
u}(k)$ этим требованиям (т. е. не получится ли полюс $D_{\mu
u}$ при $k^{2}
eq 0$ ).

В силу сохранения тока, для амплитуды любого процесса $M_{\mu}$ имеем
\[
k_{\mu} M_{\mu}=0 .
\]

Причем в (4.31) мы не предполагали $k^{2}=0$, т. е. гипотеза сохранения тока справедлива и для процессов с виртуальными фотонами. А тогда для $\Pi_{\mu
u}$, поскольку он представляет амплитуду такого процесса

можно написать
\[
k_{\mu} \Pi_{\mu
u}=0,
\]

или, подставляя (4.25),
\[
k_{\mu} g_{\mu
u} a_{1}\left(k^{2}\right)+k_{\mu} k_{\mu} k_{
u} a_{2}\left(k^{2}\right)=0 .
\]

Отсюда следует, что
\[
a_{1}\left(k^{2}\right)=-k^{2} a_{2}\left(k^{2}\right),
\]
т. е. поляризационный оператор можно написать в виде
\[
\Pi_{\mu
u}(k)=\left(g_{\mu
u} k^{2}-k_{\mu} k_{
u}\right) \Pi\left(k^{2}\right),
\]

где
\[
a_{1}\left(k^{2}\right)=k^{2} \Pi\left(k^{2}\right) .
\]

Если при $k^{2} \rightarrow 0$ функция $\Pi\left(k^{2}\right)$ конечна, то $a_{1}\left(k^{2}\right) \sim k^{2}$, полюс $D_{\mu
u}$ остается в нуле и теория внутренне согласована. Проверим, что $\Pi\left(k^{2}\right)$ в бесконечность при $k^{2} \rightarrow 0$ не обращается. Для этой цели достаточно проверить, удовлетворяет ли $\Pi_{\mu
u}$ сохранению тока. Первый член в разложении $\Pi_{\mu
u}$ таков:
T. e.
\[
\begin{aligned}
\Pi_{\mu
u}^{(1)} & =-e^{2} \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \operatorname{Sp}\left(\gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}} \gamma_{
u} \frac{1}{m-\hat{p}++\hat{k}}\right), \\
k_{\mu} \Pi_{\mu
u}^{(1)}(k) & =-e^{2} \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \operatorname{Sp}\left(\hat{k} \frac{1}{m-\hat{p}} \gamma_{
u} \frac{1}{m-\hat{p}++\hat{k}}\right) .
\end{aligned}
\]

Представляя $\hat{k} \equiv \hat{k}+m-\hat{p}-m+\hat{p}$, получим
\[
k_{\mu} \Pi_{\mu
u}^{(1)}=-e^{2} \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \operatorname{Sp}\left(-\frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}} \gamma_{
u}+\frac{1}{m-\hat{p}} \gamma_{
u}\right)=0,
\]

поскольку заменой $p-k=p^{\prime}$ подынтегральное выражение сводится к
\[
\frac{1}{m-\hat{p}}-\frac{1}{m-\hat{p}}=0 \text {. }
\]
(Заметим, что каждый из интегралов расходится, как $\int d^{4} p / p^{2}$.) Аналогично все можно проделать и для высших порядков.

Таким образом, мы получили, что масса фотона не перенормируется, и это следствие сохранения тока.
Итак, функция Грина фотона имеет вид:
\[
D_{\mu
u}=\frac{g_{\mu
u}}{k^{2}\left[1-\Pi\left(k^{2}\right)\right]} .
\]

Как и для электрона, можно ввести величину:
\[
\Pi_{c}\left(k^{2}\right)=\frac{\Pi\left(k^{2}\right)-\Pi(0)}{1-\Pi(0)},
\]

которая обращается в нуль при $k^{2}=0$, и записать функцию Грина в форме:
\[
D_{\mu
u}=\frac{Z_{3} g_{\mu
u}}{k^{2}\left[1-\Pi_{c}\left(k^{2}\right)\right]} \equiv D_{\mu
u}^{c}\left(k^{2}\right),
\]

где $Z_{3}=1 /[1-\Pi(0)]$ и мы ввели перенормированную функцию Грина фотона $D_{\mu
u}^{c}\left(k^{2}\right)$.

При вычислении амплитуд, как и в случае электронов, возникнет перенормировка волновых функций фотона, т. е. множитель $\sqrt{Z_{3}}$. Как и раньше, один корень $\sqrt{Z_{3}}$ мы отнесем к потоку, а один – к амплитуде, т.е. на каждую внешнюю фотонную линию будем добавлять множитель $\sqrt{Z_{3}}$, а нормировку оставим прежнюю.

Таким образом, мы можем дать рецепт построения произвольных амплитуд рассеяния, например, для процесса

Нужно нарисовать всевозможные фейнмановские диаграммы и сопоставить:
\[
G_{0}=\frac{1}{m_{0}-\hat{p}} \quad \text { внутренней электронной линии } \xrightarrow{p},
\]
$D_{\mu
u}^{0}=\frac{g_{\mu
u}}{k^{2}} \quad$ внутренней фотонной линии $\quad–\frac{k}{-}-\cdots$,
для наружных линий:
$u(p) e^{-i p x} \sqrt{Z_{2}}$ начальному электрону,
\[
\bar{u}(p) e^{i p x} \sqrt{Z_{2}} \text { конечному электрону, }
\]

соответственно,
$\bar{v}(p) e^{-i p x} \sqrt{Z_{2}}$ начальному позитрону,
$v(p) e^{i p x} \sqrt{Z_{2}}$ конечному позитрону,
$e_{\mu}^{\lambda} e^{-i k x} \sqrt{Z_{3}}$ начальному фотону,
$e_{\mu}^{\lambda} e^{i k x} \sqrt{Z_{3}}$ конечному фотону,

причем для внешних линий $p^{2}=m^{2}, k^{2}=0$.

Все полученные выражения должны быть антисимметризованы по внешним электронных линиям, т. е.

и симметризованы по внешним фотонным линиям. Внутри у нас пока стоят \”голые\” электронные линии, т. е. $G_{0}$ и $D_{\mu
u}^{0}$; ясно, что на самом деле и внутри возможны процессы

ит.д.
Сумма всех таких диаграмм даст внутри точные функции Грина, т. е. внутренним линиям нужно будет сопоставлять не \”голые\”, а точные функции Грина. Мы уже знаем некоторые их свойства, а именно:
\[
\begin{array}{c}
G(p)=\frac{Z_{2}}{m-\hat{p}+\Sigma_{c}(p)}, \\
D_{\mu
u}(k)=\frac{Z_{3} g_{\mu
u}}{k^{2}\left[1-\Pi_{c}\left(k^{2}\right)\right]},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\Sigma_{c}(\hat{p})=\frac{\Sigma(\hat{p})-\Sigma(m)-(\hat{p}-m) \Sigma^{\prime}(m)}{1-\Sigma^{\prime}(m)}, \\
\Pi_{c}\left(k^{2}\right)=\frac{\Pi\left(k^{2}\right)-\Pi(0)}{1-\Pi(0)},
\end{array}
\]
т. е. точные функции Грина (4.37), (4.38) похожи на свободные.