Состояние частицы с $J=1 / 2$ можно описать при помощи двух величин $\varphi_{\lambda}(\lambda=1,2)$, которые имеют смысл амплитуд вероятности обнаружения частицы в состоянии с проекциями спина $1 / 2$ и $-1 / 2$. Их мы можем объединить в одну двухкомпонентную величину $\left(\begin{array}{l}\varphi_{1} \\ \varphi_{2}\end{array}\right)$. Тогда волновая функция покоящейся частицы запишется как обычно:
\[
\Psi_{0}=\left(\begin{array}{l}
\varphi_{1} \\
\varphi_{2}
\end{array}\right) e^{-i m t} .
\]

Для движущейся частицы со спином $J=0$ мы имели
\[
\Psi=\frac{e^{-i p x}}{\sqrt{2 p_{0}}} .
\]

В нашем случае ситуация более сложная: чтобы получить волновую функцию частицы с конечным импульсом, нужно сделать преобразование от покоящейся к движущейся системе отсчета. Для этого нужно знать закон, по которому будут преобразовываться $\varphi_{\lambda}$ при преобразованиях Лоренца. Другими словами, задача сводится к нахождению представления группы Лоренца, по которому преобразуются наши двухкомпонентные величины.
Преобразования Лоренца имеют вид:
\[
x_{i}^{\prime}=a_{i k} x_{k},
\]

причем матрица преобразования зависит от шести параметров: трех углов Эйлера $\theta_{i}$, соответствующих пространственным поворотам, и трех компонент скорости $v_{i}$, соответствующих переходу из одной системы отсчета в другую, движущуюся относительно первой.
Теперь обратимся к волновым функциям. Если в покоящейся системе мы имели некоторые величины $\xi_{1}, \xi_{2}$, то при переходе к движущейся системе они будут преобразовываться в общем случае так:
\[
\begin{array}{l}
\xi_{1}^{\prime}=u_{11} \xi_{1}+u_{12} \xi_{2}, \\
\xi_{2}^{\prime}=u_{21} \xi_{1}+u_{21} \xi_{2} .
\end{array}
\]

Вообще говоря, как $\xi_{i}$, так и $u_{i k}$ комплексны. Поэтому матрица $u_{i k}$ содержит 8 параметров. Наложим на нее условие:
\[
\operatorname{det}\left(u_{i k}\right)=u_{11} u_{22}-u_{12} u_{21}=1 .
\]

В (2.4) содержится два условия, на вещественную и мнимую части, так что теперь матрица $u_{i k}$ будет содержать 6 независимых параметров столько же, сколько в общем преобразовании Лоренца. Установим соответствие между этими величинами и параметрами преобразований Лоренца. Как известно, любую матрицу второго порядка можно представить в виде суперпозиции четырех матриц: единичной и трех матриц Паули:
\[
I=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \sigma_{x}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \sigma_{y}=\left(\begin{array}{ll}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \sigma_{z}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\]

Матрицы Паули обладают следующими свойствами:
\[
\left[\sigma_{i} \sigma_{k}\right]=2 i \epsilon_{i k l} \sigma_{k}, \sigma_{x} \sigma_{y}=i \sigma_{z}, \sigma_{y} \sigma_{z}=i \sigma_{x}, \sigma_{z} \sigma_{x}=i \sigma_{y},
\]
т. е. ведут себя как генераторы поворота в трехмерном пространстве.

Поворотам в обычном трехмерном пространстве соответствует следующее преобразование величины $\xi=\left(\begin{array}{l}\xi_{1} \\ \xi_{2}\end{array}\right)$ :
\[
\xi^{\prime}=u \xi
\]

где
\[
u=e^{\frac{i}{2} \sigma_{z} \theta_{z}} e^{\frac{i}{2} \sigma_{y} \theta_{y}} e^{\frac{i}{2} \sigma_{x} \theta_{x}},
\]

или
\[
u=e^{\frac{i}{2} \sigma_{n} \theta_{n}},
\]

где $\sigma_{n}$ – проекция \”вектора\” $\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}\right)$ на ось поворота, $\theta_{n}$ – угол поворота относительно этой оси.

Сопряженная величина $\xi^{*}$ будет преобразовываться так:
\[
\xi^{* *}=e^{-\frac{i}{2} \sigma_{n}^{*} \theta_{n}} \xi^{*} ;
\]

транспонируя это соотношение, получим
\[
\xi^{\prime * \top}=\xi^{* \top} e^{-\frac{i}{2} \sigma_{n}^{* \top} \theta_{n}},
\]

или
\[
\xi^{\prime+}=\xi^{+} e^{-\frac{i}{2} \sigma_{n} \theta_{n}},
\]

в силу эрмитовости матриц Паули. Символом * мы обозначили комплексное сопряжение, $T$ – транспонирование, \”+\” – эрмитово сопряжение, $\xi^{+}$означает здесь строчку $\left(\xi_{1}^{*}, \xi_{2}^{*}\right)$, вместо столбца ( $\left(\begin{array}{l}\xi_{1} \\ \xi_{2}\end{array}\right)$. Величина $\left(\xi^{+} \xi\right)$, согласно правилу обычного умножения матриц, есть
\[
\left(\xi^{+} \xi\right)=\xi_{1}^{*} \xi_{1}+\xi_{2}^{*} \xi_{2},
\]

что совпадает с обычным определением скалярного произведения в двумерном пространстве. Рассмотрим, как она преобразуется при преобразованиях (2.3), а соответственно, и при преобразованиях в обычном пространстве. Видим, что в силу (2.8), (2.9)
\[
\left(\xi^{\prime+} \xi^{\prime}\right)=\left(\xi^{+} \xi\right)
\]
т. е. преобразование является унитарным.
Рассмотрим теперь закон преобразования для величины
\[
A_{i}=\xi^{+} \sigma_{i} \xi .
\]

После преобразования она переходит в
\[
A_{i}^{\prime}=\xi^{\prime+} \sigma_{i} \xi^{\prime} .
\]

Так, относительно вращения вокруг оси $z$, компонента $A_{x}$ становится равной
\[
\begin{array}{l}
A_{x}^{\prime}=\xi^{+} e^{-\frac{i}{2} \sigma_{z} \theta_{z}} \sigma_{x} e^{\frac{i}{2} \sigma_{z} \theta_{z}} \xi= \\
=\xi^{+}\left(\cos \frac{1}{2} \sigma_{z} \theta_{z}-i \sin \frac{1}{2} \sigma_{z} \theta_{z}\right) \sigma_{x}\left(\cos \frac{1}{2} \sigma_{z} \theta_{z}+i \sin \frac{1}{2} \sigma_{z} \theta_{z}\right) \xi .
\end{array}
\]

Поскольку разложение $\cos x$ в ряд содержит только четные степени $x$, а $\sigma_{i}^{2}=1$, получим
\[
\cos \frac{1}{2} \sigma_{z} \theta_{z}=\mathrm{I} \cos \frac{1}{2} \theta_{\mathrm{z}} .
\]

Аналогично
\[
\sin \frac{1}{2} \sigma_{z} \theta_{z}=\sigma_{z} \sin \frac{1}{2} \theta_{z}
\]

поскольку разложение синуса содержит только нечетные степени, а нечетная степень $\sigma_{z}$ равна $\sigma_{z}$. Таким образом,
\[
\begin{aligned}
A_{x}^{\prime} & =\xi^{+}\left(I \cos \frac{\theta_{z}}{2}-i \sigma_{z} \sin \frac{\theta_{z}}{2}\right)\left(\sigma_{x} \cos \frac{\theta_{z}}{2}+i \sigma_{x} \sigma_{z} \sin \frac{\theta_{z}}{2}\right) \xi= \\
& =\xi^{+}\left(\sigma_{x} \cos ^{2} \frac{\theta_{z}}{2}+\sigma_{y} \sin \frac{\theta_{z}}{2} \cos \frac{\theta_{z}}{2}+\sigma_{y} \sin \frac{\theta_{z}}{2} \cos \frac{\theta_{z}}{2}-\sigma_{z} \sin ^{2} \frac{\theta_{z}}{2}\right) \xi= \\
& =\xi^{+}\left(\sigma_{x} \cos \theta+\sigma_{y} \sin \theta\right) \xi=A_{x} \cos \theta+A_{y} \sin \theta
\end{aligned}
\]

Величина $A_{x}$ преобразуется при вращениях как $x$-компонента трехмерного вектора. Повторяя вычисления для других компонент, можно показать, что величина $A_{i}=\xi^{+} \sigma_{i} \xi$ преобразуется при поворотах, как обычный вектор в трехмерном пространстве. Единственное отличие в том, что при отражениях он ведет себя как псевдовектор, т. е. не меняет знак.

Мы фактически рассмотрели представление группы вращений трехмерного пространства, являющейся трехпараметрической подгруппой группы Лоренца. По аналогии с этим построим представление, соответствующее преобразованиям Лоренца.

Пусть система отсчета движется вдоль оси $z$ со скоростью $v$, тогда в этой системе
\[
z^{\prime}=\frac{z+v t}{\sqrt{1-v^{2}}}=z \operatorname{ch} \chi+t \operatorname{sh} \chi
\]

или:
\[
t^{\prime}=\frac{t+v z}{\sqrt{1-v^{2}}}=z \operatorname{sh} \chi+t \operatorname{ch} \chi
\]

где $\operatorname{th} \chi=v$. Эти преобразования очень похожи на поворот на комплексный угол, поэтому по аналогии для матрицы преобразования двухкомпонентных величин положим
\[
\left.u_{z}=e^{\frac{\chi}{2} \sigma_{z}} \quad \text { (возможно также } \tilde{u}_{z}=e^{-\frac{\chi}{2} \sigma_{z}}\right),
\]
т. e.
\[
\xi^{\prime}=e^{\frac{\chi}{2} \sigma_{z}} \xi, \quad \xi^{\prime+}=\xi^{+} e^{\frac{\chi}{2} \sigma_{\tilde{z}}} .
\]

Как и раньше, величина $A_{z}=\xi^{+} \sigma_{z} \xi$ будет преобразовываться по закону (2.13), где роль временной компоненты играет $A_{0}=\xi^{+} \xi$, и сама $A_{0}$

будет преобразовываться как время в (2.13). Действительно, из (2.14) напишем
\[
\begin{array}{r}
A_{0}^{\prime}=\xi^{\prime+} \xi^{\prime}=\xi^{+} e^{\chi \sigma_{z}} \xi=\xi^{+}\left(\operatorname{ch} \chi+\sigma_{z} \operatorname{sh} \chi\right) \xi= \\
\left(\xi^{+} \sigma_{z} \xi\right) \operatorname{sh} \chi+\left(\xi^{+} \xi\right) \operatorname{ch} \chi=A_{z} \operatorname{sh} \chi+A_{0} \operatorname{ch} \chi .
\end{array}
\]

Аналогично и для $A_{z}$, т. е. величина $\left(A_{0}, \mathbf{A}\right)=\left(\xi^{+} \xi, \xi^{+} \boldsymbol{\sigma} \xi\right)$ образует 4-вектор.

Итак, для движения вдоль произвольного направления $\mathbf{n}$ можно написать
\[
\xi^{\prime}=e^{\frac{\chi}{2}(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n})} \xi .
\]

Но, с другой стороны, представление группы Лоренца можно получить преобразованиями
\[
\dot{\xi}^{\prime}=e^{-\frac{\chi}{2}\left(\boldsymbol{\sigma}_{\mathbf{n}}\right)} \dot{\xi}
\]

Точками мы обозначили величины, которые преобразуются по (2.16). Это говорит о том, что в двумерном комплексном пространстве ${ }^{1}$ реализуются два представления группы Лоренца, или так называемое двузначное представление. Закон преобразования (2.16) соответствует движению в противоположном направлении (действительно, замена $\chi \rightarrow-\chi$ приводит в (2.13) к изменению знака скорости).

Итак, мы имеем два сорта величин $\xi$ и $\dot{\xi}$, которые преобразуются по различным представлениям группы Лоренца. Какие из них мы выберем в качестве волновой функции частицы со спином $1 / 2$ ?
Перейдем к системе отсчета, где частица движется со скоростью $v$ :
\[
\mathbf{v}=\frac{\mathbf{p}}{p_{0}} ; \frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}=\frac{p_{0}}{m}=\operatorname{ch} \chi .
\]

Из (2.15) следует
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime}=\left[\operatorname{ch} \frac{\chi}{2}+(\boldsymbol{\sigma n}) \operatorname{sh} \frac{\chi}{2}\right] \varphi e^{-i p x}= \\
{\left[\sqrt{\frac{\operatorname{ch} \chi+1}{2}}+(\boldsymbol{\sigma n}) \sqrt{\frac{\operatorname{ch} \chi-1}{2}}\right] \varphi e^{-i p x},}
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Векторы в таком пространстве называются спинорами, т. е. наши двухкомпонентные величины – это спиноры.

т. е. если в качестве закона преобразования волновой функции взять (2.15), то для движущейся частицы будем иметь
\[
\xi^{\prime}=\left[\sqrt{\frac{p_{0}+m}{2 m}}+(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n}) \sqrt{\frac{p_{0}-m}{2 m}}\right] \varphi e^{-i p x} .
\]

Однако имеется и другая возможность: движение в противоположную сторону. Используя (2.16), в этом случае получим
\[
\dot{\xi}^{\prime}=\left[\sqrt{\frac{p_{0}+m}{2 m}}-(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n}) \sqrt{\frac{p_{0}-m}{2 m}}\right] \varphi e^{-i p x} .
\]

Которая из этих волновых функций верна – это вопрос эксперимента, для нейтрино, например, имеются обе возможности.
Что произойдет при отражении $z \rightarrow-z$ ? Видно, что
\[
\xi \rightarrow \dot{\xi}
\]

Это означает, что если частица описывалась какой-то из этих функций в правой системе координат, то при переходе в левую ее волновая функция изменится, т. е. в этом случае частица сама содержит в себе понятие левого и правого. С нейтрино так и есть на самом деле.

Но если частица совершенно симметрична (т. е. \”не знает\”, где право, где лево), то при отражении ничего не должно измениться. Описание частицы в правой и левой системе отсчета должны быть эквивалентны (сохранение четности). Такие частицы должны описываться некоторой суперпозицией $\xi$ и $\dot{\xi}$. Но обычно поступают так: вводят четырехкомпонентную величину (биспинор) и волновую функцию полагают равной
\[
\Psi \sim\left(\begin{array}{c}
\xi \\
\dot{\xi}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\xi_{1} \\
\xi_{2} \\
\dot{\xi}_{1} \\
\dot{\xi}_{2}
\end{array}\right) .
\]

Если все эти величины будут входить в различные выражения симметрично, то четность будет сохраняться автоматически.

Описание частицы со спином $1 / 2$ биспинором не диктуется законами природы, это просто удобная форма записи (она возникла из уравнения Дирака). Часто удобно вводить также двухкомпонентные волновые функции с определенной четностью:
\[
\begin{array}{l}
\Psi_{1}=\frac{1}{2}(\xi+\dot{\xi}) \\
\Psi_{2}=\frac{1}{2}(\xi-\dot{\xi}) .
\end{array}
\]

Явный вид этих функций:
\[
\begin{array}{l}
\Psi_{1}=\sqrt{\frac{p_{0}+m}{2 m}} \varphi e^{-i p x}, \\
\Psi_{2}=(\boldsymbol{\sigma n}) \sqrt{\frac{p_{0}-m}{2 m}} \varphi e^{-i p x} .
\end{array}
\]

Удобно в этом выражении исключить $\mathbf{n}$ :
\[
\mathbf{p}=\mathbf{n} \sqrt{p_{0}^{2}-m},
\]

тогда
\[
\Psi_{2}=\frac{(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{p})}{p_{0}+m} \sqrt{\frac{p_{0}+m}{2 m}} \varphi e^{-i p x}=\frac{(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{p})}{p_{0}+m} \Psi_{1} .
\]

Поскольку мы ввели две \”лишние\” величины $\left(\Psi_{2}\right)$ только для того, чтобы поддержать симметрию волновой функции относительно пространственного отражения, то, естественно, они выражаются через $\Psi_{1}$. Теперь попытаемся написать уравнение, связывающее все эти величины, чтобы в нем поддерживалась симметрия между левым и правым и чтобы покоящаяся частица имела определенную (например, положительную) четность (в системе покоя $\Psi_{2}=0$, как следует из (2.21)). Для этой цели введем четырехмерные матрицы $\gamma$ (матрицы Дирака в стандартном представлении):
\[
\gamma_{0}=\left(\begin{array}{ll}
I & 0 \\
0 & -I
\end{array}\right), \gamma_{i}=\left(\begin{array}{ll}
0 & \sigma_{i} \\
-\sigma_{i} & 0
\end{array}\right) .
\]

Тогда можно написать
\[
\left(\gamma_{0} p_{0}-\gamma \mathbf{p}-m\right) \Psi=0,
\]

где
\[
\Psi=\left(\begin{array}{c}
\Psi_{1} \\
\Psi_{2}
\end{array}\right)
\]

Уравнение (2.22) называется уравнением Дирака. Расписывая его в компонентах, получим
\[
\begin{array}{c}
\left(p_{0}-m\right) \Psi_{1}-(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{p}) \Psi_{2}=0, \\
\left(-p_{0}-m\right) \Psi_{2}+(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{p}) \Psi_{1}=0 .
\end{array}
\]

Из (2.25) вытекает (2.21). А подставляя в (2.24) выражение для $\Psi_{2}$ из (2.21), получим связь между энергией и импульсом:
\[
\left[\left(p_{0}-m\right)-\frac{(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{p})^{2}}{p_{0}+m}\right] \Psi_{1}=0,
\]

или
\[
\frac{p_{0}^{2}-m^{2}-\mathbf{p}^{2}}{p_{0}+m} \Psi_{1}=0, \quad \text { т. е. } p_{0}^{2}-\mathbf{p}^{2}=m^{2} .
\]

Уравнение (2.22) релятивистски инвариантно, поскольку $\gamma_{0} p_{0}-\gamma \mathbf{p}=$ $=\gamma_{\mu} p_{\mu} \equiv \hat{p}-$ релятивистский инвариант.
Таким образом, уравнение
\[
(\hat{p}-m) \Psi=0
\]

выделяет состояния с положительной четностью, поскольку при $\mathbf{v}=0$ остается только $\Psi_{1}$. Соответственно, для состояний с отрицательной четностью имеем
\[
(\hat{p}+m) \Psi=0 .
\]

Чтобы наше описание годилось и для частиц с нулевой массой, надо избавиться от масс в знаменателях волновых функций (2.20). Для этой цели введем биспинор $u^{\lambda}$ с другой нормировкой (умножая просто выражения ( 2.20 ) на $\sqrt{2 m}$ ), т. е.
\[
\begin{array}{c}
\Psi^{\lambda}=\left(\begin{array}{c}
\sqrt{p_{0}+m} \varphi_{\lambda} \\
(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n}) \sqrt{p_{0}-m} \varphi_{\lambda}
\end{array}\right) e^{-i p x}= \\
=\sqrt{p_{0}+m}\left(\begin{array}{c}
\varphi_{\lambda} \\
(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{p}) /\left(p_{0}+m\right) \varphi_{\lambda}
\end{array}\right) e^{-i p x}=u^{\lambda}(p) e^{-i p x} .
\end{array}
\]

Поскольку $\varphi$ имеет две компоненты, то имеется две линейно независимых функции $\varphi_{\lambda}$, отвечающие двум проекциям спина; это обстоятельство мы и отметили индексом $\lambda ;(\lambda=+1,-1)$. В системе покоя $\lambda / 2$ есть просто проекция спина, т. е.
\[
\sigma_{z} \varphi_{\lambda}=\lambda \varphi_{\lambda}
\]

Легко видеть, что
\[
\varphi_{-1}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right), \quad \varphi_{+1}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)
\]

и волновую функцию в состоянии покоя ( $\left.\begin{array}{l}\varphi_{1} \\ \varphi_{2}\end{array}\right)$ можно записать в виде
\[
\left(\begin{array}{l}
\varphi_{1} \\
\varphi_{2}
\end{array}\right)=\varphi_{1}\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\varphi_{2}\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) .
\]
$\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ как раз и имеют смысл амплитуд вероятности частице иметь, соответственно, проекцию спина $+1 / 2$ и $-1 / 2$.

Запишем выражение (2.29) релятивистски инвариантным образом. Для этой цели введем единичный вектор $\boldsymbol{\zeta}, \boldsymbol{\zeta}^{2}=1$ в неподвижной системе, направленный вдоль спина, тогда (2.29) можно переписать:
\[
(\sigma \zeta) \varphi=\lambda \varphi \text {. }
\]

Можно ввести пространственноподобный 4 -вектор $\zeta_{\mu}, \zeta_{\mu} \zeta_{\mu}=-1$, который в системе покоя переходит в $(0, \zeta)$. Введя также четырехмерную матрицу
\[
\gamma_{5}=\left(\begin{array}{ll}
0 & I \\
I & 0
\end{array}\right),
\]

можем записать релятивистски инвариантное выражение, соответствующее (2.30):
\[
\left(\gamma_{5} \zeta_{\mu} \gamma_{\mu}-\lambda\right) u=0 .
\]

Действительно, в системе покоя мы имеем
\[
-\left(\gamma_{5} \zeta_{i} \gamma_{i}+\lambda\right) u=[(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{\zeta})-1] \varphi=0 .
\]

Здесь мы использовали то, что
\[
\gamma_{5} \gamma_{i}=\left(\begin{array}{ll}
-\sigma_{i} & 0 \\
0 & +\sigma_{i}
\end{array}\right)
\]

и то, что в системе покоя нижние компоненты $u$ равны нулю. Таким образом, чтобы однозначно определить спинор, необходимы два уравнения:
\[
\begin{aligned}
(\hat{p}-m) u & =0, \\
\left(\gamma_{5} \hat{\zeta}-\lambda\right) u & =0 .
\end{aligned}
\]

Решение этих уравнений будем обозначать либо $u(p, \zeta)$, либо $u^{\lambda}(p)$ (здесь уже и $\lambda$, и $\zeta$ фиксированы).

Обсудим вероятностную интерпретацию спинорных волновых функций. Для этого, как и раньше, нам нужно составить сохраняющуюся величину. Очевидно, релятивистским инвариантом будет произведение спиноров разных типов (т. е. преобразующихся по различным представлениям группы Лоренца). Действительно,
\[
\dot{\xi}^{\prime} \xi^{\prime}=\dot{\xi}^{+} e^{-\frac{x}{2}(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n})} e^{\frac{x}{2}(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n})} \xi=\dot{\xi}^{+} \xi .
\]

Мы же пользуемся их линейными комбинациями:
\[
\begin{array}{l}
\Psi_{1}=\frac{1}{2}(\xi+\dot{\xi}), \\
\Psi_{2}=\frac{1}{2}(\xi-\dot{\xi}) .
\end{array}
\]

Тогда
\[
\left(\dot{\xi}^{+} \xi\right)=\left(\Psi_{1}^{+}-\Psi_{2}^{+}, \Psi_{1}+\Psi_{2}\right)=\Psi_{1}^{+} \Psi_{1}-\Psi_{2}^{+} \Psi_{2} .
\]

Введем биспинор (дираковски сопряженный к $u^{\lambda}$ )
\[
\bar{u}^{\lambda}(p)=u^{+}(p) \gamma_{0}=\left(\Psi_{1}^{+}, \Psi_{2}^{+}\right)\left(\begin{array}{ll}
I & 0 \\
0 & -I
\end{array}\right)=\left(\Psi_{1}^{+},-\Psi_{2}^{+}\right) .
\]

Тогда величина
\[
\bar{u}^{\lambda}(p) u^{\lambda^{\prime}}(p)=\Psi_{1}^{+} \Psi_{1}^{\prime}-\Psi_{2}^{+} \Psi_{2}^{\prime}
\]

является релятивистским инвариантом.
Рассмотрим, какому уравнению удовлетворяет $\bar{u}^{\lambda}$. Из первого уравнения (2.32) имеем
\[
u^{+}\left(\hat{p}^{+}-m\right)=0,
\]

где
\[
\hat{p}^{+}=\left(\gamma_{0} p_{0}-\gamma \mathbf{p}\right)^{+}=\gamma_{0} p_{0}+\mathbf{p} \gamma
\]

в силу эрмитовости $\gamma_{0}$ и антиэрмитовости $\gamma_{i}$. Домножая (2.34) на $\gamma_{0}$ и пользуясь перестановочными соотношениями для $\gamma$-матриц
\[
\gamma_{\mu} \gamma_{
u}+\gamma_{
u} \gamma_{\mu}=2 \delta_{\mu
u}
\]
т. e.
\[
\gamma \gamma_{0}=-\gamma_{0} \gamma
\]

получим
\[
\bar{u}(\hat{p}-m)=0 .
\]

А что произойдет со вторым уравнением (2.32)? Как и в предыдущем случае, имеем
\[
u^{+}\left(\hat{\zeta}^{+} \gamma_{5}-\lambda\right)=0
\]

Опять умножая справа на $\gamma_{0}$ и пронося $\gamma$-матрицы вправо, получим
\[
\bar{u}\left(\gamma_{5} \hat{\zeta}-\lambda\right)=0,
\]
т. е. $\bar{u}^{\lambda}$ является решением тех же уравнений, что и $u^{\lambda}$.

Поскольку, как мы показали, $\bar{u} u$ есть релятивистский инвариант, а $\gamma_{\mu}$ преобразуется как 4 -вектор, величина $j_{\mu}=\bar{u} \gamma_{\mu} u$ будет преобразовываться как 4 -вектор, ее нулевую компоненту $\bar{u} \gamma_{0} u=u^{+} u$ можно отождествить с плотностью вероятности, а $\bar{u} \gamma_{i} u$ – с плотностью потока вероятности.

Действительно, в координатном представлении уравнения (2.32) и (2.35) запишутся:
\[
\begin{array}{c}
\left(i \frac{\vec{\partial}}{\partial x_{\mu}} \gamma_{\mu}-m\right) \Psi(x)=0, \\
\bar{\Psi}(x)\left(-i \frac{\overleftarrow{\partial}}{\partial x_{\mu}} \gamma_{\mu}-m\right)=0
\end{array}
\]
(стрелками здесь обозначено направление дифференцирования). Умножая (2.37) слева на $\bar{\Psi}$, а (2.38) справа на $\Psi$ и вычитая одно из другого, получим
\[
\frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \bar{\Psi} \gamma_{\mu} \Psi=0
\]

Таким образом, $j_{\mu}$ удовлетворяет уравнению непрерывности и $j_{0}$, действительно, можно приписать смысл плотности вероятности. Как и прежде, частицы отвечают положительно-частотным решениям. Как сконструировать такие решения уравнения Дирака?

Положительно- и отрицательно-частотные решения отличаются заменой
\[
p_{0} \rightarrow-p_{0}, \quad \mathbf{p} \rightarrow-\mathbf{p} .
\]

Выпишем наш спинор
\[
u^{\lambda}(p)=\left(\begin{array}{c}
\sqrt{p_{0}+m} \varphi_{\lambda} \\
(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n}) \sqrt{p_{0}-m} \varphi_{\lambda}
\end{array}\right) .
\]

После замены (2.40) получим
\[
u^{\lambda}(-p)= \pm i\left(\begin{array}{c}
\sqrt{p_{0}-m} \varphi_{\lambda} \\
(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n}) \sqrt{p_{0}+m} \varphi_{\lambda}
\end{array}\right) .
\]

Знаки $\pm$ возникают из квадратного корня. Какая связь между $u^{\lambda}(p)$ и $u^{\lambda}(-p)$ ? Для скалярной частицы она была тривиальной: $\varphi(-p)=\varphi^{*}(p)$. Рассмотрим и здесь
\[
\begin{array}{l}
u^{\lambda *}(-p)=\mp i\left(\begin{array}{c}
\sqrt{p_{0}-m} \varphi_{\lambda}^{*} \\
(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n})^{*} \sqrt{p_{0}-m} \varphi_{\lambda}^{*}
\end{array}\right) \equiv \\
\equiv \mp i\left(\begin{array}{c}
\sigma_{y} \sqrt{p_{0}-m} \sigma_{y} \varphi_{\lambda}^{*} \\
-\sigma_{y}(\boldsymbol{\sigma n}) \sqrt{p_{0}+m} \sigma_{y} \varphi_{\lambda}^{*}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Мы здесь умножили обе компоненты на $\sigma_{y}^{2}=1$ и воспользовались тем, что $\sigma_{x}^{*}=\sigma_{x}, \sigma_{z}^{*}=\sigma_{z}, \sigma_{x} \sigma_{y}=-\sigma_{y} \sigma_{x}, \sigma_{z} \sigma_{y}=-\sigma_{y} \sigma_{z}$, а также $\sigma_{y}^{*} \sigma_{y}=$ $=-\sigma_{y} \sigma_{y}=-1$.

Обозначим $(\boldsymbol{\sigma n}) \sigma_{y} \varphi_{\lambda}^{*} \equiv \varphi_{\lambda}^{\prime}$, тогда $\sigma_{y} \varphi_{\lambda}^{*}=(\boldsymbol{\sigma n}) \varphi_{\lambda}^{\prime}$, поскольку $(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n})(\boldsymbol{\sigma n})=\mathbf{n}^{2}=1$ и
\[
\begin{array}{l}
u^{\lambda *}(-p)= \pm\left(\begin{array}{c}
-i \sigma_{y}(\boldsymbol{\sigma n}) \sqrt{p_{0}-m} \varphi_{\lambda}^{\prime} \\
i \sigma_{y} \sqrt{p_{0}+m} \varphi_{\lambda}^{\prime}
\end{array}\right)= \\
= \pm\left(\begin{array}{ll}
0 & -i \sigma_{y} \\
i \sigma_{y} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\sqrt{p_{0}+m} \varphi_{\lambda}^{\prime} \\
(\boldsymbol{\sigma n}) \sqrt{p_{0}-m} \varphi_{\lambda}^{\prime}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Выясним, что такое $\varphi^{\prime}$. Покажем, что если $\varphi_{\lambda}$ удовлетворяет
\[
(\boldsymbol{\sigma n}) \varphi_{\lambda}=\lambda \varphi_{\lambda}
\]

то для $\varphi_{\lambda}^{\prime}$ имеем
\[
(\sigma \mathbf{n}) \varphi_{\lambda}^{\prime}=-\lambda \varphi_{\lambda}^{\prime}
\]
т. е. $\varphi_{\lambda}^{\prime}$ описывает частицу с противоположной проекцией спина. Из (2.45) имеем
\[
\left(\sigma^{*} \mathbf{n}\right) \varphi_{\lambda}^{*}=\lambda \varphi_{\lambda}^{*} .
\]
$\mathrm{y}_{\text {множая слева на }}^{y}$ и используя
\[
\sigma_{y} \varphi_{\lambda}^{*}=(\boldsymbol{\sigma n}) \varphi_{\lambda}^{\prime},
\]

получим
\[
\sigma_{y}(\boldsymbol{\sigma n})^{*} \varphi_{\lambda}^{*}=\lambda(\boldsymbol{\sigma n}) \varphi_{\lambda}^{\prime} .
\]

С другой стороны,
\[
\sigma_{y}\left(\boldsymbol{\sigma}^{*} \mathbf{n}\right) \varphi_{\lambda}^{*}=(-\boldsymbol{\sigma n}) \sigma_{y} \varphi_{\lambda}^{*}=-\varphi_{\lambda}^{\prime},
\]
T. e.
\[
-\varphi_{\lambda}^{\prime}=\lambda(\boldsymbol{\sigma n}) \varphi_{\lambda}^{\prime} .
\]

А поскольку $\lambda$ может принимать лишь значения $\pm 1$, то
\[
(\sigma \mathbf{n}) \varphi_{\lambda}^{\prime}=-\lambda \varphi_{\lambda}^{\prime},
\]
т. е. действительно $\varphi_{\lambda}^{\prime}=\varphi_{-\lambda}$. Используя этот факт, мы можем построить теперь спинор, дираковски сопряженный к $u^{\lambda}(-p)$. Имеем
\[
\begin{array}{c}
\overline{u^{\lambda}(-p)}= \pm\left(\sqrt{p_{0}+m} \varphi_{-\lambda},(\boldsymbol{\sigma n}) \sqrt{p_{0}-m} \varphi_{-\lambda}\right) \times \\
\quad \times\left(\begin{array}{ll}
0 & +i \sigma_{y} \\
-i \sigma_{y} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
I & 0 \\
0 & -I
\end{array}\right)=\left[u^{-\lambda}(p)\right]^{\top} C,
\end{array}
\]

где
\[
C=i \gamma_{2} \gamma_{0}=\left(\begin{array}{ll}
0 & i \sigma_{y} \\
i \sigma_{y} & 0
\end{array}\right)
\]
– так называемая матрица зарядового сопряжения. Ее свойства:
\[
\begin{array}{c}
C^{2}=-1, C^{+}=C^{-1}=-C, \\
C \gamma^{\mu} C^{-1}=-\gamma_{\mu}^{\top} .
\end{array}
\]

Итак, мы получили связь между дираковскими спинорами с положительными и отрицательными частотами
\[
\overline{u^{\lambda}(-p)}=\left[u^{-\lambda}(p)\right]^{\top} C .
\]

Часто вводят спинор $v^{\lambda}$ согласно
\[
u^{\lambda}(-p)=v^{\lambda}(p) .
\]

Найдем связь между $v$ и $\bar{u}$. Имеем
\[
u^{\lambda}(-p)^{+}=\left[u^{-\lambda}(p)\right]^{\top} C \gamma_{0},
\]

тогда
\[
u^{\lambda}(-p)=\gamma_{0} C^{+}\left[u^{-\lambda+}\right]^{\top}=C \gamma_{0}\left[u^{-\lambda+}\right]^{\top}=-\left[\overline{u^{-\lambda}}(p) C\right]^{\top},
\]

T. e.
\[
\begin{array}{l}
v^{\lambda}(p)=C\left[\overline{u^{-\lambda}}(p)\right]^{\top}, \\
\overline{v^{\lambda}}(p)=\left[u^{-\lambda}(p)\right]^{\top} C .
\end{array}
\]

А что если в выражении для $\bar{u}^{\lambda}(p)$ сделаем замену $p \rightarrow-p$ ? Получим ли выражение (2.47)?
Из (2.28) имеем
\[
\bar{u}^{\lambda}(p)=\sqrt{p_{0}+m}\left(\varphi_{\lambda}^{+},-\varphi_{\lambda}^{+} \frac{(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{p})^{+}}{p_{0}+m}\right) .
\]

Делая замену, получим
\[
\bar{u}^{\lambda}(-p)= \pm\left(\sqrt{p_{0}-m} \varphi_{\lambda}^{+},-\varphi_{\lambda}^{+}(\boldsymbol{\sigma n})^{+} \sqrt{p_{0}+m}\right) .
\]

Сравнивая это выражение с (2.43), видим, что
\[
\bar{u}^{\lambda}(-p)
eq \overline{u^{\lambda}}(-p) .
\]

Выражение $\bar{u}^{\lambda}(-p)$ означает, что мы сделали замену $p \rightarrow-p$ в функции $\bar{u}^{\lambda}(p)$, а $\overline{u^{\lambda}}(-p)$ – что мы взяли дираковское сопряжение от функции $u^{\lambda}(-p)$. Таким образом, функции $\bar{u}^{\lambda}(-p)$ и $\overline{u^{\lambda}}(-p)$ не совпадают и отличаются знаком. Поэтому, если у нас
\[
v^{\lambda}(p)=u^{\lambda}(-p),
\]

To
\[
\bar{v}^{\lambda}(p)=-\bar{u}^{\lambda}(-p) .
\]

Это означает, что решения $u^{\lambda}(p)$ и $\bar{u}^{\lambda}(p)$ при переходе $p \rightarrow-p$ перестают быть дираковски сопряженными.
Приведем два полезных равенства.
1. Условие нормировки
\[
\bar{u}_{\alpha}^{\lambda}(p) u_{\alpha}^{\lambda^{\prime}}(p)=2 m \delta_{\lambda \lambda^{\prime}}
\]
( $\alpha$ нумеруют 4 -компоненты спинора). Это равенство следует непосредственно из вида спиноров:
\[
\begin{array}{l}
\bar{u}_{\alpha}^{\lambda}(p) u_{\alpha}^{\lambda^{\prime}}(p)= \\
=\left(\sqrt{p_{0}+m} \varphi_{\lambda}^{+},-\varphi_{\lambda}^{+}(\boldsymbol{\sigma n}) \sqrt{p_{0}-m}\right)\left(\begin{array}{c}
\sqrt{p_{0}+m} \varphi_{\lambda^{\prime}} \\
(\boldsymbol{\sigma} \mathbf{n}) \sqrt{p_{0}-m} \varphi_{\lambda^{\prime}}
\end{array}\right)= \\
=\left(p_{0}+m-p_{0}+m\right) \delta_{\lambda \lambda^{\prime}}=2 m \delta_{\lambda \lambda^{\prime}} .
\end{array}
\]

2. Правило суммирования по поляризациям:
\[
\sum_{\lambda=1,2} u_{\alpha}^{\lambda}(p) \bar{u}_{\beta}^{\lambda}(p)=(\hat{p}+m)_{\alpha \beta} .
\]

Его можно доказать следующим образом:
\[
\sum_{\lambda=1,2} u_{\alpha}^{\lambda}(p) \bar{u}_{\beta}^{\lambda}(p)=\frac{1}{2 m} \sum_{\lambda=1}^{4}(\hat{p}+m)_{\alpha \gamma} u_{\gamma}^{\lambda} \bar{u}_{\beta}^{\lambda},
\]

где введено суммирование по двум дополнительным состояниям с другой четностью:
\[
\sum_{\lambda=1}^{4} u_{\gamma}^{\lambda} \bar{u}_{\beta}^{\lambda}=2 m \delta_{\gamma \beta}
\]