Мы получили уравнение Дирака для частицы со спином $1 / 2$
\[
\left(\gamma_{\mu} p_{\mu}-m\right) \Psi(p)=0,
\]

или в координатном представлении
\[
\left(i \gamma_{\mu} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}-m\right) \Psi(x)=0 .
\]

Функция Грина $G(x)$ удовлетворяет уравнению
\[
\left(i \gamma_{\mu} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}-m\right) G(x)=-i \delta(x) .
\]

Переходя в импульсное пространство, получим
\[
(\hat{p}-m) G(p)=-1
\]

и
\[
G(p)=\frac{1}{m-\hat{p}-i \varepsilon}=\frac{m+\hat{p}}{m^{2}-p^{2}-i \varepsilon} .
\]

Здесь мы использовали следующее соотношение:
\[
\hat{p} \hat{p}=\gamma_{\mu} p_{\mu} \gamma_{
u} p_{
u}=\frac{1}{2}\left(\gamma_{
u} \gamma_{\mu}+\gamma_{
u} \gamma_{\mu}\right) p_{\mu} p_{
u}=p^{2}
\]

Тогда
\[
G_{\alpha \beta}\left(x_{2}-x_{1}\right)=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \frac{(m+\hat{p})_{\alpha \beta}}{m^{2}-p^{2}-i \varepsilon} e^{-i p\left(x_{2}-x_{1}\right)} .
\]

Вычислим $G\left(x_{2}-x_{1}\right)$ при $t_{2}>t_{1}$. Проверим, получится ли функция распространения электрона из $x_{1}$ в $x_{2}$, т. е.

Замыкая интеграл по $p_{0}$ на полюс $p_{0}=\sqrt{m^{2}+p^{2}}$ :
\[
\begin{array}{c}
G_{\beta \alpha}\left(x_{2}-x_{1}\right)= \\
\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3} 2 p_{0}} e^{-i p\left(x_{2}-x_{1}\right)}(m+\hat{p})_{\beta \alpha}= \\
\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3} 2 p_{0}} e^{-i p\left(x_{2}-x_{1}\right)} \sum_{\lambda} u_{\beta}^{\lambda}(p) \bar{u}_{\alpha}^{\lambda}(p), \\
p_{0}=\sqrt{m^{2}+\mathbf{p}^{2}} .
\end{array}
\]

Мы здесь использовали (2.55).
Введя волновую функцию электрона:
\[
\Psi_{\alpha}^{\lambda}(p, x)=\frac{u_{\alpha}^{\lambda}(p)}{\sqrt{2 p_{0}}} e^{-i p x},
\]

получим
\[
G_{\beta \alpha}\left(x_{2}-x_{1}\right)=\sum_{\lambda=1,2} \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \Psi_{\beta}^{\lambda}\left(p, x_{2}\right) \bar{\Psi}_{\alpha}^{\lambda}\left(p, x_{1}\right),
\]
т. е. это, действительно, функция распространения электрона, причем распространяются положительные частоты.

А что если $t_{2}<t_{1}$ ? В этом случае контур надо замкнуть на другой полюс $p_{0}=-\sqrt{m^{2}+p^{2}}$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
G_{\beta \alpha}\left(x_{2}-x_{1}\right)=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3} 2 p_{0}} e^{i p\left(x_{2}-x_{1}\right)}(m-\hat{p})_{\beta \alpha}= \\
=-\sum_{\lambda} \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3} 2 p_{0}} v_{\beta}^{\lambda}(p) \bar{v}_{\alpha}^{\lambda}(p) e^{i p\left(x_{2}-x_{1}\right)}= \\
=-\sum_{\lambda} \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \Psi_{\beta}^{-\lambda}\left(p, x_{2}\right) \bar{\Psi}_{\alpha}^{-\lambda}\left(p, x_{1}\right) .
\end{array}
\]

Здесь мы использовали
\[
\sum_{\lambda} u_{\alpha}^{\lambda}(-p) \bar{u}_{\beta}^{\lambda}(-p)=(m-\hat{p})_{\alpha \beta}
\]

и то, что $u_{\alpha}^{\lambda}(-p)=v_{\alpha}^{\lambda}(p)$, а $\bar{u}_{\beta}^{\lambda}(-p)=-\bar{v}_{\beta}^{\lambda}(p)$, и ввели
\[
\Psi_{\alpha}^{-\lambda}(x, p)=\frac{v_{\alpha}^{\lambda}(p)}{\sqrt{2 p_{0}}} e^{i p x} .
\]

Из (2.63) следует, что отрицательно-частотное состояние распространяется вспять по времени, и мы его можем интерпретировать как распространение античастицы (позитрона), описываемой функцией $\Psi^{-}(p, x)$, вперед во времени, т. е. из $x_{2}$ в $x_{1}$.

Вспомним теперь следующее свойство матрицы зарядового сопряжения $C$ :
\[
C \gamma_{\mu} C^{-1}=-\gamma_{\mu}^{\top} .
\]

Тогда можно написать
\[
(m-\hat{p})_{\beta \alpha}=\left[C(m+\hat{p}) C^{-1}\right]_{\alpha \beta}
\]

и
\[
G_{\beta \alpha}\left(x_{2}-x_{1}\right)=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} e^{-i p\left(x_{1}-x_{2}\right)} \frac{\left[C(m+\hat{p}) C^{-1}\right]_{\alpha \beta}}{m^{2}-p^{2}},
\]
т. e.
\[
G^{\top}\left(x_{2}-x_{1}\right)=C G\left(x_{1}-x_{2}\right) C^{-1} \text {. }
\]

Как видим, при замене $x_{2}-x_{1} \rightarrow x_{1}-x_{2}$ функция Грина электрона не переходит сама в себя, как это было для случая скалярных или векторных частиц. Согласно (2.65) матрицы $G(x)$ и $G(-x)$ связаны между собой унитарным преобразованием, которое осуществляется матрицей зарядового сопряжения. Это означает фактически, что тот же процесс описывается в другом представлении.

Таким образом, функции Грина электрона и позитрона различны, и связь между ними осуществляется посредством матрицы зарядового сопряжения. Это, однако, не вызывает проблем, так как в природе мы не встретили частиц со спином $1 / 2$, совпадающих со своими античастицами. Поэтому в том, что их функции Грина разные, ничего плохого нет, так что, как и раньше, мы можем приписать $G\left(x_{2}-x_{1}\right)$ при $t_{2}<t_{1}$ смысл функции распространения позитрона из $x_{2}$ в $x_{1}$. Если бы такая (т.н. майорановская) частица существовала, то она могла бы описываться тем же способом, но ее взаимодействие не должно было бы меняться при зарядовом сопряжении. Можно также было бы построить формализм, в котором асимметрия в описании не появлялась с самого начала.