Как мы уже отмечали, рассеяние электронов внешним полем есть рассеяние на тяжелом объекте. Амплитуда такого процесса имеет вид:
$\mathcal{J}_{\mu}$ – фурье-компонента макроскопического тока тяжелой частицы.
Что произойдет, если учтем процессы высших порядков? Во-первых, изменится вершина и на каждую электронную линию добавится множитель $\sqrt{Z_{2}}$, т. е.

где $\Gamma_{\mu}=Z_{1}^{-1} \Gamma_{\mu}^{c}$. Во-вторых, изменится внешнее поле, т. е. $A_{\mu}(q)$. Действительно, (4.60) имеет вид:
\[
A_{\mu}(q)=e D_{\mu
u}^{0}(q) \mathcal{J}_{
u}(q)
\]

а следовательно, с учетом высших приближений,
\[
A_{\mu}(q)=\frac{e Z_{3}}{q^{2}\left[1-\Pi^{c}\left(q^{2}\right)\right]} \mathcal{J}_{\mu}(q) .
\]

Поле изменяется за счет всевозможных процессов с образованием пар, например,

Окончательно амплитуда рассеяния принимает вид:
\[
F=e_{c} \bar{u}\left(p_{2}\right) \Gamma_{\mu}^{c}\left(p_{2}, p_{1}\right) u\left(p_{1}\right) \frac{1}{1-\Pi^{c}\left(q^{2}\right)} A_{\mu}^{0}(q),
\]

здесь мы обозначили
\[
A_{\mu}^{0}(q)=\frac{e_{c}}{q^{2}} \mathcal{J}_{\mu}(q)
\]

Таким образом, изменение амплитуды обусловлено двумя эффектами: перенормировкой взаимодействия и изменением внешнего поля в результате виртуального рождения электрон-позитронных пар. Знак изменения поля легко определить из физических соображений. Пусть, например, тяжелая частица обладает положительным зарядом. Тогда при рождении в поле этой частицы электрон-позитронной пары позитрон отталкивается и уходит на большое расстояние, а частица оказывается окруженной отрицательными зарядами, и наблюдаемый заряд этой частицы должен уменьшиться.

Этот эффект называется поляризацией вакуума. Фактически он аналогичен поляризации диэлектрика, где роль электрон-позитронных пар играют молекулярные диполи.

Физический и голый заряды связаны:
\[
e_{c}^{2}=Z_{3} e_{0}^{2}
\]
(напомним, что в соответствии с тождеством Уорда: $Z_{1}=Z_{2}$ ). Поэтому ясно, что $Z_{3}<1$. Таким образом, заряд электрона как бы экранирован, и именно этот экранированный заряд есть
\[
e_{c}^{2}=\frac{4 \pi}{137},
\]

наблюдаемая величина на макроскопических расстояниях от электрона. А если мы пойдем далеко вглубь, т. е. на очень малые расстояния к

Это означает, что
\[
\Pi^{c}\left(q^{2}\right)>0, \quad \Pi^{c}(0)=0,
\]
т. е. взаимодействие растет при больших переданных импульсах, соответствующих малым расстояниям:
\[
e_{0}^{2} \sim \frac{e_{c}^{2}}{1-\Pi^{c}\left(q^{2}\right)} \quad \text { при } \quad|q|^{2} \rightarrow \infty .
\]

Как мы видим, поправки к рассеянию электрона во внешнем поле возникают благодаря двум эффектам – поляризации вакуума и поправкам к вершине. Теперь вычислим вклад от обоих эффектов в амплитуду рассеяния электрона внешним полем в первом порядке по $e^{2}$. Начнем с поляризации вакуума:
\[
\Pi_{\mu
u}(k)=-e^{2} \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \operatorname{Sp}\left(\gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}} \gamma_{
u} \frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}}\right) .
\]

Этому выражению соответствует диаграмма

Однако вклад в поляризационный оператор фотона дадут все частицы, например, мюоны:

Эта диаграмма вычисляется аналогично (4.65). Однако для протонов уже не ясно, как вычислять такой процесс:

поскольку протоны участвуют еще и в сильных взаимодействиях. Но мы покажем, что вклад этих диаграмм $\sim k^{2} / m^{2}$, и поэтому при не слишком больших энергиях даже мюоны дают малый вклад. При дальнейшем увеличении энергии начинают сказываться сильные взаимодействия. Тщательная проверка радиационных поправок при не очень высоких энергиях гарантирует, что нет необнаруженных легких частиц.
Итак, перейдем к вычислению (4.65). Представим $\Pi_{\mu
u}$ в виде
\[
\Pi_{\mu
u}=\left(g_{\mu
u} k^{2}-k_{\mu} k_{
u}\right) \Pi\left(k^{2}\right)
\]

и вычислим
\[
\mathrm{Sp} \Pi_{\mu
u}=\Pi_{\mu \mu}=3 k^{2} \Pi\left(k^{2}\right) .
\]

С другой стороны,
\[
\begin{aligned}
\Pi_{\mu \mu}= & 3 k^{2} \Pi\left(k^{2}\right)=-e^{2} \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \operatorname{Sp}\left(\gamma_{
u}(m+\hat{p}) \gamma_{
u}(m+\hat{p}-\hat{k})\right) \times \\
& \times \frac{1}{\left(m^{2}-p^{2}\right)\left(m^{2}-(p-k)^{2}\right)} .
\end{aligned}
\]

Пользуясь соотношениями
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{
u} \gamma_{
u}=4, \\
\gamma_{
u} \hat{p} \gamma_{
u}=-2 \hat{p},
\end{array}
\]

получим
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Sp}\left(\gamma_{
u}(m+\hat{p}) \gamma_{
u}(m+\hat{p}-\hat{k})\right) & =\operatorname{Sp}[(4 m-2 \hat{p})(m+\hat{p}-\hat{k})= \\
& =16 m^{2}-8 p(p-k) .
\end{aligned}
\]

Здесь мы использовали то, что след произведения нечетного числа $\gamma$-матриц равен нулю, а
\[
\operatorname{Sp} \gamma_{\mu} \gamma_{
u}=4 \delta_{\mu
u} .
\]

Интеграл (4.67) является расходящимся. Однако нас интересует не сама величина $\Pi\left(k^{2}\right)$, а разность
\[
\Pi^{c}\left(k^{2}\right)=\frac{\Pi\left(k^{2}\right)-\Pi(0)}{1-\Pi(0)} \sim \Pi\left(k^{2}\right)-\Pi(0) .
\]

Она окажется сходящейся величиной.
Вычислим в (4.67) интеграл по $d p_{0}$. От первого знаменателя в (4.67) имеем полюса
\[
p_{1,2}^{0}= \pm \sqrt{m^{2}+\mathbf{p}^{2}-i \varepsilon},
\]

от второго –
\[
p_{3,4}^{0}=k_{0} \pm \sqrt{m^{2}+(\mathbf{p}-\mathbf{k})^{2}-i \varepsilon} .
\]

Рассмотрим область пространственноподобных $k$, т. е. $k^{2}<0$, тогда можно найти систему отсчета, где $k_{0}=0$. Полюса при этом будут расположены симметрично относительно мнимой оси $k_{0}$, тогда контур интегрирования можно развернуть и направить вдоль мнимой оси (так как при таком повороте контур не пересечет особенностей), см. рис. 27. А так как в этом случае
\[
\frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i}=\frac{d p_{0} d^{3} p}{(2 \pi)^{4} i}=\frac{i d p_{0}^{\prime} d^{3} p}{(2 \pi)^{4} i}
\]

Рис. 27

Рис. 28

– величина вещественная, то и весь интеграл (4.67) тоже веществен, поскольку в подынтегральное выражение входят только квадраты $p_{0}^{2}$.

Итак, если рассмотрим комплексную плоскость $k^{2}$, то на вещественной оси в области отрицательных $k^{2}$ интеграл веществен (жирная линия на рис. 28). И, кроме того, поскольку знаменатель (4.67) на повернутом контуре нигде в нуль не обращается, он не имеет особенностей. (Чтобы интеграл (4.67) не расходился при больших $p^{2}$, можно ограничить интегрирование сверху некоторым параметром обрезания $\Lambda$, об этом поговорим позднее.) Выясним, где интеграл (4.67) может стать комплексным.
Рис. 29
Если в плоскости $k^{2}$ пойти в область времениподобных $k$, т. е. $k^{2}>0$, то полюса $p_{3}^{0}, p_{4}^{0}$ начнут двигаться в плоскости $p_{0}$, и при $p_{4}^{0}=p_{1}^{0}$ либо при $p_{3}^{0}=p_{2}^{0}$ полюса зажмут контур (рис. 29), так что его невозможно будет деформировать, чтобы обойти полюс, не пересекая при этом другого полюса. То есть при некотором $k_{0}$ подынтегральное выражение на контуре интегрирования обращается в бесконечность, а это означает, что в этой точке интеграл (4.67) имеет особенность и может стать комплексным. Определим $k_{0}$ из условия $p_{4}^{0}=p_{1}^{0}$ :
\[
\begin{aligned}
k_{0}-\sqrt{m^{2}+(\mathbf{p}-\mathbf{k})^{2}} & =\sqrt{m^{2}+\mathbf{p}^{2}} \\
k_{0} & =\sqrt{m^{2}+(\mathbf{p}-\mathbf{k})^{2}}+\sqrt{m^{2}+\mathbf{p}^{2}} .
\end{aligned}
\]

То есть мнимость возникает при достаточно большом $k_{0}$, когда реально могут родиться две частицы с энергиями
\[
\sqrt{m^{2}+\mathbf{p}^{2}} \quad \text { и } \quad \sqrt{m^{2}+(\mathbf{p}-\mathbf{k})^{2}},
\]

соответственно

Есть и другая возможность:
\[
k_{0}=-\sqrt{m^{2}+\mathbf{p}^{2}}-\sqrt{m^{2}+(\mathbf{p}-\mathbf{k})^{2}} ;
\]

этот случай неинтересен, так как соответствует отрицательным энергиям фотона. Запись (4.70) релятивистски неинвариантна. Чтобы записать это выражение в инвариантном виде, перейдем сначала в систему отсчета, где $\mathrm{k}=0$ (это можно сделать в силу $k^{2}>0$ ), тогда
\[
k_{0}^{2}=k^{2}=4\left(m^{2}+\mathbf{p}^{2}\right),
\]
т. е. особенности возникают при
\[
k^{2}>4 m^{2} .
\]

На плоскости $k^{2}$ проведем разрез от точки $4 m^{2}$ вдоль вещественной оси (рис. 30).
Рис. 30

Ясно, что больше никаких особенностей в комплексной плоскости интеграл не имеет. Пользуясь же аналитичностью интеграла (4.67), можем сразу написать дисперсионный интеграл для $\Pi^{c}\left(k^{2}\right)$ :
\[
\Pi^{c}\left(k^{2}\right)=\frac{1}{\pi} \int \frac{d k^{\prime 2} \operatorname{Im} \Pi^{c}\left(k^{2}\right)}{k^{\prime 2}-k^{2}} .
\]

Если он расходится, мы его можем улучшить, вычитая $\Pi^{c}(0)=0$, тогда
\[
\Pi^{c}\left(k^{2}\right)=\frac{1}{\pi} \int d k^{\prime 2} \operatorname{Im} \Pi^{c}\left(k^{2}\right)\left[\frac{1}{k^{\prime 2}-k^{2}}-\frac{1}{k^{\prime 2}}\right] .
\]

А поскольку мнимость возникает при $k^{2}>4 m^{2}$, то
\[
\Pi^{c}\left(k^{2}\right)=\frac{k^{2}}{\pi} \int_{4 m^{2}}^{\infty} \frac{d k^{\prime 2} \operatorname{Im} \Pi^{c}\left(k^{2}\right)}{k^{\prime 2}\left(k^{\prime 2}-k^{2}\right)} .
\]

Теперь вычислим мнимую часть $\operatorname{Im} \Pi^{c}$. Как мы видели, $\operatorname{Im}\left\{3 k^{2} \Pi\left(k^{2}\right)\right\}$ возникает из-за пересечения контуром интегрирования $C$ при его деформации полюса (рис. 31).
Рис. 31

Такой контур можно разбить на две части: $C_{1}$ и $C_{2}$ (рис. 32 ):
Рис. 32

причем интеграл по $C_{1}$ – вещественный. Мнимая часть появится только от интегрирования по $C_{2}$, а этот интеграл сводится к вычету в точке $p_{4}^{0}$.
Итак, полюсной вклад в $3 k^{2} \Pi\left(k^{2}\right)$ равен
\[
-e^{2} \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{\left(m^{2}-p^{2}-i \varepsilon\right) 2\left(k_{0}-\sqrt{m^{2}+(\mathbf{p}-\mathbf{k})^{2}}\right)} \operatorname{Sp}() .
\]

Ho
\[
\frac{1}{m^{2}-p^{2}-i \varepsilon}=P \frac{1}{m^{2}-p^{2}}+i \pi \delta\left(m^{2}-p^{2}\right),
\]
т. е. вклад в мнимую часть дает только полюсной член (с $\delta$-функцией). Таким образом,
\[
3 k^{2} \operatorname{Im} \Pi\left(k^{2}\right)=-e^{2} \pi \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{\delta\left(m^{2}-p^{2}\right)}{2\left(k_{0}-\sqrt{\left.m^{2}+(\mathbf{p}-\mathbf{k})^{2}\right)}\right.} \operatorname{Sp}(),
\]

или, используя, как обычно, соотношение
\[
\frac{d^{3} p}{2 p_{0}}=d^{4} p \theta\left(p_{0}\right) \delta\left(m^{2}-p^{2}\right) \equiv d^{4} p \delta_{+}\left(m^{2}-p^{2}\right),
\]

окончательно получим
\[
\begin{array}{l}
3 k^{2} \operatorname{Im} \Pi\left(k^{2}\right)= \\
=-e^{2} \pi \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{3}} \delta\left(m^{2}-p^{2}\right) \delta_{+}\left(m^{2}-(p-k)^{2}\right) \operatorname{Sp}() .
\end{array}
\]

Мы получили мнимую часть, совпадающую с той, которая вытекает из условия унитарности, т. е. дается диаграммой

где в промежутке реальные частицы. То есть снова подтвердили тот факт, что фейнмановские диаграммы автоматически удовлетворяют условию унитарности.

Раскрывая при помощи (4.68) выражение для $\operatorname{Sp}()$, получим из (4.77):
$3 k^{2} \operatorname{Im} \Pi\left(k^{2}\right)=-e^{2} \int \frac{d^{4} p}{8 \pi^{2}}\left[16 m^{2}-8 p^{2}+8 p k\right] \delta\left(m^{2}-p^{2}\right) \delta_{+}\left(m^{2}-(p-k)^{2}\right)$,
но из $\delta$-функций следует, что
\[
p^{2}=m^{2}, m^{2}-(p-k)^{2}=2 p k-k^{2}=0,2 p k=k^{2} .
\]

Отсюда
\[
\operatorname{Im} \Pi\left(k^{2}\right)=-e^{2} \frac{8 m^{2}+4 k^{2}}{3 k^{2}} \int \frac{d^{4} p}{8 \pi^{2}} \delta\left(p^{2}-m^{2}\right) \delta_{+}\left((p-k)^{2}-m^{2}\right) .
\]

Для вычисления этого интеграла удобно перейти в систему, где $\mathbf{k}=0$, тогда $(p-k)^{2}-m^{2}=-2 p_{0} k_{0}+k^{2}$ и
\[
\int \frac{d^{4} p}{8 \pi^{2}} \delta\left(p^{2}-m^{2}\right) \delta_{+}\left(k^{2}-2 p_{0} k_{0}\right)=\int \frac{d^{3} p}{8 \pi^{2}} \delta\left(p_{0}^{2}-\mathbf{p}^{2}-m^{2}\right) \frac{1}{2 k_{0}}=\ldots
\]
(здесь $p_{0}=k^{2} / 2 k_{0}=k_{0} / 2$; переходя к сферической системе координат, имеем $d^{3} p=p^{2} d p \times 4 \pi=2 \pi p d p^{2}$, так что равенство можно продолжить так)
\[
=\frac{1}{8 \pi^{2}} \frac{1}{2 k_{0}} 2 \pi \sqrt{p_{0}^{2}-m^{2}}=\frac{1}{8 \pi} \frac{1}{k_{0}} \frac{\sqrt{k_{0}^{2}-4 m^{2}}}{2}=\frac{1}{16 \pi} \sqrt{\frac{k^{2}-4 m^{2}}{k^{2}}} .
\]

Таким образом,
\[
\operatorname{Im} \Pi\left(k^{2}\right)=-\frac{e^{2}}{16 \pi} \frac{8 m^{2}+4 k^{2}}{3 k^{2}} \sqrt{\frac{k^{2}-4 m^{2}}{k^{2}}}=-\frac{e^{2}}{4 \pi} \frac{2 m^{2}+k^{2}}{3 k^{2}} \sqrt{\frac{k^{2}-4 m^{2}}{k^{2}}} .
\]

Окончательно,
\[
\operatorname{Im} \Pi\left(k^{2}\right)=-\frac{\alpha}{3}\left(1+\frac{2 m^{2}}{k^{2}}\right) \sqrt{1-\frac{4 m^{2}}{k^{2}}} .
\]

Заметим, что в силу (4.69) $\operatorname{Im} \Pi\left(k^{2}\right)=\operatorname{Im} \Pi^{c}\left(k^{2}\right)$ с точностью до коэффициента. Таким образом,
\[
\Pi^{c}\left(k^{2}\right)=-\frac{\alpha k^{2}}{3 \pi} \int_{4 m^{2}}^{\infty} \frac{d \kappa^{2} \sqrt{1-4 m^{2} / \kappa^{2}}}{\kappa^{2}\left(\kappa^{2}-k^{2}\right)}\left(1+\frac{2 m^{2}}{\kappa^{2}}\right) .
\]

Вычислим (4.83) в двух предельных случаях $k^{2} \rightarrow 0$ и $k^{2} \rightarrow \infty$. В первом случае $\left(k^{2} \rightarrow 0\right)$, проведя замену $x=4 m / \kappa^{2}$, получим
\[
\Pi^{c}\left(k^{2}\right)=-\frac{\alpha k^{2}}{3 \pi 4 m^{2}} \int_{0}^{1} d x \sqrt{1-x}\left(1+\frac{x}{2}\right)=-\frac{\alpha k^{2}}{15 \pi m^{2}},
\]
т. е., как и следовало ожидать, $\Pi^{c}\left(k^{2}\right) \sim k^{2}$ при $k^{2} \rightarrow 0$.

Во втором случае ( $k^{2} \rightarrow \infty$ ) при $\kappa^{2} \ll k^{2}$ интеграл логарифмически растет с $k^{2}$, т. е. именно эта область и дает основной вклад, поэтому можно написать
\[
\Pi^{c}\left(k^{2}\right) \approx \frac{\alpha}{3 \pi} \int_{4 m^{2}}^{k^{2}} \frac{d \kappa^{2}}{\kappa^{2}} \approx \frac{\alpha}{3 \pi} \ln \frac{k^{2}}{m^{2}}
\]
(в (4.85) мы пренебрегли $\ln 4$ по сравнению с $\ln k^{2} / m^{2}$ ). Логарифм, вошедший в (4.85), фактически является главной проблемой квантовой электродинамики. Например, в амплитуду рассеяния электрона внешним полем он входит следующим образом:
\[
\frac{1}{1-\Pi^{c}\left(k^{2}\right)}=\frac{1}{1-\frac{\alpha}{3 \pi} \ln \frac{k^{2}}{m^{2}}},
\]
т. е. амплитуда может иметь полюс, физический смысл которого неясен, и это реальная трудность для нашей теории.

Пока мы оставим этот вопрос и посмотрим на вклад поляризации вакуума в амплитуду (4.63) с несколько иной точки зрения, а именно: амплитуда имеет вид:
\[
F=e_{c} \bar{u}\left(p_{2}\right) \Gamma_{\mu}^{c}\left(p_{2}, p_{1}\right) u\left(p_{1}\right) \frac{1}{1-\Pi^{c}\left(q^{2}\right)} A_{\mu}^{0}(q),
\]

но при малых $q^{2}$
\[
\frac{1}{1-\Pi^{c}\left(q^{2}\right)} \approx 1+\Pi^{c}\left(q^{2}\right)
\]

учитывая, что
\[
\Gamma_{\mu}^{c}=\gamma_{\mu}+\Lambda_{\mu}^{c},
\]

получим
\[
F \approx e_{c} \bar{u}\left(p_{2}\right)\left[\gamma_{\mu}\left(1+\Pi^{c}\left(q^{2}\right)\right)+\Lambda_{\mu}^{c}\left(p_{2}, p_{1}\right)\right] u\left(p_{1}\right) A_{\mu}^{0}(q) .
\]

Все члены в квадратных скобках здесь пропорциональны $\gamma_{\mu}$ и отличие множителя перед $\gamma_{\mu}$ в (4.86) связано со вкладом поляризации вакуума. Ненулевой вклад вершинной части $\Lambda_{\mu}^{c}$ – выражает как бы неточечность заряда; действительно, для неточечных частиц формфактор имеет вид:
\[
F(q)=1+\frac{q^{2} r_{0}^{2}}{6},
\]

где $r_{0}$ – средний радиус распределения заряда.
Теперь займемся вычислением $\Lambda_{\mu}$ в первом порядке:
\[
\begin{array}{c}
\Lambda_{\mu}=\bigwedge_{p_{1}}^{Q}=e_{c}^{2} \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \gamma_{
u} \frac{1}{m-\hat{p}_{2}+\hat{k}} \gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}_{1}+\hat{k}} \gamma_{
u} \frac{1}{k^{2}}, \\
\Lambda_{\mu}^{c}=\Lambda_{\mu}-\Lambda_{\mu}(m, m) .
\end{array}
\]

Из соображений релятивистской инвариантности, как мы уже говорили, можно написать
\[
\bar{u}\left(p_{2}\right) \Lambda_{\mu}^{c}\left(p_{2}, p_{1}\right) u\left(p_{1}\right)=\bar{u}\left(p_{2}\right)\left[a \gamma_{\mu}+b \sigma_{\mu
u} q_{
u}\right] u\left(p_{1}\right) .
\]
Мы также писали
\[
\Gamma_{\mu}=\tilde{a} \gamma_{\mu}+b \sigma_{\mu
u} q_{
u},
\]

где $\tilde{a}=\tilde{a}\left(q^{2}\right), b=b\left(q^{2}\right)$, величину $\tilde{a}(0)$ мы назвали зарядом.
Для величины же $a\left(q^{2}\right)$ имеем в силу (4.89)
\[
a(0)
eq 0,
\]

но и $b(0)$ может быть отличной от нуля. Мы показали, что в случае $b=0$, электрон обладает магнитным моментом, равным магнетону Бора. Если же $b
eq 0$, то это означает наличие у электрона дополнительного момента, называемого аномальным магнитным моментом. Из вида (4.87) ясно, что особых оснований полагать $b(0)=0$ нет, что подтверждается и непосредственным вычислением интеграла.

Таким образом, хотя мы начали строить теорию, исходя из простейшего взаимодействия $\tilde{a}\left(q^{2}\right)=$ const $=e$ и $b\left(q^{2}\right)=0$, при учете высших приближений появляется и формфактор (зависимость $\tilde{a}\left(q^{2}\right)$ ) и аномальный магнитный момент. Это легко понять из физических соображений. Рассмотрим процесс

Он означает, что даже если электрон покоился в некоторый момент времени, то, испустив фотон, он приобретает импульс, и внешнее поле взаимодействует уже с током:

Естественно, из-за этого возникает магнитный момент. Кроме того, появится некоторый формфактор, поскольку заряд эффективно распределится по области $r_{0} \sim 1 / m$ :

Впервые вычисление магнитного момента провел Швингер в 1949 г. и получил выражение
\[
\mu=\mu_{0}\left(1+\frac{\alpha}{2 \pi}\right)
\]

Приведем примерный путь вычисления $\Lambda_{\mu}^{(1)}$ фейнмановским методом. В первом порядке по $e_{c}^{2}$ для $\Lambda_{\mu}$ имеем
\[
e_{c}^{2} \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \frac{\gamma_{
u}\left(m+\hat{p}_{2}-\hat{k}\right) \gamma_{\mu}\left(m+\hat{p}_{1}-\hat{k}\right) \gamma_{
u}}{\left[m^{2}-\left(p_{2}-k\right)^{2}\right]\left[m^{2}-\left(p_{1}-k\right)^{2}\right] k^{2}}
\]

Для вычисления такого интеграла Фейнман пользуется тождеством
\[
\frac{1}{a b c}=\frac{1}{3 !} \int_{0}^{1} \frac{d \alpha_{1} d \alpha_{2} d \alpha \delta\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}-1\right)}{\left.a \alpha_{1}+b \alpha_{2}+c \alpha_{3}\right)^{3}} .
\]

В нашем случае
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{a b c} & =\frac{1}{\left[m^{2}-\left(p_{2}-k\right)^{2}\right]\left[m^{2}-\left(p_{1}-k\right)^{2}\right] k^{2}}= \\
& =\frac{1}{3 !} \int \frac{d \alpha_{1} d \alpha_{2} d \alpha_{3} \delta\left(\sum \alpha_{i}-1\right)}{\left\{\alpha_{3} k^{2}+\alpha_{2}\left[\left(p_{2}-k\right)^{2}-m^{2}\right]+\alpha_{1}\left[\left(p_{1}-k\right)^{2}-m^{2}\right]\right\}^{3}} .
\end{aligned}
\]

Из-за $\delta$-функции $\alpha_{3}=1-\alpha_{1}-\alpha_{2}$, тогда
\[
\frac{1}{a b c}=\frac{1}{3 !} \int \frac{d \alpha_{1} d \alpha_{2} d \alpha_{3} \delta\left(\sum \alpha_{i}-1\right)}{\left[k^{2}-2 k\left(\alpha_{1} p_{1}+\alpha_{2} p_{2}\right)\right]^{3}} .
\]

Сделаем замену
\[
k^{\prime}=k-\alpha_{1} p_{1}-\alpha_{2} p_{2},
\]

при этом
\[
k\left[k-2\left(\alpha_{1} p_{1}+\alpha_{2} p_{2}\right)\right]=\left(k^{\prime}+\alpha_{1} p_{1}+\alpha_{2} p_{2}\right)\left[k^{\prime}-\left(\alpha_{1} p_{1}+\alpha_{2} p_{2}\right)\right],
\]
т. e.
\[
\frac{1}{a b c}=\frac{1}{3 !} \int \frac{d \alpha_{1} d \alpha_{2} d \alpha_{3} \delta\left(\sum \alpha_{i}-1\right)}{\left[k^{\prime 2}-\left(\alpha_{1} p_{1}+\alpha_{2} p_{2}\right)^{2}\right]^{3}} .
\]

Таким образом, для $\Lambda_{\mu}$ будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\Lambda_{\mu}=\frac{1}{3 !} \int d \alpha_{1} d \alpha_{2} d \alpha_{3} \delta\left(\sum \alpha_{i}-1\right) e_{c}^{2} \int \frac{d^{4} k^{\prime}}{(2 \pi)^{4} i} \times \\
\times \frac{\gamma_{
u}\left[m+\left(1-\alpha_{2}\right) \hat{p}_{2}-\alpha_{1} \hat{p}_{1}-\hat{k^{\prime}}\right] \gamma_{\mu}\left[m+\left(1-\alpha_{1}\right) \hat{p}_{1}-\alpha_{2} \hat{p}_{2}-\hat{k^{\prime}}\right] \gamma_{
u}}{\left[k^{\prime 2}-\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)^{2} m^{2}+\alpha_{1} \alpha_{2} q^{2}\right]^{3}} .
\end{array}
\]

Здесь учтено, что $q^{2}=\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}=2 m^{2}-2 p_{1} p_{2}$. Числитель подынтегрального выражения (с учетом того, что члены, линейные по $k^{\prime}$, вклада в интеграл не дадут в силу их антисимметрии) можно представить в виде:
\[
f_{1}\left(q^{2}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \gamma_{\mu}+f_{2}\left(q^{2}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \sigma_{\mu
u} q_{
u}+k^{\prime 2} \gamma_{\mu} .
\]

Теперь интегрирование по $d^{4} k^{\prime}$ сводится к вычислению двух интегралов:
\[
I_{1}=\int \frac{d^{4} k^{\prime}}{(2 \pi)^{4} i} \frac{1}{\left(k^{\prime 2}-\Delta\right)^{3}}
\]

и
\[
I_{2}=\int \frac{d^{4} k^{\prime}}{(2 \pi)^{4} i} \frac{k^{\prime 2}}{\left(k^{\prime 2}-\Delta\right)^{3}} .
\]

В них всегда можно развернуть контур интегрирования по $d k_{0}^{\prime}$ вдоль мнимой оси, так как при этом он не пересечет особенностей:

При этом
\[
k_{0}^{\prime}=i k_{4}^{\prime} \quad \text { и } \quad k^{\prime 2}=k_{0}^{\prime 2}-\mathbf{k}^{\prime 2}=-k_{4}^{\prime 2}-\mathbf{k}^{\prime 2},
\]
т. е. получатся интегралы по евклидову пространству. Переходя к сферическим координатам и интегрируя по углам, получим
\[
d^{4} k^{\prime}=\pi^{2} k^{\prime 2} d k^{\prime 2},
\]
т. е. будем иметь
\[
I_{1}=-\int \frac{d^{4} k^{\prime}}{(2 \pi)^{4}} \frac{1}{\left(k^{\prime 2}+\Delta\right)^{3}}=-\int \frac{\pi^{2} k^{\prime 2} d k^{\prime 2}}{(2 \pi)^{4}\left(k^{\prime 2}+\Delta\right)^{3}}
\]

аналогично,
\[
I_{2}=\int \frac{\pi^{2} k^{\prime 4} d k^{\prime 2}}{(2 \pi)^{4}\left(k^{\prime 2}+\Delta\right)^{3}}=\int_{0}^{\infty} \frac{\pi^{2} x^{2} d x}{(2 \pi)^{4}(x+\Delta)^{3}} .
\]

Первый интеграл равен
\[
I_{1}=-\int_{0}^{\infty} \frac{\pi^{2} x d x}{(2 \pi)^{4}(x+\Delta)^{3}}=-\frac{1}{16 \pi^{2} \Delta} .
\]

Второй –
\[
\begin{array}{c}
I_{2}=\frac{1}{16 \pi^{2}} \int_{\Delta}^{\infty} \frac{(y-\Delta)^{2} d y}{y^{3}}=\frac{1}{16 \pi^{2}}\left[\int_{\Delta}^{\infty} \frac{d y}{y}-2 \Delta \int_{\Delta}^{\infty} \frac{d y}{y^{2}}+\Delta^{2} \int_{\Delta}^{\infty} \frac{d y}{y^{3}}\right]= \\
=\frac{1}{16 \pi^{2}}\left[\ln \left(\frac{y}{\Delta}\right)-\frac{3}{2}\right],
\end{array}
\]
т. е. при больших $k^{\prime 2}$ он логарифмически расходится. Эта расходимость убирается перенормировкой, т. е. вычитанием $\Lambda_{\mu}(m, m)$, поскольку эта величина содержит точно такой же логарифм $\ln (y / \Delta(q=0))$. Однако непосредственно из вида (4.91) вытекает логарифмическая расходимость интеграла и при малых $k^{2}$, если $p_{1}^{2}=m^{2}$ и $p_{2}^{2}=m^{2}$, т. е. для реальных электронов.
Действительно, знаменатель (4.91) в этом случае имеет вид:
\[
\left[m^{2}-\left(p_{2}-k\right)^{2}\right]\left[m^{2}-\left(p_{1}-k\right)^{2}\right] k^{2} \simeq 2 p_{2} k \cdot 2 p_{1} k k^{2},
\]

и при малых $k^{2}$ опять возникает $\int d^{4} k / k^{4}$.
С такой ситуацией мы уже сталкивались при рассмотрении тормозного излучения.

На самом деле, эта расходимость связана с некорректной постановкой задачи, поскольку при достаточно малых $\omega$ параметр разложения не мал и теория возмущений неприменима. С другой стороны, в любом эксперименте, как только родилась частица, образовались и фотоны. Реально создать частицу без фотонов нельзя, так как достаточно сколь угодно малого воздействия на частицу, чтобы она испустила мягкий фотон, и чем меньше частота фотонов, тем их больше. То есть трудность связана также и с нефизичностью постановки задачи. Как можно
с ней справиться? Можно предположить, что начальное состояние это электрон и большое число фотонов, т. е.

Однако здесь тоже имеется некоторая неоднозначность, связанная с физикой рассматриваемого процесса.

Поскольку в природе нет заряженного вещества (все атомы нейтральны), то число фотонов будет зависеть от способа \”обдирки\” атома по существу (т.е. от конкретного способа, которым мы создали заряженные частицы). Таким образом, единственный физически последовательный подход – исходить из нейтрального вещества и учитывать способ образования заряженных частиц, например:

Из физических соображений ясно, что вероятность образования электрона без фотонов равна нулю. Однако если вычислить по теории возмущений сечение, например, такого процесса:

то получится бесконечность. Здесь, на самом деле, нужно учитывать рождение многих фотонов. Пусть, например, две нерелятивистские частицы с противоположными зарядами $e$ и $-e$ и энергиями $\sim \epsilon$ рождаются с относительной скоростью $v$. Тогда сечение процесса с испусканием $n$ фотонов будет иметь такую структуру:
\[
\sigma_{n} \sim e^{-\frac{\alpha}{\pi} v^{2} \ln \frac{\epsilon}{\omega}}\left(\frac{\alpha}{\pi} v^{2} \ln \frac{\epsilon}{\omega}\right)^{n} \frac{1}{n !} .
\]

Отсюда сразу следует, что при $\omega \rightarrow 0$ вероятность испускания любого заданного числа фотонов будет равна нулю. Однако
\[
\sum_{n} \sigma_{n}=\text { const. }
\]

Рассматриваемая теория применима только при фантастически малых частотах, поскольку параметр $\alpha / \pi \sim 1 / 500$. Область частот, для которых произведение логарифма на этот параметр не мало, экспериментально недостижима. Поэтому обычно поступают иначе.

Пусть имеется процесс рассеяния. Приписывают фотону малую массу $\lambda$, при этом функция Грина фотона будет иметь вид:

Для $\Lambda_{\mu}$ тогда получим
\[
\Lambda_{\mu} \sim \gamma_{\mu} \ln \frac{m}{\lambda} .
\]

А поскольку реально измеряется всегда сечение, то запишем
\[
d \sigma=d \sigma_{s}+d \sigma_{\gamma},
\]

где $d \sigma_{s}$ – сечение упругого рассеяния, $d \sigma_{\gamma}$ – сечение неупругих процессов с рождением фотонов, например:

Так как всегда имеются нерегистрируемые фотоны с $\omega<\omega_{\min }$, где $\omega_{\min }$ определяется условиями эксперимента, чувствительностью приборов и т.д., то
\[
\begin{array}{c}
d \sigma=d \sigma_{s}+d \sigma_{\gamma}\left(\omega<\omega_{\min }\right) \sim \\
\sim \ln \frac{m}{\lambda}+\ln \frac{\lambda}{\omega_{\min }}=\ln \frac{m}{\omega_{\min }}
\end{array}
\]

и результат оказывается не зависящим от $\lambda$. Интеграл же для $\Lambda_{\mu}$, если ввести $\lambda$, оказывается вполне определенным и при $q^{2} / m^{2} \ll 1$ равен
\[
\Lambda_{\mu}^{c}=\gamma_{\mu} \frac{\alpha}{3 \pi}\left[\ln \frac{m}{\lambda}-\frac{3}{8}\right] \frac{q^{2}}{m^{2}}+\frac{\alpha}{4 m \pi} \sigma_{\mu
u} q_{
u} .
\]

Первый член (4.98) был вычислен Фейнманом, второй – Швингером. Второй член как раз соответствует аномальному магнитному моменту электрона $\alpha / 2 \pi$.