В квантовой механике движение частицы описывается волновой функцией $\Psi(\mathrm{r}, t)$, которая определяет амплитуды вероятностей всех физических процессов и удовлетворяет уравнению Шредингера:
\[
i \frac{\partial \Psi}{\partial t}=H \Psi
\]

Здесь и далее будем пользоваться системой единиц $\hbar=c=1$. Если выбрать в качестве единицы длины (см), то этими двумя уравнениями фиксируется единица времени (см) и единица массы (см-1) Действительно, комптоновская длина волны частицы с массой $m$ есть $\lambda=\hbar / m c$, $\lambda=1 / m$ ( $t=1$ см соответствует времени, за которое свет проходит расстояние в $1 \mathrm{cм} ; m=1 \mathrm{~cm}^{-1}$ соответствует массе частицы (гипотетической), комптоновская длина которой $\lambda=1$ см).

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0010.jpg.txt

1.1. Функция распространения
9
Волновая функция неудобна в том смысле, что ее вид зависит от начальных условий, т. е. одному и тому же процессу могут соответствовать различные волновые функции. Чем более универсальным можно ее заменить?

Введем так называемую функцию распространения $K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)$. Пусть в момент времени $t_{1}$ частица находилась в точке $\mathbf{r}_{1}$, определим $K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)$ как амплитуду вероятности того, что в момент времени $t_{2}>t_{1}$ эта частица будет находиться в точке $\mathbf{r}_{2}$. Графически этот процесс можно изобразить линией
\[
\overline{\mathbf{r}_{1}, t_{1}} \quad \mathbf{r}_{2}, t_{2}
\]

Функция распространения является функцией уже не двух, а четырех переменных, поскольку в нее мы фактически включили определенные начальные условия. По своему смыслу $K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)$ при $t_{2}>t_{1}$ должна удовлетворять уравнению Шредингера (1.1), т. е.
\[
K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=\Psi\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right)
\]

при начальном условии
\[
K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=\left.\Psi\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right)\right|_{t_{2}=t_{1}}=\delta\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right),
\]

что является выражением того факта, что в момент времени $t_{1}$ частица находилась в точке $\mathbf{r}_{1}$. Зная функцию $K$, можно решить задачу Коши для уравнения (1.1), т. е. найти волновую функцию частицы при произвольном начальном условии. А именно:
\[
\varphi\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right)=\int K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) \varphi_{t_{1}}\left(\mathbf{r}_{1}\right) d^{3} r_{1} .
\]

В самом деле, $\varphi\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right)$ удовлетворяет уравнению (1.1), так как ему удовлетворяет $\mathrm{K}$, и, кроме того, выполняется начальное условие
\[
\left.\varphi\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right)\right|_{t_{2}=t_{1}}=\varphi_{t_{1}}\left(\mathbf{r}_{2}\right)
\]

в силу (1.3). Физически (1.4) выражает то, что амплитуда вероятности нахождения частицы в точке $\mathbf{r}_{2}$ в момент $t_{2}$ есть произведение амплитуды перехода из $\left(\mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)$ в $\left(\mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)$ на амплитуду вероятности того, что в момент $t_{1}$ частица находилась в точке $\mathbf{r}_{1}$.

Если у нас имеется полная система решений стационарного уравнения Шредингера
\[
H \Psi_{n}(\mathbf{r}, t)=E_{n} \Psi_{n}(\mathbf{r}, t),
\]

то функцию $\mathrm{K}$ можно записать в виде
\[
K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=\sum_{n} \Psi_{n}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right) \Psi_{n}^{*}\left(\mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) .
\]

Очевидно, что эта функция удовлетворяет уравнению (1.1) (так как ему удовлетворяет $\Psi_{n}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right)$ ), а из условия полноты системы $\left\{\Psi_{n}\right\}$ следует выполнение начального условия (1.3):
\[
K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=\sum_{n} \Psi_{n}\left(\mathbf{r}_{2}\right) \Psi_{n}^{*}\left(\mathbf{r}_{1}\right)=\delta\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right),
\]
т. е. (1.6) действительно есть функция распространения.
Определим функцию распространения для свободной частицы:
\[
H=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m} ; \quad \frac{\hat{p}^{2}}{2 m} \Psi_{n}=E_{n} \Psi_{n} .
\]

Решением (1.7) является
\[
\Psi_{n}(\mathbf{r}, t)=e^{i \mathbf{p r}-i\left(p^{2} / 2 m\right) t}, \quad E_{n}=\frac{p^{2}}{2 m} .
\]

Это решение принадлежит сплошному спектру, поскольку импульс, который определяет данное состояние, может принимать любые значения. Поэтому в (1.6) от суммирования нужно перейти к интегрированию по всем состояниям. Известно, что в интервале от $\mathbf{p}$ до $\mathbf{p}+d \mathbf{p}$ содержится $d^{3} p /(2 \pi)^{3}$ квантовых состояний, поэтому в (1.6) нужно сделать замену:
\[
\sum_{n} \rightarrow \int d^{3} p /(2 \pi)^{3},
\]
т. е. для свободной частицы получаем
\[
\begin{aligned}
K_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) & =\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} e^{i \mathbf{p r}_{2}-i\left(p^{2} / 2 m\right) t_{2}} e^{-i \mathbf{p r}_{1}+i\left(p^{2} / 2 m\right) t_{1}}= \\
& =\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} e^{i \mathbf{p}\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)-i \frac{p^{2}}{2 m}\left(t_{2}-t_{1}\right)} .
\end{aligned}
\]

Легко видеть, что $K_{0}$ удовлетворяет уравнению (1.1) и правильному начальному условию
\[
\left.K_{0}\right|_{t_{2}=t_{1}}=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} e^{i \mathbf{p}\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)}=\delta\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right) .
\]

Из (1.9) также следует, что $K_{0}$ в действительности является функцией только двух переменных: $K_{0}=K_{0}(\mathbf{r}, t)$, где $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}, t=t_{2}-t_{1}$. Это не удивительно, поскольку амплитуда перехода из $\mathbf{r}_{1}, t_{1}$ в $\mathbf{r}_{2}, t_{2}$ для свободной частицы, если пространство и время однородны, не должны зависеть от положения и момента времени.
Интеграл в (1.9) берется в явном виде:
\[
K_{0}(\mathbf{r}, t)=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} e^{i \mathbf{p r}-i\left(p^{2} / 2 m\right) t}=\left(\frac{2 m}{i \pi t}\right)^{\frac{3}{2}} e^{i r^{2} m / 2 t} .
\]

Очень естественно функции распространения сопоставить линию
$\overline{\mathbf{r}_{1}, t_{1}} \quad \mathbf{r}_{2}, t_{2}$

Пусть теперь частица движется во внешнем поле, которое описывается потенциалом $V(\mathbf{r}, t)$. Рассмотрим амплитуду перехода частицы из $\mathbf{r}_{1}, t_{1}$ в $\mathbf{r}_{2}, t_{2}$. При этом возможны следующие процессы.
1. Частица переходит из $\mathbf{r}_{1}, t_{1}$ в $\mathbf{r}_{2}, t_{2}$, не взаимодействуя с внешним полем:
\[
\begin{array}{ccc}
\\
\overline{\mathbf{r}_{1}, t_{1}} & \mathbf{r}_{2}, t_{2} & \left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) \\
t_{2}>t_{1}
\end{array}
\]
2. Частица свободно распространяется до некоторой точки $\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}$, в этой точке частица взаимодействует с внешним полем и далее свободно распространяется до $\mathbf{r}_{2}, t_{2}$. Этот процесс изобразим графически так:
\[
\underline{\mathbf{r}_{1}, t_{1}} \quad \mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime} \quad \mathbf{r}_{2}, t_{2}
\]

Чтобы найти амплитуду этого процесса, воспользуемся следующими соображениями. Волновая функция частицы во внешнем поле удовлетворяет уравнению
\[
i \frac{\partial \Psi}{\partial t}=H_{0} \Psi+V \Psi .
\]

За время $\Delta t$ волновая функция изменяется на величину
\[
\Delta \Psi=-i H_{0} \Psi \Delta t-i V \Psi \Delta t .
\]

Первое слагаемое в правой части соответствует изменению волновой функции при свободном движении, которое уже учтено в (1.10). Таким образом, взаимодействие с внешним полем приводит к изменению волновой функции
\[
\Delta_{V} \Psi=-i V \Psi \Delta t .
\]

То есть амплитуду процесса (1.11) можно записать в виде
\[
K_{1}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=\int K_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\left[-i V\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right] K_{0}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) d^{3} r^{\prime} d t^{\prime} .
\]

Интегрирование в (1.12) соответствует суммированию амплитуд со всевозможными положениями точки $\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)$.
3. Следующим является процесс, когда частица дважды взаимодействует с полем в точках $\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)$ и $\left(\mathbf{r}^{\prime \prime}, t^{\prime \prime}\right)$ :

Амплитуду этого процесса можно записать аналогично (1.12):
\[
\begin{aligned}
K_{2}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)= & \int K_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}^{\prime \prime}, t^{\prime \prime}\right)\left[-i V\left(\mathbf{r}^{\prime \prime}, t^{\prime \prime}\right)\right] K_{0}\left(\mathbf{r}^{\prime \prime}, t^{\prime \prime} ; \mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) \times \\
\times & {\left[-i V\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right] K_{0}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) d^{3} r^{\prime \prime} d^{3} r^{\prime} d t^{\prime \prime} d t^{\prime} } \\
& t_{1}<t^{\prime}<t^{\prime \prime}<t_{2} .
\end{aligned}
\]

Аналогичные рассуждения можно провести для случая трех и более взаимодействий. Полная амплитуда перехода $K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)$ будет равна сумме всех таких амплитуд:
\[
K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} K_{n}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) .
\]

Теперь покажем, что полученная таким образом $K$ есть действительно функция распространения частицы во внешнем поле.

Работая с функциями $K_{n}$, мы связаны необходимостью заботиться о правильной последовательности времен. Чтобы избавиться от этого неудобства, введем новую функцию
\[
\begin{aligned}
G_{n}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) & =\theta\left(t_{2}-t_{1}\right) K_{n}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right), \\
G\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) & =K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)
\end{aligned}
\]

где
\[
\theta(t)=\left\{\begin{array}{ll}
1 & t \geqslant 0 \\
0 & t<0 .
\end{array}\right.
\]

Тем самым правильная последовательность времен будет соблюдаться автоматически. Функция $G$ называется функцией Грина. Выясним, какому уравнению она удовлетворяет. Подействуем на $G$ оператором $i \partial / \partial t-H(\mathbf{r}, t)$. Если функция $K$ удовлетворяет уравнению Шредингеpa, то, учитывая, что
\[
\frac{d}{d t} \theta(t)=\delta(t)
\]

получим:
\[
\begin{aligned}
{\left[i \frac{\partial}{\partial t_{2}}-H\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right)\right] G\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) } & =K\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) i \frac{d}{d t} \theta\left(t_{2}-t_{1}\right)= \\
& =i \delta\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right) \delta\left(t_{2}-t_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь мы учли, что оператор $H(\mathbf{r}, t)$ не содержит дифференцирования по времени, а также условие (1.3). Таким образом, функция Грина будет удовлетворять уже неоднородному уравнению:
\[
\left[i \frac{\partial}{\partial t_{2}}-H\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right)\right] G\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=i \delta\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right) \delta\left(t_{2}-t_{1}\right) .
\]

В дальнейшем каждой диаграмме будем сопоставлять соответствующую функцию Грина. Например:
\[
\begin{array}{l}
\overline{\mathbf{r}_{1}, t_{1}} \quad \mathbf{r}_{2}, t_{2} \quad G_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right), \\
\begin{array}{ccc}
\mathbf{r}_{1}, t_{1} & \mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime} & \mathbf{r}_{2}, t_{2}
\end{array} \\
G_{1}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=\int G_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) \times \\
\times\left[-i V\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right] G_{0}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) d t^{\prime} d^{3} r^{\prime} \\
\end{array}
\]

и т. д.
Теперь покажем, что полученная таким образом полная функция Грина
\[
G\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} G_{n}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)
\]

удовлетворяет правильному уравнению. Если сопоставить полной функции Грина жирную линию, (1.18) можно записать графически так:

Поясним, как мы это получили. Все графики, начиная со второго, имеют следующую структуру:

Все они кончаются графиком

Если этот элемент \”вынести за скобку\”, то сумма в скобках даст снова полную функцию Грина:
G
Этой \”операции\” и соответствует (1.19). Соотношение (1.19) есть не что иное, как графическое уравнение для функции Грина. Ему соответствует интегральное уравнение:
\[
\begin{array}{l}
G\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=G_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)+ \\
+\int G_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\left[-i V\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right] G\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) d^{3} r^{\prime} d t^{\prime}
\end{array}
\]

Покажем, что это уравнение эквивалентно (1.17). Подействуем на функцию $G$ (1.20) оператором Шредингера для свободного движения:
\[
\begin{array}{l}
{\left[i \frac{\partial}{\partial t_{2}}-H_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right)\right] G\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=i \delta\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right) \delta\left(t_{2}-t_{1}\right)+} \\
+\int i \delta\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}^{\prime}\right) \delta\left(t_{2}-t^{\prime}\right)\left[-i V\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right] G\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) d^{3} \mathbf{r}^{\prime} d t^{\prime}= \\
=i \delta\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right) \delta\left(t_{2}-t_{1}\right)+V\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2}\right) G\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) .
\end{array}
\]

Перенеся второе слагаемое в левую часть равенства, получим в точности (1.17). Функция $G$ определяется однозначно как решение неоднородного дифференциального уравнения (1.17) с начальным условием $G\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=0$ при $t_{2}<t_{1}$, или, что то же самое, как решение интегрального уравнения (1.20). Отметим, что решение интегрального уравнения, полученное итерациями по потенциалу, автоматически удовлетворяет начальному условию – точная функция Грина $G$ равна нулю при $t_{2}<t_{1}$, потому что свободная функция $G_{0}$ обладает этим свойством. Тем самым мы показали, что функция $G$, построенная по рецепту (1.18), действительно является функцией Грина уравнения Шредингера для частицы во внешнем поле, а это в силу (1.15) означает, что функция $K$ (1.14) есть функция распространения частицы во внешнем поле.

Введенные нами графики фактически являются диаграммами Фейнмана для рассеяния частицы во внешнем поле в нерелятивистском случае. Отметим, в полученных нами выражениях время и пространственные координаты входят абсолютно равноправно и в аргументах функций Грина, и в последовательных интегралах, определяющих $G_{n}$. Именно благодаря этому обстоятельству подход, основанный на функциях Грина, становится особенно удобным, когда мы переходим к релятивистской теории.

Аналогично можно построить функцию Грина для двух и большего числа частиц. Пусть, например, имеются две свободные частицы, их движение опишем графиком
\begin{tabular}{ll}
\hline $\mathbf{r}_{1}, t_{1}$ & $\mathbf{r}_{1}^{\prime}, t_{1}^{\prime}$ \\
\hline $\mathbf{r}_{2}, t_{2}$ & $\mathbf{r}_{2}^{\prime}, t_{2}^{\prime}$
\end{tabular}

Функция Грина в этом случае будет просто произведением одночастичных функций Грина, поскольку частицы движутся независимо.
\[
G_{0}\left(\mathbf{r}_{2}^{\prime}, \mathbf{r}_{1}^{\prime}, t_{2}^{\prime}, t_{1}^{\prime} ; \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{1}, t_{2}, t_{1}\right)=G_{0}\left(\mathbf{r}_{1}^{\prime}-\mathbf{r}_{1}, t_{1}^{\prime}-t_{1}\right) G_{0}\left(\mathbf{r}_{2}^{\prime}-\mathbf{r}_{2}, t_{2}^{\prime}-t_{2}\right)
\]

Простейшим графиком, учитывающим взаимодействие между двумя частицами, будет
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline $\mathbf{r}_{1}, t_{1}$ & $\mathbf{x}_{1}, \tau_{1}$ & $\mathbf{r}_{1}^{\prime}, t_{1}^{\prime}$ \\
\hline & I & \\
\hline & I & \\
\hline & 1 & \\
\hline & $i$ & \\
\hline & I & \\
\hline & I & \\
\hline & i & \\
\hline & I & \\
\hline $\mathbf{r}_{2}, t_{2}$ & $\mathbf{x}_{2}, \tau_{2}$ & $\mathbf{r}_{2}^{\prime}, t_{2}^{\prime}$ \\
\hline
\end{tabular}

Пунктирная линия соответствует однократному взаимодействию между частицами. По аналогии со случаем одной частицы сопоставим ей выражение $\left[-i V\left(\mathbf{x}_{2}-\mathbf{x}_{1}, \tau_{2}-\tau_{1}\right)\right]$, где $V$ – потенциал взаимодействия. Для $G_{1}$ получаем
\[
\begin{aligned}
G_{1}=\int & G_{0}\left(\mathbf{r}_{1}^{\prime}, t_{1}^{\prime} ; \mathbf{x}_{1}, \tau_{1}\right)\left[-i V\left(\mathbf{x}_{2}-\mathbf{x}_{1} ; \tau_{2}-\tau_{1}\right)\right] G_{0}\left(\mathbf{x}_{1}, \tau_{1} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right) \times \\
& \times G_{0}\left(\mathbf{r}_{2}^{\prime}, t_{2}^{\prime} ; \mathbf{x}_{2}, \tau_{2}\right) G_{0}\left(\mathbf{x}_{2}, \tau_{2} ; \mathbf{r}_{2}, t_{2}\right) d^{3} x_{1} d^{3} x_{2} d \tau_{1} d \tau_{2}
\end{aligned}
\]

В отличие от одной частицы во внешнем поле, в данном случае потенциал описывает взаимодействие двух частиц и поэтому в (1.24) учитывается только один раз. Строгое доказательство (1.24) проведем позже. В нерелятивистской теории взаимодействие распространяется мгновенно, т. е. потенциал зависит от времени как $V\left(\mathbf{x}_{2}-\mathbf{x}_{1}, \tau_{2}-\tau_{1}\right)=\delta\left(\tau_{2}-\tau_{1}\right)$.

Вернемся к частице во внешнем поле. Обычно удобно работать в импульсном представлении. Переход к импульсному представлению проведем так, чтобы сохранить формальную симметрию между пространственными и временными переменными, в дальнейшем это пригодится при обобщении теории на релятивистский случай.
Функция Грина свободной частицы имеет вид (см. (1.15)):
\[
G_{0}(\mathbf{r}, t)=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} e^{i \mathbf{p r}-i\left(p^{2} / 2 m\right) t} \theta(t)
\]

Здесь $t$ и $\mathbf{r}$ входят не симметрично. Однако (1.25) можно переписать так:
\[
G_{0}(\mathbf{r}, t)=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} G_{0}\left(\mathbf{p}, p_{0}\right) e^{i \mathrm{pr}-i p_{0} t},
\]

В выражении (1.26) как $\mathbf{r}$ и $t$, так и $\mathbf{p}, p_{0}$ входят равноправно. Функция Грина в импульсном представлении $G_{0}\left(\mathbf{p}, p_{0}\right)$ имеет вид:
\[
G_{0}\left(\mathbf{p}, p_{0}\right)=\frac{1}{\mathbf{p}^{2} / 2 m-p_{0}-i \varepsilon} .
\]

где $\varepsilon-$ произвольное малое положительное число. Итак:
\[
G_{0}(\mathbf{r}, t)=\int \frac{d^{3} p d p_{0}}{(2 \pi)^{4} i} \frac{1}{\mathbf{p}^{2} / 2 m-p_{0}-i \varepsilon} e^{i \mathbf{p r}-i p_{0} t} .
\]

Теперь покажем, что (1.28) эквивалентно (1.25). Проинтегрируем по $p_{0}$ в (1.28). Подынтегральное выражение имеет простой полюс в точке
\[
p_{0}=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}-i \varepsilon,
\]
т. е. в нижней полуплоскости. Если бы $\varepsilon=0$, то полюс находился бы на вещественной оси и интеграл не имел бы смысла.

При $t<0$ контур интегрирования можно замкнуть в верхней полуплоскости, тогда, поскольку внутри контура $C_{1}$ не содержится полюсов, интеграл по нему равен нулю, в то же время интеграл по верхней полуокружности при $t<0$ равен нулю по лемме Жордана, это приводит к обращению в нуль интеграла (1.28).

При $t>0$ замкнем контур интегрирования в нижней полуплоскости (аналогично предыдущему интеграл по нижней полуокружности равен нулю) и получим
\[
\int_{C_{2}}=\int \frac{d^{3} p d p_{0}}{(2 \pi)^{4} i} \frac{1}{\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}-p_{0}-i \varepsilon} e^{i \mathbf{p r}-i p_{0} t}=-\left.2 \pi i R e s\right|_{p_{0}} .
\]

Здесь $\left.\operatorname{Res}\right|_{p_{0}}$ – вычет подынтегрального выражения в точке $p_{0}=\mathbf{p}^{2} / 2 m-i \varepsilon$. Таким образом, при $t>0$
\[
\int \frac{d^{3} p d p_{0}}{(2 \pi)^{4} i} \frac{1}{\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}-p_{0}-i \varepsilon} e^{i \mathbf{p r}-i p_{0} t}=2 \pi i \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{4} i} e^{i \mathbf{p r}-i \frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m} t},
\]
т. е. в точности (1.25) при $t>0$.

Итак, мы доказали, что выражение (1.25) совпадает с (1.28). Явный вид $G_{0}\left(\mathbf{p}, p_{0}\right)(1.28)$ можно получить непосредственным решением уравнения Шредингера для свободной функции Грина (в (1.27) мы его просто угадали).
Имеем
\[
\left(i \frac{\partial}{\partial t}+\frac{
abla^{2}}{2 m}\right) G_{0}(\mathbf{r}, t)=i \delta(\mathbf{r}) \delta(t) .
\]

Ищем решение в виде (1.27):
\[
G_{0}(\mathbf{r}, t)=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} G_{0}\left(\mathbf{p}, p_{0}\right) e^{i \mathbf{p r}-i p_{0} t} .
\]

Подставив (1.27) в (1.29) и используя соотношение
\[
\delta(\mathbf{r}) \delta(t)=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4}} e^{i \mathrm{pr}-i p_{0} t}
\]

получим
\[
\int\left(p_{0}-\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}\right) G_{0}\left(\mathbf{p}, p_{0}\right) e^{i \mathbf{p r}-i p_{0} t} \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i}=i \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4}} e^{i \mathbf{p r}-i p_{0} t}
\]
T. e.
\[
G_{0}\left(\mathbf{p}, p_{0}\right)=\frac{1}{\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}-p_{0}-i \varepsilon},
\]

малая добавка – $i \varepsilon$ введена для того, чтобы обеспечить выполнение условия: при $t<0, G_{0}(t)=0$. Введем теперь импульсное представление для потенциала внешнего поля:
\[
\begin{array}{l}
V(\mathbf{r}, t)=\int \frac{d^{4} q}{(2 \pi)^{4}} e^{i \mathbf{q} \mathbf{r}-i q_{0} t} V(q), \\
V(q)=\int d^{3} r d t e^{-i \mathbf{q r}+i q_{0} t} V(\mathbf{r}, t),
\end{array}
\]

где $q=\left(q_{0}, \mathbf{q}\right)$.
Подставляя (1.27) и (1.31) в выражение для $G_{1}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)$, будем иметь для процесса:
\[
\begin{array}{l}
G_{1}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=\int d^{3} r^{\prime} d t^{\prime} \underbrace{\int \frac{d^{4} p_{2}}{(2 \pi)^{4} i} G_{0}\left(p_{2}\right) e^{i \mathbf{p}_{2}\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}^{\prime}\right)-i p_{20}\left(t_{2}-t^{\prime}\right)}}_{G_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)} \times \\
\times \underbrace{(-i) \int \frac{d^{4} q}{(2 \pi)^{4}} V(q) e^{i \mathbf{q} \mathbf{r}^{\prime}-i q_{0} t^{\prime}}}_{-i V\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)} \underbrace{\int \frac{d^{4} p_{1}}{(2 \pi)^{4} i} G_{0}\left(p_{1}\right) e^{i \mathbf{p}_{1}\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}_{1}\right)-i p_{10}\left(t^{\prime}-t_{1}\right)}}_{G_{0}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)}= \\
=\int d^{4} p_{2} d^{4} q d^{4} p_{1} \underbrace{\int d^{3} r^{\prime} d t^{\prime} e^{i\left(-\mathbf{p}_{2}+\mathbf{q}+\mathbf{p}_{1}\right) \mathbf{r}^{\prime}} e^{i\left(p_{20}-q_{0}-p_{10}\right) t^{\prime}}}_{(2 \pi)^{4} \delta^{4}\left(p_{1}+q-p_{2}\right)} \times \\
\times e^{i \mathbf{p}_{2} \mathbf{r}_{2}-i p_{20} t_{2}} e^{-i \mathbf{p}_{1} \mathbf{r}_{1}+i p_{10} t_{1}} G_{0}\left(p_{2}\right)[-V(q)] G_{0}\left(p_{1}\right) \frac{1}{(2 \pi)^{12} i} \text {. } \\
\end{array}
\]

Интегрирование по $d^{3} r^{\prime}, d t^{\prime}$ привело к $\delta$-функции, что является выражением закона сохранения энергии-импульса. Интегрируя по $d^{4} q$, получим окончательный результат:
\[
\begin{aligned}
G_{1}\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)= & \int \frac{d^{4} p_{1} d^{4} p_{2}}{(2 \pi)^{4} i} e^{-i \mathbf{p}_{1} \mathbf{r}_{1}+i p_{10} t_{1}} e^{i \mathbf{p}_{2} \mathbf{r}_{2}-i p_{20} t_{2}} \times \\
& \times G_{0}\left(p_{2}\right)\left[-V\left(p_{2}-p_{1}\right)\right] G_{0}\left(p_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, взаимодействие приводит к тому, что первая поправка к свободной функции Грина уже не является функцией только разностей $\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} ; t_{2}-t_{1}$. $G_{0}$ можно переписать в аналогичной форме
\[
G_{0}=\int \frac{d^{4} p_{1} d^{4} p_{2}}{(2 \pi)^{4} i} \delta\left(p_{1}-p_{2}\right) G_{0}\left(p_{1}\right) e^{i \mathbf{p}_{2} \mathbf{r}_{2}-i p_{20} t_{2}} e^{-i \mathbf{p}_{1} \mathbf{r}_{1}+i p_{10} t_{1}} .
\]

Введя точную функцию Грина в импульсном представлении $G\left(p_{1}, p_{2}\right)$ по формуле
\[
\begin{array}{l}
G\left(\mathbf{r}_{2}, t_{2} ; \mathbf{r}_{1}, t_{1}\right)=\int \frac{d^{4} p_{1} d^{4} p_{2}}{(2 \pi)^{8} i} e^{i\left(\mathbf{p}_{2} \mathbf{r}_{2}-p_{20} t_{2}\right)} e^{-i\left(\mathbf{p}_{1} \mathbf{r}_{1}-p_{10} t_{1}\right)} G\left(p_{1}, p_{2}\right), \\
\text { получим, учитывая }(1.34),(1.33), \\
G\left(p_{1}, p_{2}\right)=(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}-p_{2}\right) G_{0}\left(p_{1}\right)+G_{0}\left(p_{2}\right)\left[-V\left(p_{2}-p_{1}\right)\right] G_{0}\left(p_{1}\right)+\cdots
\end{array}
\]

получим, учитывая (1.34), (1.33),
\[
G\left(p_{1}, p_{2}\right)=(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}-p_{2}\right) G_{0}\left(p_{1}\right)+G_{0}\left(p_{2}\right)\left[-V\left(p_{2}-p_{1}\right)\right] G_{0}\left(p_{1}\right)+\cdots
\]

Графически (1.36) выглядит так:

Если повторить аналогичные выкладки для следующей диаграммы

получим для $G_{2}\left(p_{1}, p_{2}\right)$ следующее выражение:
\[
G_{2}\left(p_{1}, p_{2}\right)=G_{0}\left(p_{1}\right) \int \frac{d^{4} p^{\prime}}{(2 \pi)^{4}} V\left(p^{\prime}-p_{1}\right) G_{0}\left(p^{\prime}\right) V\left(p_{2}-p^{\prime}\right) G_{0}\left(p_{2}\right) .
\]

Выражение для $G_{1}\left(p_{1}, p_{2}\right)$ (второе слагаемое в (1.36)) соответствует первому борновскому приближению в обычной квантовой механике $\left(-V\left(p_{2}-p_{1}\right)\right.$ – амплитуда рассеяния в этом приближении). (1.37) соответствует второму борновскому приближению, причем интегрирование по импульсам эквивалентно суммированию по промежуточным состояниям.

Аналогичным образом можно сформулировать общие правила построения функций Грина $G_{n}$ для любой диаграммы:
\[
\begin{array}{cccc}
p_{1} & p^{\prime} & p^{\prime \prime} & p_{2} \\
\hline-V\left(p^{\prime}-p_{1}\right) & -V\left(p^{\prime \prime}-p^{\prime}\right) & -V\left(p_{2}-p^{\prime \prime}\right)
\end{array}
\]

Каждой линии сопоставляется свободная функция Грина $G_{0}\left(p_{i}\right)$, каждой вершине $[-V]$ по всем импульсам промежуточных линий производится интегрирование $d^{4} p /(2 \pi)^{4}$.