Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Перенормировка массы электрона Начнем со свободной частицы. Что с ней может произойти? (Считаем, что есть частицы только одного сорта и фотоны.) Точная функция Грина свободной частицы представляется суммой функций Грина всех подобных процессов, причем, когда в диаграмме присутствуют электрон-позитронные пары, на каждую надо вводить множитель -1 (поскольку $\bar{v}(p)=-\bar{u}(-p)$ ). Метод Фейнмана как раз и состоит в написании всех топологически разных диаграмм процессов во всех порядках по константе взаимодействия и суммирования всех соответствующих функций Грина. Подчеркнем, что следует рисовать только топологически различные диаграммы. Так, например, диаграмму Это, по существу, один и тот же процесс, поэтому его нужно учитывать только один раз. —————————————————————- 192 описывает распространение свободной частицы и влияние на него всевозможных виртуальных процессов. Видно, что процесс, например, таКой есть просто повторение так что ничего нового он в движение частицы фактически не вносит. Поэтому в дальнейшем нам будет удобно выделить те процессы, которые не сводятся к простым повторениям. А пока сформулируем правила, по которых мы будем сопоставлять диаграммам функции Грина. Как обычно, для диаграммы напишем Множитель $e^{2}$ в (4.1) появился из-за наличия двух вершин, интеграл берется по $d^{4} x_{1}^{\prime}$ и $d^{4} x_{2}^{\prime}$ в силу того, что $x_{1}^{\prime}$ и $x_{2}^{\prime}$ произвольны. В $x$-пространстве вершине мы сопоставляем $i \gamma_{\mu}$ (как и в импульсном), т. е. В следующем порядке рассмотрим, к примеру, диаграмму Для нее имеем Здесь правило такое: под интегралом пишутся функции Грина, начиная с конца диаграммы, по всем внутренним точкам $x^{\prime}$ производится интегрирование. (Нужно также следить за индексами $\mu, \mu^{\prime}, \ldots$ фотонных функций Грина, чтобы они соответствовали диаграмме.) Перейдем в импульсное представление. Для этой цели напишем функции Грина в виде При подстановке (4.3) в (4.1) или (4.2) мы видим, что вся зависимость подынтегральной функции от координат ограничивается экспоненциальными множителями. Поэтому интегралы по $x_{i}^{\prime}$ легко возьмутся. То есть в каждой вершине диаграммы в импульсном представлении (рис. 25) выполняется закон сохранения 4 -импульса. По промежуточному состоянию осталось одно интегрирование $\left(d^{4} k\right.$ ). Переписывая (4.5) как видим, что функция Грина $G_{2}(p)$ в импульсном представлении имеет вид: Итак, мы вычислили поправку к свободной функции Грина: В (4.6) присутствует интегрирование по импульсу промежуточного фотона, потому что, хотя в каждой вершине выполняется закон сохранения 4-импульса, сам испущенный квант может обладать любым импульсом. Аналогично можно построить функцию Грина, соответствующую любой диаграмме. Например, в порядке $e^{4}$ : Выпишем функцию Грина для средней диаграммы: Рассмотрим теперь, что может произойти со свободным фотоном. Он может только распадаться на электрон и позитрон, больше никакого взаимодействия у нас нет, так что могут быть следующие процессы: и т.Д. Для диаграммы можем, как обычно, написать выражение: Однако электрон и позитрон могут рождаться с разными спинами, поэтому надо просуммировать (4.9) по всем спиновым состояниям, т. е. взять след от (4.9). Обсудим этот вопрос подробнее. Вспомним, что мы сопоставляли Если бы в диаграмме в промежутке частицы были бы реальными, то для амплитуды мы написали бы Знак \»-\» появился, так как $\bar{v}(p)=-\bar{u}(-p)$. $\mathrm{K}$ следу выражение (4.10) сводится при помощи равенства: Таким образом, для того чтобы (4.9) для реальных частиц переходила в (4.10), мы должны след взять со знаком \»-\». Аналогично, для произвольной диаграммы на каждую электрон-позитронную пару должен входить множитель -1 . Реально фотон не может распасться на две частицы, т. е. процесс является виртуальным. Это отражается в том, что функция Грина (4.11) содержит $k^{2} Поправки высокого порядка в фейнмановских диаграммах включают в себя более сложные виртуальные процессы. Частицы в этих процессах не находятся на массовой поверхности. Это следует сравнить с обычной квантовомеханической теорией возмущений, в которой в промежуточных состояниях нарушается закон сохранения энергии. Метод Фейнмана, в принципе, эквивалентен теории возмущений в квантовой механике, однако, он гораздо удобнее, поскольку этот метод сохраняет явную релятивистскую инвариантность в процессе вычислений. Прежде чем перейти к обсуждению реальных процессов, рассмотрим более подробно функции Грина свободных частиц. (Будем в дальнейшем массу частицы обозначать $m_{0}$ вместо $m$.) Итак, функцию Грина свободной заряженной частицы с массой $m_{0}$ можно записать в виде суммы членов, отвечающих всевозможным процессам с испусканием и поглощением всевозможного числа фотонов, т. е. Среди всех таких диаграмм есть в некотором смысле исключительные, а именно, такие, которые соответствуют периодическому повторению флуктуаций, происходящих с частицей, т. е. диаграммы типа Такие флуктуации не связаны, так как могут быть разделены большими промежутками времени, и фактически новой информации о движении частицы не дают. В $\Sigma(p)$ содержатся все флуктуации за короткий промежуток времени. Все остальные флуктуации получаются просто повторением, т. е. полную функцию Грина можно записать так: Выделив $\Sigma(p)$ в блок, мы теперь легко можем просуммировать всю совокупность диаграмм. Имеем Таким образом, сумма свелась к геометрической прогрессии. Суммируя ее, получим В нулевом приближении Здесь $m_{0}$ имеет смысл массы частицы, поскольку $G_{0}(p)$ в точке $p^{2}=m_{0}^{2}$ имеет полюс. Это вытекает из следующих рассуждений: функция распространения частицы из $x_{1}$ в $x_{2}$ есть где $x_{12}=x_{2}-x_{1}$. Взяв интеграл по вычетам, мы получим где $p_{0}=\sqrt{m_{0}^{2}+\mathbf{p}^{2}}$. А это и означает, что распространяется частица с массой $m_{0}$; более того, при $t_{2} \rightarrow \infty$ вклад в интеграл дает только полюсной член и, если бы не было полюса, из-за частых осцилляций экспоненты он обратился бы в нуль, т. е. мы не наблюдали бы никакой частицы. Именно наличие полюса делает интеграл отличным от нуля и обеспечивает правильную связь между энергией и импульсом частицы. Так что физически наблюдаемая масса определяется из условия Взглянув же на (4.13), видим, что точная функция Грина не обязательно имеет полюс при $p^{2}=m_{0}^{2}$, т. е. $m_{0}$ не имеет непосредственного отношения к массе. А реальная масса частицы определяется еще и ее собственной энергией. И если мы хотим, чтобы свободная частица с некоторой массой $m$ существовала (т. е. мы могли бы ее наблюдать), то мы должны наложить некоторые условия на $\Sigma(p)$. Поскольку $\Sigma(\hat{p})$ зависит только от $\gamma$ матриц только через $\hat{p}$, она коммутирует с $\hat{p}$. Пусть $u_{m}(p)$ — биспинор, описывающий свободную частицу с массой $m$ ( $\hat{p} u_{m}(p)=m u_{m}(p)$ ). Уравнение 4.14 для определения физической массы эквивалентно которое эквивалентно Это уравнение должно иметь вещественные решения, которые и будут иметь смысл реально наблюдаемой массы частицы. А поскольку $m_{0}$ ненаблюдаема, хорошо бы ее исключить из всех выражений, заменив на некоторую комбинацию из $m$. Это сделать совсем просто: перепишем (4.13) в виде Выражая $m_{0}$ из (4.15), получим Эта формула выражает функцию Грина электрона только через наблюдаемые величины. Рассмотрим теперь, как устроены поправки к волновой функции заряженной частицы. Покажем, что они связаны с поправками к функции Грина. Мы замыкали контур на полюс и интегрировали по $d p_{0}$; пользуясь равенством получали где $p_{0}=\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m_{0}^{2}}$. Далее выделили волновые функции свободных частиц: и оставшийся фактор назвали амплитудой рассеяния. Последний член в этом выражении содержит степени $\hat{p}-m$ выше первой. Перепишем его в виде вводя новую величину $\Sigma_{c}(p)$. Она выражается через собственную энергию согласно Функция Грина может быть представлена через $\Sigma_{c}(p)$ следующим образом: где называется перенормированной функцией Грина. Поскольку вблизи полюса $\Sigma_{c}(\hat{p})$ имеет лишь члены высокого порядка по $\hat{p}-m$, видно, что перенормированная функция Грина устроена вблизи полюса так же, как функция Грина свободной частицы с массой $m$. Вернемся к вычислению амплитуды. Величина $\tilde{\Sigma}_{c}(p)$ не дает вклада в полюс, поэтому при вычислении амплитуды (т. е. при $x_{1} \rightarrow \infty$ ) ею можно пренебречь. В результате имеем Раньше у нас была нормировка $\bar{u} u=2 m$, а сейчас появились спиноры где То есть возникла перенормировка волновых функций электрона. Физически это отражает тот факт, что в настоящем случае система состоит не из одного электрона, а содержит еще и фотоны, а также пары, т. е. картинка такая: И волновая функция всей системы имеет вид: Так что если общая нормировка функций выбрана единичной, то норма $\Psi_{e}$ уже не равна единице, а представляет собой \»долю\» одноэлектронного состояния в возникающем многочастичном состоянии. Однако на наблюдаемых величинах нормировка волновых функций сказываться не должна. В нашем случае такой величиной является сечение, в него входит поток начальных частиц и фазовый объем конечных. В них мы обязаны включить возникающий нормировочный множитель. В дальнейшем мы будем поступать так: один корень $\sqrt{Z_{2}}$ отнесем к потоку или фазовому объему и будем их вычислять как обычно, другой корень $\sqrt{Z_{2}}$ отнесем к амплитуде, а волновые функции нормируем как прежде. То есть на каждый вход (или выход) свободной электронной линии припишем множитель $\sqrt{Z_{2}}$ : Итак, в результате суммирования диаграмм возникла перенормировка массы электрона и амплитуды.
|
1 |
Оглавление
|