Перенормировка массы электрона

Начнем со свободной частицы. Что с ней может произойти? (Считаем, что есть частицы только одного сорта и фотоны.)
1. Частица свободно распространяется из $x_{1}$ в $x_{2}$ :
2. В некоторой точке $x_{1}^{\prime}$ частица может испустить фотон: но поскольку реально этот процесс запрещен, то фотон может существовать лишь время, разрешенное соотношением неопределенностей, а затем обязан поглотиться этой же частицей, т. е.
3. Возможны и более сложные процессы:

Точная функция Грина свободной частицы представляется суммой функций Грина всех подобных процессов, причем, когда в диаграмме присутствуют электрон-позитронные пары, на каждую надо вводить множитель -1 (поскольку $\bar{v}(p)=-\bar{u}(-p)$ ). Метод Фейнмана как раз и состоит в написании всех топологически разных диаграмм процессов во всех порядках по константе взаимодействия и суммирования всех соответствующих функций Грина. Подчеркнем, что следует рисовать только топологически различные диаграммы. Так, например, диаграмму

Это, по существу, один и тот же процесс, поэтому его нужно учитывать только один раз.

—————————————————————-
0016ru_fiz_kvan_no_photo_page-0193.jpg.txt

192
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Сумmа

описывает распространение свободной частицы и влияние на него всевозможных виртуальных процессов. Видно, что процесс, например, таКой

есть просто повторение

так что ничего нового он в движение частицы фактически не вносит. Поэтому в дальнейшем нам будет удобно выделить те процессы, которые не сводятся к простым повторениям. А пока сформулируем правила, по которых мы будем сопоставлять диаграммам функции Грина. Как обычно, для диаграммы

напишем
\[
\begin{array}{l}
G_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)= \\
=e^{2} \int G\left(x_{2}-x_{2}^{\prime}\right) i \Gamma_{\mu}\left(x_{2}^{\prime}\right) G\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right) i \Gamma_{
u}\left(x_{1}^{\prime}\right) G\left(x_{1}^{\prime}-x_{1}\right) \times \\
\times D_{\mu
u}\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right) d^{4} x_{2}^{\prime} d^{4} x_{1}^{\prime} .
\end{array}
\]

Множитель $e^{2}$ в (4.1) появился из-за наличия двух вершин, интеграл берется по $d^{4} x_{1}^{\prime}$ и $d^{4} x_{2}^{\prime}$ в силу того, что $x_{1}^{\prime}$ и $x_{2}^{\prime}$ произвольны. В $x$-пространстве вершине мы сопоставляем $i \gamma_{\mu}$ (как и в импульсном), т. е.

В следующем порядке рассмотрим, к примеру, диаграмму

Для нее имеем
\[
\begin{array}{l}
G_{4}\left(x_{2}-x_{1}\right)= \\
=e^{4} \int G\left(x_{2}-x_{2}^{\prime \prime}\right) i \gamma_{\mu} G\left(x_{2}^{\prime \prime}-x_{2}^{\prime}\right) i \gamma_{
u} G\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right) \times \\
\times i \gamma_{
u^{\prime}} G\left(x_{1}^{\prime}-x_{1}^{\prime \prime}\right) i \gamma_{\mu^{\prime}} G\left(x_{1}^{\prime \prime}-x_{1}\right) D_{\mu \mu^{\prime}}\left(x_{2}^{\prime \prime}-x_{1}^{\prime \prime}\right) \times \\
\times D_{
u
u^{\prime}}\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right) d^{4} x_{1}^{\prime \prime} d^{4} x_{1}^{\prime} d^{4} x_{2}^{\prime} d^{4} x_{2}^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Здесь правило такое: под интегралом пишутся функции Грина, начиная с конца диаграммы, по всем внутренним точкам $x^{\prime}$ производится интегрирование. (Нужно также следить за индексами $\mu, \mu^{\prime}, \ldots$ фотонных функций Грина, чтобы они соответствовали диаграмме.)

Перейдем в импульсное представление. Для этой цели напишем функции Грина в виде
\[
\begin{aligned}
G(x) & =\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i p x}}{m-\hat{p}}, \\
D_{\mu
u}(x) & =g_{\mu
u} \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i k x}}{k^{2}} .
\end{aligned}
\]

При подстановке (4.3) в (4.1) или (4.2) мы видим, что вся зависимость подынтегральной функции от координат ограничивается экспоненциальными множителями. Поэтому интегралы по $x_{i}^{\prime}$ легко возьмутся.
Рассмотрим, например, (4.1):
\[
\begin{array}{c}
G_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)=e^{2} \int \frac{d^{4} p_{1} d^{4} p_{2} d^{4} p_{3} d^{4} k}{\left[(2 \pi)^{4} i\right]^{4}} \frac{1}{m-\hat{p}_{2}} i \gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}_{3}} i \gamma_{
u} \frac{1}{m-\hat{p}_{1}} \frac{\delta_{\mu
u}}{k^{2}} \times \\
\times \int e^{-i p_{2} x_{2}} e^{-i x_{2}^{\prime}\left(-p_{2}+p_{3}+k\right)-i x_{1}^{\prime}\left(-p_{3}+p_{1}-k\right)} e^{i p_{1} x_{1}} d^{4} x_{1}^{\prime} d^{4} x_{2}^{\prime}, \\
\int e^{-i x_{2}^{\prime}\left(-p_{2}+p_{3}+k\right)-i x_{1}^{\prime}\left(-p_{3}+p_{1}-k\right)} d^{4} x_{1}^{\prime} d^{4} x_{2}^{\prime}= \\
=(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{3}+k-p_{2}\right)(2 \pi)^{4} \delta\left(p_{1}-k-p_{3}\right) .
\end{array}
\]

То есть в каждой вершине диаграммы в импульсном представлении (рис. 25) выполняется закон сохранения 4 -импульса.
Рис. 25
После интегрирования при помощи $\delta$-функции по $d^{4} p_{2}$ и $d^{4} p_{3}$ останется
\[
\begin{aligned}
G_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) & =\int \frac{d^{4} p_{1}}{(2 \pi)^{4} i} e^{-i p_{1}\left(x_{2}-x_{1}\right)} \times \\
& \times \int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} e^{2} \frac{1}{m-\hat{p}_{1}} \gamma_{\mu} \frac{1}{m-\left(\hat{p}_{1}-\hat{k}\right)} \gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}_{1}} \frac{1}{k^{2}} .
\end{aligned}
\]

По промежуточному состоянию осталось одно интегрирование $\left(d^{4} k\right.$ ). Переписывая (4.5) как
\[
G_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} e^{-i p\left(x_{2}-x_{1}\right)} G_{2}(p),
\]

видим, что функция Грина $G_{2}(p)$ в импульсном представлении имеет вид:
\[
G_{2}(p)=\frac{e^{2}}{m-\hat{p}}\left(\int \frac{d^{4} k}{(2 \pi)^{4} i} \gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}} \gamma_{\mu} \frac{1}{k^{2}}\right) \frac{1}{m-\hat{p}} .
\]

Итак, мы вычислили поправку к свободной функции Грина:

В (4.6) присутствует интегрирование по импульсу промежуточного фотона, потому что, хотя в каждой вершине выполняется закон сохранения 4-импульса, сам испущенный квант может обладать любым импульсом. Аналогично можно построить функцию Грина, соответствующую любой диаграмме. Например, в порядке $e^{4}$ :

Выпишем функцию Грина для средней диаграммы:
\[
\begin{array}{l}
\tilde{G}_{4}(p)=e^{4} \frac{1}{m-\hat{p}} \times \\
\times\left(\int \frac{d^{4} k_{1} d^{4} k_{2}}{\left[(2 \pi)^{4} i\right]^{2}} \gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}_{2}} \gamma_{
u} \frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}_{2}+\hat{k}_{1}} \times\right. \\
\left.\times \gamma_{\mu} \frac{1}{m-\hat{p}+\hat{k}_{1}} \gamma_{
u} \frac{1}{k_{1}^{2}} \frac{1}{k_{2}^{2}}\right) \frac{1}{m-\hat{p}} .
\end{array}
\]

Рассмотрим теперь, что может произойти со свободным фотоном. Он может только распадаться на электрон и позитрон, больше никакого взаимодействия у нас нет, так что могут быть следующие процессы:

и т.Д.
Что мы сопоставим этим диаграммам? Свободному фотону, как мы знаем, соответствует фотонная функция Грина $g_{\mu
u} D\left(x_{2}-x_{1}\right)$, т. е.
\[
{ }_{
u}^{x_{1}}—-{ }_{\mu}^{x_{2}}=g_{\mu
u} D\left(x_{2}-x_{1}\right) .
\]

Для диаграммы

можем, как обычно, написать выражение:
\[
\begin{array}{l}
e^{2} \int D_{\mu \mu^{\prime}}\left(x_{2}-x_{2}^{\prime}\right) i \gamma_{\mu^{\prime}} G\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right) \times \\
\quad \times i \gamma_{
u^{\prime}} G\left(x_{1}^{\prime}-x_{2}^{\prime}\right) D_{
u^{\prime}
u}\left(x_{1}^{\prime}-x\right) d^{4} x_{1}^{\prime} d^{4} x_{2}^{\prime} .
\end{array}
\]

Однако электрон и позитрон могут рождаться с разными спинами, поэтому надо просуммировать (4.9) по всем спиновым состояниям, т. е. взять след от (4.9). Обсудим этот вопрос подробнее. Вспомним, что мы сопоставляли

Если бы в диаграмме

в промежутке частицы были бы реальными, то для амплитуды мы написали бы
\[
\begin{aligned}
A & \sim \sum_{\lambda_{1} \lambda_{2}} \bar{u}^{\lambda_{1}}\left(p_{1}\right) \gamma_{\mu} v^{\lambda_{2}}\left(p_{2}\right) \bar{v}^{\lambda_{2}}\left(p_{2}\right) \gamma_{
u} u^{\lambda_{1}}\left(p_{1}\right)= \\
& =-\sum_{\lambda_{1} \lambda_{2}} \bar{u}^{\lambda_{1}}\left(p_{1}\right) \gamma_{\mu} u^{\lambda_{2}}\left(-p_{2}\right) \bar{u}^{\lambda_{2}}\left(-p_{2}\right) \gamma_{
u} u^{\lambda_{1}}\left(p_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Знак \”-\” появился, так как $\bar{v}(p)=-\bar{u}(-p)$. $\mathrm{K}$ следу выражение (4.10) сводится при помощи равенства:
\[
\sum_{\lambda} u_{\alpha}^{\lambda}(p) \bar{u}_{\beta}^{\lambda}(p)=(\hat{p}+m)_{\alpha \beta} .
\]

Таким образом, для того чтобы (4.9) для реальных частиц переходила в (4.10), мы должны след взять со знаком \”-\”. Аналогично, для произвольной диаграммы на каждую электрон-позитронную пару должен входить множитель -1 .
В импульсном представлении
Единственным усложнением по сравнению с правилами Фейнмана для петель, сделанных из скалярных частиц, является знак \”-\” на каждую электрон-позитронную пару и $\mathrm{Sp}$ по спинорным значкам.

Реально фотон не может распасться на две частицы, т. е. процесс

является виртуальным. Это отражается в том, что функция Грина (4.11) содержит $k^{2}
eq 0, p_{0}
eq \sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}}$. На языке нерелятивистской квантовой механики можно сказать так: на короткое время (определяемое соотношением неопределенностей) фотон распадается на электрон и позитрон с нарушением закона сохранения энергии.

Поправки высокого порядка в фейнмановских диаграммах включают в себя более сложные виртуальные процессы. Частицы в этих процессах не находятся на массовой поверхности. Это следует сравнить с обычной квантовомеханической теорией возмущений, в которой в промежуточных состояниях нарушается закон сохранения энергии. Метод Фейнмана, в принципе, эквивалентен теории возмущений в квантовой механике, однако, он гораздо удобнее, поскольку этот метод сохраняет явную релятивистскую инвариантность в процессе вычислений.

Прежде чем перейти к обсуждению реальных процессов, рассмотрим более подробно функции Грина свободных частиц. (Будем в дальнейшем массу частицы обозначать $m_{0}$ вместо $m$.)

Итак, функцию Грина свободной заряженной частицы с массой $m_{0}$ можно записать в виде суммы членов, отвечающих всевозможным процессам с испусканием и поглощением всевозможного числа фотонов, т. е.

Среди всех таких диаграмм есть в некотором смысле исключительные, а именно, такие, которые соответствуют периодическому повторению флуктуаций, происходящих с частицей, т. е. диаграммы типа

Такие флуктуации не связаны, так как могут быть разделены большими промежутками времени, и фактически новой информации о движении частицы не дают.
Флуктуации же типа связаны и разделены очень малым промежутком времени. Поэтому, чтобы выделить флуктуации, которые связаны и происходят в течение короткого промежутка времени, вводят понятие собственной энергии частицы, которая является суммой всех диаграмм, не содержащих повторений (т. е. которые не могут быть разделены на две части, соединенные одной линией).

В $\Sigma(p)$ содержатся все флуктуации за короткий промежуток времени. Все остальные флуктуации получаются просто повторением, т. е. полную функцию Грина можно записать так:

Выделив $\Sigma(p)$ в блок, мы теперь легко можем просуммировать всю совокупность диаграмм. Имеем
\[
\begin{array}{r}
G(p)=\frac{1}{m_{0}-\hat{p}}+\frac{1}{m_{0}-\hat{p}}[-\Sigma(p)] \frac{1}{m_{0}-\hat{p}}+ \\
+\frac{1}{m_{0}-\hat{p}}[-\Sigma(p)] \frac{1}{m_{0}-\hat{p}}[-\Sigma(p)] \frac{1}{m_{0}-\hat{p}}+\ldots \\
=\frac{1}{m_{0}-\hat{p}}\left[1+[-\Sigma(p)] \frac{1}{m_{0}-\hat{p}}+\left([-\Sigma(p)] \frac{1}{m_{0}-\hat{p}}\right)^{2}+\ldots\right] .
\end{array}
\]

Таким образом, сумма свелась к геометрической прогрессии. Суммируя ее, получим
\[
G(p)=\frac{1}{m_{0}-\hat{p}} \frac{1}{1+\Sigma(p) \frac{1}{m_{0}-\hat{p}}}=\frac{1}{m_{0}-\hat{p}+\Sigma(p)} .
\]

В нулевом приближении
\[
G_{0}(p)=\frac{1}{m_{0}-\hat{p}}=\frac{m_{0}+\hat{p}}{m_{0}^{2}-p^{2}} .
\]

Здесь $m_{0}$ имеет смысл массы частицы, поскольку $G_{0}(p)$ в точке $p^{2}=m_{0}^{2}$ имеет полюс. Это вытекает из следующих рассуждений: функция распространения частицы из $x_{1}$ в $x_{2}$ есть
\[
G\left(x_{12}\right)=\int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} e^{i p x_{12}} \frac{m_{0}+\hat{p}}{m_{0}^{2}-p^{2}},
\]

где $x_{12}=x_{2}-x_{1}$. Взяв интеграл по вычетам, мы получим
\[
G \simeq \int d^{3} p e^{-i p_{0} t_{12}+i \mathbf{p r}_{12}},
\]

где $p_{0}=\sqrt{m_{0}^{2}+\mathbf{p}^{2}}$. А это и означает, что распространяется частица с массой $m_{0}$; более того, при $t_{2} \rightarrow \infty$ вклад в интеграл дает только полюсной член и, если бы не было полюса, из-за частых осцилляций экспоненты он обратился бы в нуль, т. е. мы не наблюдали бы никакой частицы. Именно наличие полюса делает интеграл отличным от нуля и обеспечивает правильную связь между энергией и импульсом частицы. Так что физически наблюдаемая масса определяется из условия
\[
\left.G(p)\right|_{p^{2}=m^{2}}=\infty .
\]

Взглянув же на (4.13), видим, что точная функция Грина не обязательно имеет полюс при $p^{2}=m_{0}^{2}$, т. е. $m_{0}$ не имеет непосредственного отношения к массе. А реальная масса частицы определяется еще и ее собственной энергией. И если мы хотим, чтобы свободная частица с некоторой массой $m$ существовала (т. е. мы могли бы ее наблюдать), то мы должны наложить некоторые условия на $\Sigma(p)$.

Поскольку $\Sigma(\hat{p})$ зависит только от $\gamma$ матриц только через $\hat{p}$, она коммутирует с $\hat{p}$. Пусть $u_{m}(p)$ – биспинор, описывающий свободную частицу с массой $m$ ( $\hat{p} u_{m}(p)=m u_{m}(p)$ ). Уравнение 4.14 для определения физической массы эквивалентно
\[
G^{-1}(p) u_{m}(p)=\left(m_{0}-\hat{p}+\Sigma(\hat{p})\right) u_{m}(p)=0,
\]

которое эквивалентно
\[
m_{0}-m+\Sigma(m)=0 .
\]

Это уравнение должно иметь вещественные решения, которые и будут иметь смысл реально наблюдаемой массы частицы. А поскольку $m_{0}$

ненаблюдаема, хорошо бы ее исключить из всех выражений, заменив на некоторую комбинацию из $m$. Это сделать совсем просто: перепишем (4.13) в виде
\[
G^{-1}(p)=m_{0}-\hat{p}+\Sigma(p) .
\]

Выражая $m_{0}$ из (4.15), получим
\[
G^{-1}(p)=m-\hat{p}+\Sigma(\hat{p})-\Sigma(m) .
\]

Эта формула выражает функцию Грина электрона только через наблюдаемые величины.

Рассмотрим теперь, как устроены поправки к волновой функции заряженной частицы. Покажем, что они связаны с поправками к функции Грина.
Вспомним, как мы вычисляли амплитуды реальных процессов:
\[
A \sim \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i p\left(x_{1}-x_{1}^{\prime}\right)}}{m_{0}^{2}-p^{2}}\left(m_{0}+\hat{p}\right) .
\]

Мы замыкали контур на полюс и интегрировали по $d p_{0}$; пользуясь равенством
\[
\sum_{\lambda} u_{\alpha}^{\lambda}(p) \bar{u}_{\beta}^{\lambda}=\left(\hat{p}+m_{0}\right)_{\alpha \beta},
\]

получали
\[
-\sum_{\lambda} \int \frac{d^{3} p}{2 p_{0}(2 \pi)^{3}} e^{-i p\left(x_{1}-x_{1}^{\prime}\right)} \bar{u}^{\lambda}(p) u^{\lambda}(p),
\]

где $p_{0}=\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m_{0}^{2}}$. Далее выделили волновые функции свободных частиц:
\[
\frac{1}{\sqrt{2 p_{0}}} u^{\lambda}(p) e^{-i p x_{1}}, \quad \frac{1}{\sqrt{2 p_{0}}} e^{i p x_{1}^{\prime}} \bar{u}^{\lambda}(p),
\]

и оставшийся фактор назвали амплитудой рассеяния.
Теперь же у нас функция Грина имеет полюс в $m$. Посмотрим, что произойдет с вычетом, который, как мы только что объяснили, входит в амплитуду рассеяния. Для этой цели разложим $\Sigma(p)$ в ряд вблизи $m$ :
\[
\Sigma(p)=\Sigma(m)+(\hat{p}-m) \Sigma^{\prime}(m)+(\hat{p}-m)^{2} \tilde{\Sigma}(p) .
\]

Последний член в этом выражении содержит степени $\hat{p}-m$ выше первой. Перепишем его в виде
\[
(\hat{p}-m)^{2} \tilde{\Sigma}(p) \equiv\left[1-\Sigma^{\prime}(m)\right] \Sigma_{c}(p),
\]

вводя новую величину $\Sigma_{c}(p)$. Она выражается через собственную энергию согласно
\[
\Sigma_{c}(\hat{p})=\frac{\Sigma(\hat{p})-\Sigma(m)-(\hat{p}-m) \Sigma^{\prime}(\hat{p})}{1-\Sigma^{\prime}(m)} .
\]

Функция Грина может быть представлена через $\Sigma_{c}(p)$ следующим образом:
\[
G^{-1}(p)=\left[1-\Sigma^{\prime}(m)\right]\left(m-\hat{p}-\Sigma_{c}(p)\right) \equiv\left[1-\Sigma^{\prime}(m)\right] G_{c}^{-1}(p),
\]

где
\[
G_{c}(p)=\frac{1}{m-\hat{p}-\Sigma_{c}(\hat{p})}
\]

называется перенормированной функцией Грина. Поскольку вблизи полюса $\Sigma_{c}(\hat{p})$ имеет лишь члены высокого порядка по $\hat{p}-m$, видно, что перенормированная функция Грина устроена вблизи полюса так же, как функция Грина свободной частицы с массой $m$.

Вернемся к вычислению амплитуды. Величина $\tilde{\Sigma}_{c}(p)$ не дает вклада в полюс, поэтому при вычислении амплитуды (т. е. при $x_{1} \rightarrow \infty$ ) ею можно пренебречь. В результате имеем
\[
\begin{array}{l}
A \sim \int \frac{d^{4} p}{(2 \pi)^{4} i} \frac{e^{-i p\left(x_{1}-x_{1}^{\prime}\right)}}{(m-\hat{p})\left[1-\Sigma^{\prime}(m)\right]}= \\
\quad t_{1} \rightarrow \infty \\
=\sum_{\lambda} \int \frac{d^{3} p}{2 p_{0}(2 \pi)^{3}} u_{m}^{\lambda}(p) e^{-i p x_{1}} \bar{u}_{m}^{\lambda}(p) e^{i p x_{1}^{\prime}} \frac{1}{1-\Sigma^{\prime}(m)} .
\end{array}
\]

Раньше у нас была нормировка $\bar{u} u=2 m$, а сейчас появились спиноры
\[
u^{\prime}=Z_{2}^{\frac{1}{2}} u, \quad \bar{u}^{\prime}=Z_{2}^{\frac{1}{2}} \bar{u},
\]

где
\[
Z_{2}=\frac{1}{1-\Sigma^{\prime}(m)} .
\]

То есть возникла перенормировка волновых функций электрона. Физически это отражает тот факт, что в настоящем случае система состоит не из одного электрона, а содержит еще и фотоны, а также пары, т. е. картинка такая:

И волновая функция всей системы имеет вид:
\[
\Psi_{\text {физ }}=\Psi_{e}+\Psi_{e \gamma}+\Psi_{e 2 \gamma}+\Psi_{e 3 \gamma}+\ldots+\Psi_{e^{+} e^{-} e^{-}}+\ldots
\]

Так что если общая нормировка функций выбрана единичной, то норма $\Psi_{e}$ уже не равна единице, а представляет собой \”долю\” одноэлектронного состояния в возникающем многочастичном состоянии. Однако на наблюдаемых величинах нормировка волновых функций сказываться не должна. В нашем случае такой величиной является сечение, в него входит поток начальных частиц и фазовый объем конечных. В них мы обязаны включить возникающий нормировочный множитель.

В дальнейшем мы будем поступать так: один корень $\sqrt{Z_{2}}$ отнесем к потоку или фазовому объему и будем их вычислять как обычно, другой корень $\sqrt{Z_{2}}$ отнесем к амплитуде, а волновые функции нормируем как прежде. То есть на каждый вход (или выход) свободной электронной линии припишем множитель $\sqrt{Z_{2}}$ :

Итак, в результате суммирования диаграмм возникла перенормировка массы электрона и амплитуды.