Во-первых, квантовая электродинамика релятивистски инвариантна. Мы ее строили так с самого начала. Существуют еще дискретные преобразования, не сводящиеся к преобразованиям Лоренца, относительно которых она инвариантна.
1. $P$-инвариантность относительно инверсии пространственных координат, т. е. замены $\mathbf{x}^{\prime}=-\mathbf{x}$.
2. $T$-инвариантность относительно инверсии времени, т. е. замены $t^{\prime}=-t$.
3. $С$-инвариантность относительно операции зарядового сопряжения, т. е. замены всех частиц на античастицы.

Итак, начнем с пространственной инверсии.
3.1.1 $P$-четность

При отражении координат $P$ импульс электрона $p_{\mu}$ меняется следующим образом:
\[
\left(p_{0}, \mathbf{p}\right) \xrightarrow{P}\left(p_{0}^{\prime}, \mathbf{p}^{\prime}\right)=\left(p_{0},-\mathbf{p}\right),
\]

поскольку $\mathrm{p}$ – вектор в трехмерном пространстве. Нулевая компонента $p_{0}$ при преобразованиях координат не изменится, т. к. энергия $p_{0}$ зависит от $v^{2}$.

Кроме импульса, электрон еще характеризуется спином $\zeta_{\mu} ; p_{\mu} \zeta_{\mu}=0$, $\zeta^{2}=-1$. Как будет преобразовываться спин электрона при $P$-инверсии? В системе покоя $\zeta_{\mu}$ имеет вид:
\[
\zeta_{\mu}=(0, \zeta),
\]

т. е. чисто пространственный вектор. В движущейся системе
\[
\begin{aligned}
\zeta_{0}^{\prime} & =\frac{\mathrm{p} \boldsymbol{\zeta}}{m}, \\
\boldsymbol{\zeta}^{\prime} & =\boldsymbol{\zeta}+\frac{\mathbf{p}(\mathrm{p} \boldsymbol{\zeta})}{m\left(p_{0}+m\right)} .
\end{aligned}
\]

Исходя из аналогии $\boldsymbol{\zeta}$ с классическим моментом $\mathbf{L}=[\mathbf{r} \times \mathbf{p}]$, можно сказать, что при $P$-преобразовании $\zeta$ знака не меняет (псевдовектор). Из (3.1) видно, что $\zeta_{0}$ изменит знак в силу изменении знака скорости, т. e.
\[
\zeta_{\mu}=\left(\zeta_{0}, \zeta\right) \xrightarrow{P} \zeta_{\mu}^{\prime}=\left(-\zeta_{0}, \zeta\right) .
\]

Сравним амплитуды одного и того же процесса до и после пространственной инверсии. Рассмотрим для примера диаграмму:
Рис. 16
При инверсии координат она перейдет в
Рис. 17

Симметрия относительно $\mathrm{x} \rightarrow-\mathbf{x}$ означает равенство амплитуд этих процессов. Выясним, так ли это?

В диаграмме (рис. 16) имеется множитель (от верхней линии)
\[
\bar{u}\left(p_{3}, \zeta_{3}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{1}, \zeta_{1}\right)
\]

соответственно, в (рис. 17)
\[
\bar{u}\left(p_{3}^{\prime}, \zeta_{3}^{\prime}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{1}^{\prime}, \zeta_{1}^{\prime}\right) .
\]

Выясним, чем они отличаются. Спиноры $u(p, \zeta)$ однозначно определяются уравнениями
\[
\begin{aligned}
(\hat{p}-m) u(p, \zeta) & =0 \\
\left(\gamma_{5} \hat{\zeta}-1\right) u(p, \zeta) & =0,
\end{aligned}
\]

а для $u\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)$ имеем:
\[
\begin{aligned}
\left(\hat{p^{\prime}}-m\right) u\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right) & =0, \\
\left(\gamma_{5} \hat{\zeta}^{\prime}-1\right) u\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Первые уравнения (3.2) и (3.3) отличаются знаком перед $\mathbf{p}$ : в $(3.2)$
\[
p_{0} \gamma_{0}-\mathrm{p} \gamma
\]

в $(3.3)$
\[
p_{0} \gamma_{0}+\mathrm{p} \gamma .
\]
$\mathrm{У}_{\text {множая (3.3) слева на }}^{0}$, пользуясь тем, что $\gamma_{0} \gamma=-\gamma \gamma_{0}$, получим
\[
(\hat{p}-m) \gamma_{0} u\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)=0 .
\]

Теперь сравним вторые уравнения (3.2) и (3.3): B (3.2)
\[
\gamma_{5}\left(\zeta_{0} \gamma_{0}-\zeta \gamma\right)
\]

в $(3.3)$
\[
\gamma_{5}\left(-\zeta_{0} \gamma_{0}-\zeta \gamma\right)
\]

При умножении на $\gamma_{0}$ получим уравнение, совпадающее с (3.2),
\[
\left(\gamma_{5}\left(\zeta_{0} \gamma_{0}-\zeta \gamma\right)-1\right) \gamma_{0} u\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)=0 .
\]

Из сравнения (3.4), (3.5) с (3.2) видим, что
\[
u\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)=\eta \gamma_{0} u(p, \zeta), \quad|\eta|=1 .
\]

Аналогично для дираковски сопряженных спиноров можно получить
\[
\bar{u}\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)=\eta^{*} \bar{u}(p, \zeta) \gamma_{0} .
\]

Таким образом,
\[
\bar{u}\left(p_{3}^{\prime}, \zeta_{3}^{\prime}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{1}^{\prime}, \zeta_{1}^{\prime}\right)=\Gamma_{\mu}^{\prime}=\bar{u}\left(p_{3}, \zeta_{3}\right) \gamma_{0} \gamma_{\mu} \gamma_{0} u\left(p_{1}, \zeta_{1}\right),
\]
T. e.
\[
\Gamma_{0}^{\prime}=\Gamma_{0}, \quad \Gamma_{i}^{\prime}=-\Gamma_{i} .
\]

Итак, вершина при пространственной инверсии меняется, но поскольку в нашем случае две вершины, то амплитуда остается неизменной. Это относится ко всем процессам с фотонами в промежуточном состоянии.

Если же мы рассматриваем процессы с испусканием или поглощением реальных фотонов, то вершина всегда умножается на вектор поляризации $e_{\mu}^{\lambda}$ фотона и тогда
\[
\Gamma_{\mu}^{\prime} e_{\mu}^{\prime \lambda}=\Gamma_{\mu} e_{\mu}^{\lambda},
\]

поскольку $e_{\mu}^{\lambda}$ – пространственноподобный вектор и его пространственные компоненты меняют знак:

Таким ооразом, из приведенных рассуждении вытекает, что и вся электродинамика $P$-инвариантна, поскольку она строится из взаимодействия в виде
Допустим, что взаимодействие у нас имело бы вид не $\bar{u} \gamma_{\mu} u$, а
\[
\bar{u} \gamma_{\mu}\left(1-\gamma_{5}\right) u .
\]

Тогда, аналогично (3.8), мы бы получили
\[
\gamma_{0} \gamma_{\mu}\left(1-\gamma_{5}\right) \gamma_{0}=\gamma_{0} \gamma_{\mu} \gamma_{0}\left(1+\gamma_{5}\right),
\]
т. е. такое взаимодействие не сохраняет $P$-четность, и сразу выясняется, в какой системе – правой или левой – мы работаем.

В сущности же, такое взаимодействие означало бы, что и сам объект, им описываемый, несимметричен относительно отражения. Слабое взаимодействие, не сохраняющее $P$-четность, имеет как раз вид (3.10).

3.1.2 T-инвариантность

Процесс рассеяния в классической механике

при инверсии времени $t^{\prime}=-t$ переходит в

причем $\mathbf{v}_{1}^{\prime}=-\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}^{\prime}=-\mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}^{\prime}=-\mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{4}^{\prime}=-\mathbf{v}_{4}$ (скорость частиц меняет знак при обращении времени).
Одинаковы ли эти процессы?
Снова начнем с рассеяния электронов.

Очевидно, при обращении времени $p^{\prime}=\left(p_{0},-\mathbf{p}\right)$. А что произойдет со спином? Снова исходим из классической аналогии с $\mathbf{L}=[\mathbf{r} \times \mathbf{p}]$. Поскольку импульс меняет знак, следовательно, и момент тоже, т. е.
\[
\zeta^{\prime}=\left(\zeta_{0},-\zeta\right) .
\]

Снова рассмотрим одну из вершин в каждой диаграмме:
\[
\begin{array}{l}
\bar{u}\left(p_{1}^{\prime}, \zeta_{1}^{\prime}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{3}^{\prime}, \zeta_{3}^{\prime}\right), \\
\bar{u}\left(p_{3}, \zeta_{3}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{1}, \zeta_{1}\right) .
\end{array}
\]

Вершины (3.12), (3.13) отличаются не только импульсами, но и порядком следования спиноров. Перепишем (3.12) в виде
\[
\bar{u}\left(p_{1}^{\prime}, \zeta_{1}^{\prime}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{3}^{\prime}, \zeta_{3}^{\prime}\right)=u^{\top}\left(p_{3}^{\prime}, \zeta_{3}^{\prime}\right) \gamma_{\mu}^{\top} \bar{u}^{\top}\left(p_{1}^{\prime}, \zeta_{1}^{\prime}\right) .
\]

Видим, что устанавливать связь нужно между
\[
u^{\top}\left(p_{3}^{\prime}, \zeta_{3}^{\prime}\right) \text { и } \bar{u}\left(p_{3}, \zeta_{3}\right), \quad \bar{u}\left(p_{1}, \zeta_{1}\right) \text { и } \bar{u}^{\top}\left(p_{1}^{\prime}, \zeta_{1}^{\prime}\right),
\]
т. е. в эту связь должно войти комплексное сопряжение. Выпишем уравнения для транспонированных спиноров. Из уравнений
\[
\begin{array}{l}
\left(\hat{p}^{\prime}-m\right) u\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)=0, \\
\left(\gamma_{5} \hat{\zeta}^{\prime}-1\right) u\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)=0
\end{array}
\]

следует
\[
\begin{aligned}
u^{\top}\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)\left(\hat{p}^{\prime \top}-m\right) & =0, \\
u^{\top}\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)\left(\hat{\zeta}^{\prime \top} \gamma_{5}^{\top}-1\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Для дираковски сопряженных спиноров имеем
\[
\begin{aligned}
\bar{u}(p, \zeta)(\hat{p}-m) & =0, \\
\bar{u}(p, \zeta)\left(\gamma_{5} \hat{\zeta}-1\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Первые уравнения (3.16) и (3.15), соответственно, содержат
\[
\begin{array}{c}
p_{0} \gamma_{0}-\mathrm{p} \gamma \\
p_{0} \gamma_{0}^{\top}+\mathrm{p} \gamma^{\top} .
\end{array}
\]

Поскольку $\gamma_{0}=\gamma_{0}^{\top}, \gamma_{1}^{\top}=-\gamma_{1}, \gamma_{3}^{\top}=-\gamma_{3}$ и $\gamma_{2}=\gamma_{2}^{\top}$, то нужно изменить знак перед $\gamma_{2}$ в (3.15). Это можно сделать, умножив данное уравнение справа на $i \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}$ ( $i$ введено, чтобы $\left(i \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}\right)^{2}=1$, поскольку двукратное отражение времени ничего не должно изменить). Действительно,
\[
\begin{array}{l}
\left(p_{0} \gamma_{0}-p_{1} \gamma_{1}+p_{2} \gamma_{2}-p_{3} \gamma_{3}\right) \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}= \\
=\gamma_{0}\left(p_{0} \gamma_{0}+p_{1} \gamma_{1}-p_{2} \gamma_{2}+p_{3} \gamma_{3}\right) \gamma_{1} \gamma_{3}= \\
=\gamma_{0} \gamma_{1}\left(-p_{0} \gamma_{0}+p_{1} \gamma_{1}+p_{2} \gamma_{2}-p_{3} \gamma_{3}\right) \gamma_{3}= \\
=\gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}\left(p_{0} \gamma_{0}-p_{1} \gamma_{1}-p_{2} \gamma_{2}-p_{3} \gamma_{3}\right)
\end{array}
\]

Аналогично и для спиновых уравнений, так что спинор $u^{\top} i \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}$ удовлетворяет уравнениям (3.16), т. е.
\[
u^{\top}\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right) i \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}=\bar{u}(p, \zeta)
\]

и
\[
u^{\top}\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)=\bar{u}(p, \zeta) \gamma_{3} \gamma_{1} \gamma_{0}(-i)
\]

соответственно,
\[
\bar{u}^{\top}\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)=i \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3} u(p, \zeta)=-i \gamma_{3} \gamma_{1} \gamma_{0} u(p, \zeta)
\]

Тогда, подставляя (3.18), (3.19) в (3.14), получим
\[
\Gamma_{\mu}^{\prime}\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)=\bar{u}(p, \zeta) \gamma_{3} \gamma_{1} \gamma_{0} \gamma_{\mu}^{\top} \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3} u(p, \zeta)
\]

Отсюда видим, что
\[
\Gamma_{0}^{\prime}=\Gamma_{0}, \quad \Gamma_{i}^{\prime}=-\Gamma_{i} .
\]

Мы видим, что отражение времени меняет вершину так же как и пространственное отражение. Опять диаграммы с виртуальными фотонами не меняются, поскольку содержат четное число вершин. В диаграммах с реальными фотонами имеем
\[
\Gamma_{\mu}^{\prime} e_{\mu}^{\prime \lambda}=\Gamma_{\mu} e_{\mu}^{\lambda}
\]

поскольку е меняет знак при отражении времени, Следовательно, электродинамика $T$-инвариантна.
3.1.3 $C$-инвариантность

Инвариантна ли электродинамика относительно зарядового сопряжения, т. е. замены частиц на античастицы? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сравнить наш процесс рассеяния с таким же для античастиц с теми же импульсами, но противоположными поляризациями, поскольку мы в свое время выяснили, что переходу от частицы к античастице соответствует замена $\zeta^{\prime}=-\zeta$. Итак,
(где $p_{i}^{\prime}=p_{i} \zeta_{i}^{\prime}=-\zeta_{i}$ ). Вершина рассеяния позитронов имеет вид:
\[
\bar{v}\left(p_{1}\right) \gamma_{\mu} v\left(p_{3}\right)
\]

Имеем
\[
\begin{array}{l}
v^{\top}\left(p_{3}\right)=\bar{u}\left(p_{3}\right) C^{-1}, \\
\bar{v}^{\top}\left(p_{1}\right)=C u\left(p_{1}\right),
\end{array}
\]

тогда
\[
\begin{aligned}
\Gamma_{\mu}^{\prime}= & \bar{v}\left(p_{1}\right) \gamma_{\mu} v\left(p_{3}\right)=v^{\top}\left(p_{3}\right) \gamma_{\mu}^{\top} \bar{v}^{\top}\left(p_{1}\right)= \\
= & \bar{u}\left(p_{3}\right) C^{-1} \gamma_{\mu}^{\top} C u\left(p_{1}\right)=-\Gamma_{\mu}
\end{aligned}
\]

поскольку
\[
C^{-1} \gamma_{\mu}^{\top} C=-\gamma_{\mu}
\]

В итоге
\[
\Gamma_{\mu}^{\prime} e_{\mu}^{\prime}=-\Gamma_{\mu} e_{\mu}^{\prime} .
\]

Следовательно, чтобы все было $C$-инвариантно, нужно положить
\[
e_{\mu}^{\prime}=-e_{\mu},
\]
т. е. волновая функция фотона при зарядовом сопряжении должна менять знак. Это можно сделать, поскольку при зарядовом сопряжении волновая функция нейтральной частицы переходит в себя, вообще говоря, с точностью до фазы. Условие $C$-инвариантности и (3.25) накладывает серьезные ограничения на возможные процессы. Например, два фотона не могут превратиться в один. Такой процесс запрещен, поскольку вначале (слева) два фотона, при зарядовом сопряжении знак не должен меняться, а справа он изменяется.

Итак, мы получили законы преобразования волновых функций при преобразованиях $C, P, T$ :
\[
\begin{aligned}
P: & u\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right) & =\gamma_{0} u(p, \zeta), \\
T: & u^{\top}\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right) & =-i \bar{u}(p, \zeta) \gamma_{3} \gamma_{1} \gamma_{0}, \\
C: & v^{\top}\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right) & =-\bar{u}(p, \zeta) i \gamma_{2} \gamma_{0} .
\end{aligned}
\]

Квантовая электродинамика инвариантна относительно всех этих преобразований по отдельности.

Выше мы рассмотрели пример взаимодействия, которое нарушает $P$-четность. Посмотрим, как оно себя ведет при обращении времени:
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}\left[\gamma_{\mu}\left(1-\gamma_{5}\right)\right]^{\top} \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}=\gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}\left(1-\gamma_{5}\right)^{\top} \gamma_{\mu}^{\top} \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}= \\
=\gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3} \gamma_{\mu}^{\top}\left(1+\gamma_{5}\right) \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}=\gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3} \gamma_{\mu}^{\top} \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}\left(1-\gamma_{5}\right),
\end{array}
\]

поскольку $\gamma_{5}^{\top}=\gamma_{5}$ и антикоммутирует со всеми $\gamma_{\mu}$, т. е. слабое взаимодействие $T$-четность сохраняет. Если же мы рассмотрим взаимодействие вида
\[
\bar{u}\left(1+i \gamma_{5}\right) u,
\]

то в этом случае
\[
\gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}\left(1+i \gamma_{5}\right)^{\top} \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3}=\left(1-i \gamma_{5}\right),
\]
т. е. такое взаимодействие нарушает $T$-четность.

Вернемся к слабому взаимодействию. При зарядовом сопряжении вершина преобразуется так:
\[
\begin{aligned}
C^{-1}\left[\gamma_{\mu}\left(1-\gamma_{5}\right)\right]^{\top} C & =C^{-1}\left(\gamma_{\mu}^{\top}+\gamma_{\mu}^{\top} \gamma_{5}\right) C= \\
=-\gamma_{\mu}-\gamma_{\mu} \gamma_{5} & =-\gamma_{\mu}\left(1+\gamma_{5}\right)
\end{aligned}
\]
т. е. слабые взаимодействия также не инвариантны по отношению к зарядовому сопряжению.

Рассмотрим теперь комбинацию $C P$ (так называемая комбинированная инверсия). Взаимодействие $\gamma_{\mu}\left(1-\gamma_{5}\right)$ является $C P$-инвариантным, поскольку оба преобразования приводят к изменению знака перед $\gamma_{5}$. А это означает, что хотя слабое взаимодействие нарушает $P$ четность, тем не менее мы не можем отличить правое от левого: мы просто не знаем, с чем имеем дело – с частицей или античастицей. Нам лишь известно, что если то, что мы назвали частицей, обладает правым винтом, то античастица будет левовинтовой.
3.1.4 СРТ-теорема

Что произойдет, если мы последовательно проведем все три преобразования? Импульс преобразуется при этом следующим образом:
\[
p=\left(p_{0}, \mathbf{p}\right) \xrightarrow{P}\left(p_{0},-\mathbf{p}\right) \xrightarrow{T}\left(p_{0}, \mathbf{p}\right) \xrightarrow{C}\left(p_{0}, \mathbf{p}\right),
\]

а спин преобразуется так:
\[
\boldsymbol{\zeta}=\left(\zeta_{0}, \boldsymbol{\zeta}\right) \xrightarrow{P}\left(-\zeta_{0}, \boldsymbol{\zeta}\right) \xrightarrow{T}\left(-\zeta_{0},-\boldsymbol{\zeta}\right) \xrightarrow{C}\left(\zeta_{0}, \boldsymbol{\zeta}\right) .
\]

Для спиноров имеем
\[
\begin{array}{l}
u(p, \zeta) \xrightarrow{P} u\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)=\gamma_{0} u(p, \zeta) \xrightarrow{T} \bar{u}^{\top}\left(p^{\prime \prime} \zeta^{\prime \prime}\right)= \\
=i \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3} u\left(p^{\prime}, \zeta^{\prime}\right)=i \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3} \gamma_{0} u(p, \zeta) \xrightarrow{C} v\left(p^{\prime \prime \prime}, \zeta^{\prime \prime \prime}\right)= \\
=-C^{\top} \bar{u}^{\top}\left(p^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}\right)=-i \gamma_{0} \gamma_{2} \cdot i \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{3} \gamma_{0} u(p, \zeta)= \\
=\gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3} \gamma_{0} u(p, \zeta)=i \gamma_{5} u(p, \zeta) .
\end{array}
\]

На диаграммах эти преобразования будут выглядеть так:

То есть преобразование $C P T$ привело к тому, что по сравнению с исходной диаграммой все импульсы и поляризации поменяли знаки. Инвариантность по отношению к $C P T$ означает, что амплитуда процесса
\[
p_{1}, \zeta_{1} ; p_{2}, \zeta_{2} \longrightarrow p_{3}, \zeta_{3} ; p_{4}, \zeta_{4}
\]

для частиц совпадает с амплитудой процесса
\[
p_{3}, \zeta_{3} ; p_{4}, \zeta_{4} \longrightarrow p_{1}, \zeta_{1} ; p_{2}, \zeta_{2}
\]

для античастиц.
Квантовая электродинамика, очевидно, инвариантна относительно $C P T$, поскольку есть инвариантность относительно каждого из этих преобразований в отдельности. Можно убедиться в этом и непосредственно, пользуясь полученным преобразованием спиноров.
\[
\Gamma_{\mu}^{\prime}=\bar{v}\left(p_{1}\right) \gamma_{\mu} v\left(p_{3}\right)=\bar{u}\left(p_{1}\right) \gamma_{5} \gamma_{\mu} \gamma_{5} u\left(p_{3}\right)=-\bar{u}\left(p_{1}\right) \gamma_{\mu} u\left(p_{3}\right)
\]

но с другой стороны,
\[
e_{\mu}=\left(e_{0}, \mathbf{e}\right) \xrightarrow{P}\left(e_{0},-\mathbf{e}\right) \xrightarrow{T}\left(e_{0}, \mathbf{e}\right) \xrightarrow{C}-e_{\mu},
\]
T. e.
\[
\Gamma_{\mu}^{\prime} e_{\mu}^{\prime}=\Gamma_{\mu} e_{\mu} .
\]

А можем ли мы придумать такое взаимодействие, которое бы нарушало $C P T$-четность, но в то же время являлось бы релятивистскиинвариантным? Очевидно нет, так как замену знаков у 4-импульсов и поляризаций можно получить комплексным преобразованием Лоренца, т. е. преобразование СPT является, при наличии аналитичности, элементом группы Лоренца.

Таким образом, СРТ является фундаментальным следствием нашей теории (следствием релятивистской инвариантности и причинности). Нарушение же $P, T, C P, P T$ и т. д. ничему не противоречит и обусловлено свойствами взаимодействующих частиц. На самом деле, ни одна из этих симметрий не выполняется строго. Смысл СPT-теоремы состоит в следующем. Частица может обладать винтом, часами, зарядом. Если мы припишем частице определенный винт, направление времени и заряд, то античастица будет обладать противоположными и винтом, и направлением времени, и зарядом, а в каком мире мы живем, мы определить не можем.

Приведем в заключение некоторое полезное соотношение, которое справедливо в случае $P T$-инвариантности. При преобразовании $P T$ импульсы
\[
\left(p_{0}, \mathbf{p}\right) \xrightarrow{P T}\left(p_{0}, \mathbf{p}\right),
\]

а спины изменяют знак:
\[
\left(\zeta_{0}, \boldsymbol{\zeta}\right) \xrightarrow{P T}\left(-\zeta_{0},-\boldsymbol{\zeta}\right) .
\]

Сохранение $P T$ означает равенство амплитуд:
\[
\begin{array}{l}
A\left(p_{1}, \zeta_{1}, p_{2}, \zeta_{2} ; p_{3}, \zeta_{3}, p_{4}, \zeta_{4}\right)= \\
=A\left(p_{3},-\zeta_{3}, p_{4},-\zeta_{4} ; p_{1},-\zeta_{1}, p_{2},-\zeta_{2}\right) .
\end{array}
\]

На языке $S$-матрицы это означает:
\[
S_{a b}=S_{\tilde{b} \tilde{a}}
\]
(волной мы отметили то, что спины перевернуты). Однако если мы от набора
\[
\begin{array}{c}
p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, \\
\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots, \zeta_{n}
\end{array}
\]

перейдем к другим переменным, также полностью характеризующим систему, в которой спины объединены в полный момент, т. е.
\[
E_{1}, E_{2}, \ldots E_{n}, \ldots J, M
\]

то от $M$ ничего не будет зависеть, поскольку это проекция полного момента на произвольную ось, и в этом случае
\[
S_{a b}=S_{b a} .
\]