8.3. Теорема отсчетов

Возникает естественный вопрос: «Можно ли восстановить функцию с ограниченной полосой по ее отсчетам при условии, что мы наблюдаем только результат дискретизации?» Фундаментальный результат, который утверждает, что это возможно, называется теоремой отсчетов. Эта теорема является настолько важной, что ниже будут даны для нее два различных, почти строгих доказательства с тем, чтобы сделать теорему более понятной.

В качестве предпосылки давайте посмотрим на соответствующий результат при полиномиальной интерполяции, поскольку интерполяция это то, что мы делаем в теореме отсчетов. Из конечного числа дискретных отсчетов попытаемся восстановить значение функции с ограниченной полосой в любой заданной точке этой функции. В случае полинома применяется формула интерполяции Лагранжа. Ее стандартное написание имеет вид

где - произведение всех разностей за исключением Теперь рассмотрим выражение Это отношение равно нулю во всех точках отсчетов за исключением в которой оно точно равно 1. Если понятно это свойство, то нетрудно увидеть, что функция

имеет значение точке и, следовательно, представляет интерполирующий полином степени который проходит через данные значения

Если использовать частотный подход вместо полиномиального, то придем к рассмотрению соответствующей функции (для единичного интервала)

которая для принимает значение, равное единице, а для всех других целых чисел равна нулю. Поэтому формальное выражение

очевидно, проходит через значения отсчетов Мы говорим «формальное», потому что не знаем, будет ли ряд сходиться в любой точке за исключением точек отсчетов.

Исходная функция, из которой были получены отсчеты предполагалась ограниченной по полосе; является ли указанная выше функция также ограниченной по полосе? Легко показать, что это так,

непосредственным интегрированием. Возьмем интервал между отсчетами равным единице, тогда особая функция с ограниченной полосой, которая равна единице в полосе от —1/2 до 1/2 и нулю — вне этой полосы, определяется выражением

Следовательно, функция в правой части этого равенства ограничена по полосе. Смещение независимой переменной на постоянную величину не изменяет частот в этой функции и можно сделать вывод (из свойства ограниченности полосы отдельных членов формальной суммы), что сама сумма ограничена по полосе. Это наше первое, скорее формальное доказательство теоремы отсчетов; из отсчетов функции, ограниченной по полосе, можно восстановить исходную функцию. Конечно, требуется уделить некоторое внимание доказательству единственности этой функции.

По аналогии со спектром мощности в ряде Фурье мы имеем величину в качестве спектра мощности в теории интегралов Фурье. Часто слово «мощность» опускается, и эту величину просто называют спектром.

Для того, чтобы получить представление, что же такое интеграл Фурье, примем вольную аналогию для в виде светового луча. Преобразователь, подобный стеклянной призме, разлагает функцию на составляющие ее частоты каждую с интенсивностью . В оптике различные частоты называются цветами; с помощью интеграла Фурье мы получаем цветной спектр поступающего сигнала. Если бы на входе была всего одна частота, то мы бы получили спектральную линию. Конечно, на практике абсолютно чистая спектральная линия не встречается, но некоторые оказываются настолько близкими к одной частоте, что разница между ними не имеет значения.

К сожалению, если функция не стремится к нулю, когда стремится к бесконечности, то в математическом смысле преобразование не существует. Это обстоятельство вызывает неудобство, например, в банальном случае

и, особенно, для Это затруднение служит явным предупреждением о том, что используемая модель нереальна в следующем смысле. Заменим для приемлемо больших Т функцию на

и произведем необходимые выкладки (включая дополнительные подробности благодаря концам интервала). Если скачки на концах мешают, можно пропустить через свертывающее окно Ланцоша и получить новую функцию которая будет непрерывной и, следовательно, будет иметь более быстро сходящийся ряд Фурье. Это значит, что за любую степень сглаженности на концах интервала нужно расплачиваться увеличением количества минипуляций при обработке функции. Теперь возможно выполнить процесс преобразования для произвольного Т. Если, полагая мы получим странные результаты, то для их объяснения необходимо учитывать следующее. Ограниченные по времени функции имеют конечную энергию. Тот факт, что их энергия становится бесконечной, когда Т станет бесконечным, указывает на идеалистическую природу модели, созданной для описания физической реальности. Чистая синусоида, продолжающаяся неограниченно долго, нереальна, а некоторая усеченная должным образом функция должна почти во всех случаях рассматриваться как практически возможная.

В оставшейся части главы просто приводятся некоторые подробности предыдущего описания в общих чертах, и в ней, как уже отмечалось, мы не стремимся быть слишком строгими. Далее будем предполагать, что функции, используемые для представления исследуемой задачи, достаточно «хорошо себя ведут», и поэтому на них могут накладываться любые специальные ограничения на класс функций, к которым применяются результаты и исключаются «патологические случаи».

Предполагается, что те читатели, у которых опыт работы с комплексными числами недостаточен, просмотрят этот раздел математики, прежде чем идти дальше, в противном случае дальнейшее рассмотрение будет для них неясным из-за неумения производить элементарные математические преобразования.