БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

1. Билинейной формой в -мерном векторном пространстве над полем скаляров К наз. ф-ция от двух векторных аргументов х и у со значениями в поле скаляров К, линейная относительно при каждом фиксированном значении у и линейная относительно у при каждом фиксированном значении х:

где . Если в базисе пространства то Примером б. ф. может служить скалярное произведение векторов х, у, которое в декартовом прямоугольном базисе имеет вид: При переходе к новому базису матрица преобразуется в матрицу где S — матрица перехода, транспонированная к S матрица. Б. симметричной, если и кососимметричной, если для любых Каждая б. ф. представима в виде суммы симметричной и кососимметричной б. ф. Это представление однозначно. Если во фиксировать у, то она становится линейным функционалом от на Линейная форма). Если при этом у рассматривать как элемент сопряженного пространства V, то с помощью б. ф. осуществляется линейное отображение пространства в пространство При этом ранг отображения совпадает с размерностью образа, определяемой рангом матрицы А, т. е. рангом б. ф. Если этот ранг равен , то б. ф. невырождена. Невырожденной б. ф. соответствует взаимно однозначное отображение на V. Б. ф., заданная в бесконечномерном пространстве, наз. билинейным функционалом.

2. Квадратичной формой ф-ция от одного векторного аргумента которая может быть получена из б. ф. А (х, у) путем замены у на Так, напр., квадрат модуля вектора можно рассматривать как скалярное произведение вектора на самого себя: в результате получается к. ф. от вектора отнесенного к декартову прямоугольному базису. В общем случае к. произвольный однородный многочлен 2-й степени от переменных:

В матричной записи:

или сокращенно:

где вектор-столбец, а знак транспонирования. К. ф. представляют и с помощью скалярного произведения вектора получен из вектора путем применения к нему оператора линейного с матрицей . Различные б. ф. могут породить одну и ту же к. ф., в частности, кососимметричные б. ф. порождают нулевую к. ф. Поэтому для перехода от б. рассматривают только симметричную часть б. ф. Эту симметричную часть наз. полярной формой относительно к. ф. Симметричную матрицу полярной формы наз. матрицей к. ф. Если она вещественна (комплексна), то и форму А (х, х) наз. вещественной (комплексной). Рангом к. ранг ее матрицы А. Если , то к. ф. наз. невырожденной. В противном случае она вырождена (или сингулярна). При изменении координатного базиса, матрица к. ф. изменяется так же, как и матрица полярной б. ф., а определитель преобразованной матрицы , где определяет матрицы перехода S. При любом невырожденном линейном преобразовании или в матричной форме переходит

в новую к. ф. В , где наз. эквивалентными (или конгруэнтными) и имеют одинаковые ранги.

Выбор базиса, в котором б. ф. и к. ф. имеют наиболее простой вид, наз. приведением их к каноническому виду. В пространстве всегда существует базис (канонический), в котором к. для каждого вектора Это и есть канонический вид к. ф. Канонический базис и канонический вид не определяются однозначно. Осн. методами приведения к. ф. к каноническому виду являются метод выделения полных квадратов Лагранжа и метод неопределенных коэфф. Якоби. Чтобы привести симметричную б. ф. к каноническому виду, нужно сначала привести к каноническому виду соответствующую ей к. ф., а затем снова перейти к билинейной (полярной) форме. Т. о., матрица симметричной б. ф. также всегда может быть приведена к диагональному виду. Если пространство вещественно, то для к. ф. выполняется т. н. закон инерции: число положительных и число отрицательных коэфф. в каноническом виде формы является ее инвариантом (не зависит от выбора канонического базиса). Общее число членов в каноническом виде формы равно ее рангу и наз. индексом инерции. Число положительных членов наз. положительным индексом, а число отрицательных членов — отрицательным индексом. Разность между числами положительных и отрицательных членов наз. сигнатурой формы. Две к. ф. эквивалентны над полем вещественных чисел тогда и только тогда, если равны их ранги и сигнатуры. К. положительно определенной, если ее положительный индекс инерции равен размерности пространства. Такая к. ф. принимает во всех точках пространства (за исключением начала координат) положительные значения. Теорема инерции к. ф. переносится на породившие их б. ф. В евклидовом пространстве метод приведения к. к каноническому виду путем ортогональных преобразований наз. отнесением ее к главным осям. Направлениям главных осей соответствуют экстремальные значения формы, которые для единичных векторов совпадают с ее каноническими коэффициентами и являются собственными значениями симметричного оператора А с матрицей Поэтому они могут быть найдены из характеристического (векового) ур-ния, которое имеет вид: где Е — единичная матрица. Корни этого ур-ния всегда действительны. Б. ф. и к. ф. используются в теории программирования линейного.

Лит.: Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М., 1966; Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М., 1969; Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.. 1970. В. П. Белоусова.