ОТ РЕДАКЦИИ

Когда Н. И. Лобачевский убедился в логической правильности созданной им геометрии, то первой его заботой было найти ее приложения. Эти приложения, в известной мере развернутые, даны уже в первом его сочинении «О началах геометрии» и заключаются в разыскании средствами «воображаемой геометрии» значений ряда определенных интегралов, которые до того не были известны. В следующих работах, главным образом в сочинениях «Воображаемая геометрия» и «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам», Лобачевский широко развил эти методы. Эти работы помещены в III томе полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского и обстоятельно комментированы А. П. Норденом, Б. Л. Лаптевым и А. Н. Хованским.

Но уже в 80-х годах истекшего столетия А. Пуанкаре указал применение геометрии Лобачевского к теории функций комплексного переменного. Самое решение основного вопроса теории тех функций, которые Пуанкаре в то время называл фуксовыми (разыскание их фундаментальных областей), было им найдено, как он сам об этом сообщает, средствами неевклидовой геометрии. Эти функции в настоящее время называют «автоморфными»; самая их теория и теперь строится на основе геометрии Лобачевского.

Когда было приступлено к изданию полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского, известный французский математик Ж. Адамар прислал в виде приложения к нему статью о применениях неевклидовой геометрии к автоморфным функциям. Статья Адамара выходит в настоящей серии следующим (VI) выпуском.

Но, с одной стороны, статья Адамара носит обзорный характер: доказательства высказываемых предложений, как

правило, не приводятся; чаще всего указываются только их идеи, иногда даже только схемы (хотя значение предложений геометрии Лобачевского для каждого рассуждения или по крайней мере факт их использования обыкновенно подчеркивается). С другой стороны, за последние годы круг применений неевклидовой геометрии к теории аналитических функций значительно расширился.

Настоящая книга Б. А. Фукса посвящена приложениям неевклидовой геометрии к теории конформных и псевдоконформных отображений. Она, таким образом, имеет самостоятельный интерес, поскольку знакомит читателя с современными приложениями геометрии Лобачевского к теории функций комплексного переменного (частью даже двух комплексных переменных); но в то же время она служит хорошим введением к статье Адамара. Обзор содержания этой книги читатель найдет в предисловии автора.