§ 11. Некоторые общие предложения

В настоящем параграфе мы хотим остановиться на некоторых общих свойствах инвариантной геометрии, имеющих место для случая произвольной (вообще говоря, многосвязной) области. Прежде всего мы докажем следующую теорему:

Теорема 18. Гауссова кривизна инвариантной геометрии (2.1) в любой обязательно односвязной) области всегда отрицательна.

Доказательство. Гауссова кривизна инвариантной геометрии (2.1) в любой области определяется формулой (2.4). Поэтому теорема 18 будет доказана, если мы установим, что всегда

Чтобы в этом убедиться, будем искать минимум величины регулярных в области функций удовлетворяющих условиям

Здесь некоторая фиксированная точка Пусть где -замкнутая ортонормированная система функций в области Тогда ограниченные по норме в области функции удовлетворяющие условиям (2.88), представятся там рядами

где

§ и. некоторые общие предложения 83

Пользуясь методом множителей Лагранжа, мы сведем поставленную вариационную задачу к определению минимума выражения

(у нас Отсюда мы получим уравнения для определения величин соответствующих функции сообщающей искомый минимум:

откуда (заменяя уравнения (2.92) им сопряженными)

Подставляя эти значения в уравнения (2.90), мы получим, что

Пользуясь уравнениями (2.93) и (2.94), мы найдем, что искомые величины

Подставляя эти значения в выражение мы найдем, что

Так как всегда то из (2.96) следует, что и

Тем самым наше утверждение доказано.

Существует много методов построения геометрии, инвариантной при конформных отображениях. Один из них (отличный от принятого в предыдущем изложении) непосредственно связан с величинами, фигурировавшими в последнем доказательстве. Только что мы видели, что величина Легко найти, используя формулу (1.54), что при конформном отображении области ни область

Отсюда вытекает, что наряду с метрикой (1.57) [или, что почти все равно, метрикой (2.1)] в области можно определить еще другую метрику, инвариантную при конформном отображении:

В случае односвязной области между метриками (1.57) и (2.1), с одной стороны, и метрикой (2.99), с другой стороны, нет существенной разницы: они отличаются друг от друга благодаря (2.5) только постоянными множителями. В случае многосвязной области О метрика (2.99) связана с метриками (1.57) и (2.1) более сложным образом через соотношение (2.4), где кривизна геометрии, определяемой метрикой (2.1). В частности, геометрия, определяемая в области с помощью метрики (2.99), не всегда обязательно имеет отрицательную кривизну. Значение метрики (2.99) состоит в том, что она и все устанавливаемые с ее помощью свойства легко обобщаются на случай отображений с помощью аналитических функций многих переменных. Метрика (1.57) не обладает таким свойством.

Мы рассмотрим эти обстоятельства в пятой главе.