Главная > Неевклидова геометрия в теории конформных и псевдоконформных отображений
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 11. Некоторые общие предложения

В настоящем параграфе мы хотим остановиться на некоторых общих свойствах инвариантной геометрии, имеющих место для случая произвольной (вообще говоря, многосвязной) области. Прежде всего мы докажем следующую теорему:

Теорема 18. Гауссова кривизна инвариантной геометрии (2.1) в любой обязательно односвязной) области всегда отрицательна.

Доказательство. Гауссова кривизна инвариантной геометрии (2.1) в любой области определяется формулой (2.4). Поэтому теорема 18 будет доказана, если мы установим, что всегда

Чтобы в этом убедиться, будем искать минимум величины регулярных в области функций удовлетворяющих условиям

Здесь некоторая фиксированная точка Пусть где -замкнутая ортонормированная система функций в области Тогда ограниченные по норме в области функции удовлетворяющие условиям (2.88), представятся там рядами

где

§ и. некоторые общие предложения 83

Пользуясь методом множителей Лагранжа, мы сведем поставленную вариационную задачу к определению минимума выражения

(у нас Отсюда мы получим уравнения для определения величин соответствующих функции сообщающей искомый минимум:

откуда (заменяя уравнения (2.92) им сопряженными)

Подставляя эти значения в уравнения (2.90), мы получим, что

Пользуясь уравнениями (2.93) и (2.94), мы найдем, что искомые величины

Подставляя эти значения в выражение мы найдем, что

Так как всегда то из (2.96) следует, что и

Тем самым наше утверждение доказано.

Существует много методов построения геометрии, инвариантной при конформных отображениях. Один из них (отличный от принятого в предыдущем изложении) непосредственно связан с величинами, фигурировавшими в последнем доказательстве. Только что мы видели, что величина Легко найти, используя формулу (1.54), что при конформном отображении области ни область

Отсюда вытекает, что наряду с метрикой (1.57) [или, что почти все равно, метрикой (2.1)] в области можно определить еще другую метрику, инвариантную при конформном отображении:

В случае односвязной области между метриками (1.57) и (2.1), с одной стороны, и метрикой (2.99), с другой стороны, нет существенной разницы: они отличаются друг от друга благодаря (2.5) только постоянными множителями. В случае многосвязной области О метрика (2.99) связана с метриками (1.57) и (2.1) более сложным образом через соотношение (2.4), где кривизна геометрии, определяемой метрикой (2.1). В частности, геометрия, определяемая в области с помощью метрики (2.99), не всегда обязательно имеет отрицательную кривизну. Значение метрики (2.99) состоит в том, что она и все устанавливаемые с ее помощью свойства легко обобщаются на случай отображений с помощью аналитических функций многих переменных. Метрика (1.57) не обладает таким свойством.

Мы рассмотрим эти обстоятельства в пятой главе.

1
Оглавление
email@scask.ru