Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 11. Некоторые общие предложенияВ настоящем параграфе мы хотим остановиться на некоторых общих свойствах инвариантной геометрии, имеющих место для случая произвольной (вообще говоря, многосвязной) области. Прежде всего мы докажем следующую теорему: Теорема 18. Гауссова кривизна инвариантной геометрии (2.1) в любой Доказательство. Гауссова кривизна инвариантной геометрии (2.1) в любой области определяется формулой (2.4). Поэтому теорема 18 будет доказана, если мы установим, что всегда
Чтобы в этом убедиться, будем искать минимум величины
Здесь
где
§ и. некоторые общие предложения 83 Пользуясь методом множителей Лагранжа, мы сведем поставленную вариационную задачу к определению минимума выражения
(у нас
откуда (заменяя уравнения (2.92) им сопряженными)
Подставляя эти значения в уравнения (2.90), мы получим, что
Пользуясь уравнениями (2.93) и (2.94), мы найдем, что искомые величины
Подставляя эти значения в выражение
Так как всегда
Тем самым наше утверждение доказано. Существует много методов построения геометрии, инвариантной при конформных отображениях. Один из них (отличный от принятого в предыдущем изложении) непосредственно связан с величинами, фигурировавшими в последнем доказательстве. Только что мы видели, что величина
Отсюда вытекает, что наряду с метрикой (1.57) [или, что почти все равно, метрикой (2.1)] в области
В случае односвязной области между метриками (1.57) и (2.1), с одной стороны, и метрикой (2.99), с другой стороны, нет существенной разницы: они отличаются друг от друга благодаря (2.5) только постоянными множителями. В случае многосвязной области О метрика (2.99) связана с метриками (1.57) и (2.1) более сложным образом через соотношение (2.4), где Мы рассмотрим эти обстоятельства в пятой главе.
|
1 |
Оглавление
|