§ 1. Введение инвариантной метрики

Рассматриваемая далее инвариантная метрика была построена и затем использована в теории псевдоконформных отображений С. Бергманом. Исходным пунктом для введения этой метрики служат замкнутые ортонормированные системы функций. Именно, желая обеспечить единство изложения, мы в главе I на таком же пути пришли к метрике, инвариантной при конформных отображениях.

Пусть ограниченная область пространства комплексных переменных некоторая функция, регулярная в этой области. Величину

мы будем, как и в случае одного переменного, называть нормой функции в области Здесь элемент объема, интеграл (5.1) в случае необходимости берется как несобственный. Мы будем далее рассматривать совокупность функций регулярных в области для которых соответствии с определением нормы мы так же, как в § 1 главы I, введем понятия нормированной функции, пары ортогональных функций и, наконец, ортонормированной системы функций. Таким образом, мы назовем систему функций ортонормированной, если

И здесь интеграл в случае необходимости берется как несобственный.

Как и в главе I, ортонормированная система функций называется замкнутой в области если для всякой функции

Здесь

— так называемые коэффициенты Фурье функции относительно ортонормированной системы

Теоремы 1—6 главы 1 дословно сохраняются в силе для нашего случая. Их доказательства тоже остаются в общем прежними, и лишь некоторые детали этих рассуждений приходится видоизменить.

Так, замкнутая ортонормированная система функций для ограниченной области строится и здесь с помощью серии вариационных задач. Однако тут дополнительные условия (1.31) заменяются другими:

где номер пары в последовательности (0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2), ...

Ядровая функция замкнутой ортонормированной системы функций

как и в случае одного переменного, целиком определяется областью (т. е. является одной и той же для всех замкнутых ортонормированных систем функций в области Функция снова оказывается равной обратной величине минимума для функций удовлетворяющих условию Здесь фиксированная точка области Функция сообщающая указанный минимум норме называется минимальной функцией области и определяется равенством

Для простейших областей пространства переменных ряд (5.6) суммируется и ядровая функция определяется в замкнутом виде. Так, в случае единичного бицилиндра — области пространства комплексных переменных определенной условиями

ядровая функция

а для четырехмерного шара

ядровая функция

Так же как и в случае одного переменного, важную роль при введении инвариантной метрики играет закон преобразования ядровой функции области при псевдоконформных отображениях. Здесь имеет место следующая теорема: Таорема При псевдоконформном отображении

области пространства переменных на область пространства переменных

Доказательство этого предложения ничем не отличается от доказательства теоремы 7 главы Мы его не будем здесь повторять.

На основании этой теоремы легко показать, что величины

преобразуются при отображениях (5.12) как составляющие некоторого эрмитова ковариантного тензора второго порядка. Действительно, дифференцируя равенство (5.13), имеем:

где

Отсюда непосредственно вытекает, что форма является инвариантом псевдоконформных отображений.

Далее можно показать, что выражение положительно для любых значений во всех точках Мы убедимся в этом, если рассмотрим минимальное значение для функций удовлетворяющих условиям

Здесь некоторая фиксированная точка области Это минимальное значение оказывается равным величине откуда очевидно следует наше утверждение.

Таким образом, положив мы определим в области риманову метрику, инвариантную при псевдоконформных отображениях. Нами доказана следующая теорема:

Теорема 2. Положительная форма

где

ядровая функция области определяет в этой области метрику, инвариантную при псевдоконформных отображениях.

Исходя из положительности формы (5.18) можно показать, что ее дискриминант является положительной величиной. Впрочем, это обстоятельство можно установить непосредственной проверкой.

Инвариантная метрика (5.18) является обобщением метрики (2.99). С другой стороны, соотношение (5.13) показывает, что в теории псевдоконформных отображений нет аналога инвариантной метрике (1.57) [или, что все равно (2.11)],