§ 10. Окружности Лобачевского

Рассмотрим совокупность 5 точек односвязной области О, находящихся на фиксированном -расстоянии от какой-нибудь точки этой области. Предположим (для упрощения вычислений), что область верхняя

полуплоскость. Тогда из (2.28) следует, что если

Легко видеть, что уравнение (2,77) определяет окружность с центром в точке

и радиусом

Из равенств (2.78) и (2.79) вытекает, что всегда поэтому окружность (2.77) лежит деликом в верхней полуплоскости (это, впрочем, очевидно и без всяких вычислений) и, следовательно, является -окружностью.

Можно показать, что и обратно — всякая -окружность состоит из точек, находящихся на одинаковом -расстоянии от некоторой точки лежащей внутри этой -окружности (мы оставляем читателю фактическую проверку указанного обстоятельства). Таким образом, получена следующая теорема: Теорема 14. Всякая -окружность является геометрическим местом точек, находящихся на некотором постоянном -расстоянии от какой-то точки лежащей внутри этой -окружности. Обратно, такое геометрическое место точек всегда Является -окружностью.

Указанную точку мы назовем центром Лобачевского, кратко -центром рассматриваемой -окружности, ее радиусом Лобачевского, кратко -радиусом.

Из формул § 8 настоящей главы и равенств (2.78) и (2.79) легко следует, что для -окружности

Здесь - кривизна Л-окружности (2.77). При величина стремится к 1 и поэтому стремится к к -кривизне орициклов. Это согласуется со следующим фактом. Рассмотрим -окружности с -центрами в точках

проходящие через точку (очевидно, что ). Пусть Тогда Соответствующие -окружности будут неограниченно приближаться к прямой являющейся орициклом инвариантной геометрии в верхней полуплоскости (рис. 25). Применяя надлежащее -движение, мы покажем, что любой орицикл является предельной линией для последовательности -окружностей с бесконечно увеличивающимися -радиусами и неограниченно приближающимися к абсолюту (в случае верхней полуплоскости — к действительной оси) -центрами (рис. 25 и 26).

Рис. 25.

Рис. 26.

Это обстоятельство дает повод называть орициклы предельными линиями.

Следующий вывод удобно сделать, рассматривая -окруж-ности в круге Там -окружность с -центром в точке -радиуса определится уравнением

Рис. 27.

Если мы надлежащим -движением переведем точку в начало координат, то -окружность (2.81) перейдет в -окружность Эта -окружность ортогональна ко всем -полупрямым, выходящим из точки -длины отрезков этих -полупрямых от точки О до пересечения с окружностью равны (рис. 27). Переходя отсюда снова к -окружности произвольного

положения, мы получим в качестве дополнения к теореме 14 следующее предложение:

Теорема -окружность ортогональна ко всем -полупрямым, выходящим из ее -центра. Отрезки этих -полупрямых от -центра до пересечения с -окружностью имеют -длину, равную ее -радиусу.

На рис. 28 изображены -окружности с -центром в некоторой точке и ортогональные к ним -полупрямые.

Теперь обратимся к вычислению -длины Л-окружности и -площади, ею ограниченной. Мы переместим (соответствующим -движением) Л-центр этой линии в точку и воспользуемся для определения ее евклидового центра и ее евклидового радиуса формулами (2.78) и (2.79).

Рис. 28.

Рис. 29.

Вследствие симметричности нашей линии относительно оси и вида формулы (2.3) (лежащей в основе предстоящих вычислений) мы можем ограничиться рассмотрением правой половины окружности (рис. 29). Зададим ее уравнениями в параметрической форме

Тогда мы найдем, что искомая -длина равна

Для получения предпоследнего выражения мы воспользовались тем, что (см. § 8 настоящей главы). Окончательный результат вытекает отсюда с помощью формулы (2.80).

Вычисление -площади, ограниченной -окружностью, ведется на основании формулы (2.46). Произведя замену (2.82) (где на место следует поставить переменное изменяющееся от до мы после некоторых вычислений найдем для искомой -площади величину

Итак, нами доказана следующая теорема:

Теорема 16. -длина -окружности вычисляется по формуле (2.83). Ограниченная ею -площадь вычисляется по формуле (2.84).

В заключение настоящего параграфа отметим еще одно интересное предложение, определяющее роль -окружностей в теории потенциала.

Теорема 17. Линиями уровня функции (функции Грина) односвязной области являются -окружности с -центром в точке

Доказательство этого предложения достаточно провести для какой-нибудь одной односвязной области. Мы рассмотрим круг Как известно, функция Грина односвязной области связана с функцией конформно отображающей область на круг и переводящей точку в начало координат, соотношением

В нашем случае мы должны рассмотреть функцию, отображающую круг на себя и переводящую точку

в точку Последняя определяется равенством

Отсюда и из формул (2.85) и (2.81) немедленно следует наше утверждение.