§ 5. Вершины приведенной области

Мы рассмотрим сейчас вершины 1-го рода -многоуголь-ников (иначе — вершины 1-й категории). Прежде всего следует отметить, что к числу этих вершин принадлежат все неподвижные точки -вращений, входящих в состав подгруппы Действительно, в любой окрестности неподвижной точки а -вращения имеются пары гомологичных точек. Поэтому такая точка не может лежать внутри какого-либо многоугольника Она не может быть и внутренней точкой какой-либо стороны этого -многоугольника. Если для Л-по-ворота то все точки (их число в этом случае заведомо больше двух) находятся на одинаковом -расстоянии от точки а, которая поэтому оказывается вершиной если то точка а (как мы условились выше) тоже рассматривается как вершина -многоугольника Положение остальных вершин -многоугольников зависит от выбора точки Благодаря этому последние вершины называются случайными в отличие от первых, которые называются эллиптическими, иногда — необходимыми.

Пусть а — некоторая случайная вершина 1-го рода -много-угольника Рассмотрим все другие вершины этого -многоугольника, гомологичные вершине а относительно подгруппы Пусть одна из таких вершин, -движение, переводящее вершину в вершину а. Тогда -движение А переводит -многоугольник в другой -многоугольник имеющий точку а своей вершиной. Рассмотрим все -много-угольники имеющие точку а своей вершиной. Заметим, что число их обязательно конечно, так как конечно количество точек лежащих на одной -окружности с -центром в точке Обозначим эти -многоугольники символами в том порядке, как они встречаются при обходе точки а в направлении, противоположном направлению вращения часовой стрелки. Пусть есть -движение, переводящее -многоугольник где в -многоугольник Это -движение переводит вершину а в другую вершину -многоугольника которую мы назовем а. Вершины а очевидно, гомологичны вершине а

относительно подгруппы Таким образом, нами установлено соответствие между вершинами -многоугольника гомологичными вершине -многоугольниками имеющими точку а своей вершиной. В нашем случае благодаря тому, что а — случайная вершина, это соответствие взаимно однозначно (проверка этого факта предоставляется читателю). Отсюда следует, что число вершин равно что все они различны между собой и отличаются от вершины а. Далее, так как -движения сохраняют углы, то сумма внутренних углов -многоугольника при гомологичных случайных вершинах оказывается равной

Легко установить связь между -движениями и производящими -движейиями подгруппы Так как -много-угольник граничит с -многоугольником то одно из производящих -движений подгруппы Оно переводит вершину в вершину -движение (оно тоже производящее) переводит вершину а в вершину Затем мы составим -движение Это — производящее Л-движение, так как оно переводит -многоугольник соседний с ним -многоугольник Под его воздействием вершина переходит в вершину Действуя таким образом далее, мы найдем, что вообще для любого -движе-ние является производящим и переводит вершину Наконец, мы возьмем -движение Это — производящее -движение, переводящее вершину в исходную вершину а. Таким образом, мы построили серию производящих -движений, последовательно переводящих вершину а в затем вершину в вершину и, наконец, вершину в вершину а.

Указанные обстоятельства служат поводом для следующего определения:

Определение 4. Совокупность вершин -многоуголь-ника гомологичных случайной вершине 1-го рода а этого -многоугольника, называется простым циклом.

Наши предыдущие рассуждения позволяют нам высказать следующую теорему:

Теорема 8. Число случайных вершин 1-го рода -многоугольника составляющих простой цикл, всегда

конечно. Сумма внутренних углов -многоугольника при его случайных вершинах, составляющих простой циклу равна

Сюда еще можно добавить, что из сказанного вытекает наличие соотношения

между производящими -движениями Здесь «1» означает тождественное преобразование.

Теперь обратимся к рассмотрению эллиптических вершин. Сначала мы рассмотрим случай, когда у эллиптической вершины -многоугольника нет гомологов среди других вершин этого -многоугольника. Тогда единственными -движениями подгруппы преобразующими точку а снова в вершину -многоугольника будут -вращения, имеющие а своей неподвижной точкой. Легко видеть, что, поскольку эти -вращения входят в состав собственно разрывной подгруппы группы -движений, они должны являться степенями некоторого -поворота вида

где некоторое целое число, большее единицы.

Во всех других случаях, если в состав подгруппы входят -вращения (3.31) с целое число, большее единицы), она должна содержать бесконечное множество -движений (3.31); среди них должны иметься как угодно близкие друг другу. Тогда подгруппа неизбежно должна была бы содержать бесконечно малые -движения, что противоречит нашим предположениям. Очевидно, что в этом случае -повороты поворачивают -многоугольник на углы, кратные вокруг точки а, совмещая его с одним из -многоугольников имеющих точку а своей вершиной. Углы всех этих -многоугольников при вершине а равны -движение удовлетворяет соотношению

Теперь рассмотрим общий случай. Пусть а — неподвижная точка -вращения (3.31) с целое число, большее единицы), входящего в состав подгруппы Сверх того предполагается, что -многоугольник имеет еще вершин гомологичных вершине а. Если -движение, переводящее вершину в вершину а, то оно переведет -многоугольник в другой -многоугольник тоже имеющий точку а своей вершиной. Очевидно, что тогда все -движения

тоже будут переводить вершину в а, совмещая -многоугольник -многоугольником имеющим точку а своей вершиной. Все эти -многоугольники будут иметь при вершине а внутренний угол, равный внутреннему углу -многоугольника при вершине а Сумма углов -многоугольников при вершине а, таким образом, оказывается равной Рассуждая таким же образом для всех вершин и обозначая еще угол -многоугольника при вершине а через мы найдем, что

или

Мы будем говорить, что вершины образуют эллиптический цикл порядка Каждая из этих вершин является неподвижной точкой -поворота с параметром принадлежащего к подгруппе в каждой из этих вершин сходятся две сопряженные стороны -много-угольника сторон -многоугольников (считая и -многоугольник

Нами доказана следующая теорема:

Теорема 9. Число эллиптических вершин 1-го рода -многоугольника составляющих эллиптический цикл любого порядка всегда конечно. Сумма внутренних углов -многоугольника при этих вершинах равна

Кроме вершин 1-го рода (1-й категории) -многоуголь-ник может иметь вершины 2-го рода, лежащие на абсолюте. Здесь надо различать две возможности. В первом случае в точке абсолюта сходятся две стороны 1-го рода; они составляют здесь угол, равный нулю, касаются друг друга (иначе говоря, стороны 1-го рода, встречающиеся в этой вершине, -параллельны). Подобная вершина называется вершиной 2-й категории. Во втором случае в точке абсолюта встречаются сторона -многоугольника -го рода (отрезок -прямой) и сторона этого -многоугольника 2-го рода (отрезок абсолюта). Они всегда взаимно перпендикулярны. Подобная вершина называется вершиной 3-й категории.

Мы не будем рассматривать здесь свойства этих вершин. Некоторые сведения о них читатель может найти в книге Адамара [8]. Систематическое изложение относящихся сюда фактов следует искать в специальных руководствах.

Теоремы 7, 8 и 9 устанавливают ряд свойств -многоугольника являющегося приведенной областью собственно разрывной подгруппы группы -движений. Является ли наличие этих свойств у некоторого -многоугольника достаточным для того, чтобы он был приведенной областью некоторой собственно разрывной подгруппы группы -движений?

Оказывается, что на поставленный вопрос следует дать положительный ответ. Это обстоятельство играет важную роль во всей теории, так как открывает геометрический способ образования собственно разрывных подгрупп группы -движений (с помощью производящих -движений, связанных с соответствующими -многоугольниками).