§ 3. Группа движений инвариантной геометрии

Группа движений инвариантной геометрии может быть в общем случае изучена средствами, использованными нами для определения группы -движений (см. § 3 главы II). Мы будем искать бесконечно малые преобразования

для которых

и группы Ли, ими определяемые. Здесь функции, аналитические в области Подобные группы мы и будем называть группами движения инвариантной геометрии (5.18).

Исходя из (5.28), пользуясь тем, что мы (приравнивая нулю коэффициент при найдем, что функции должны удовлетворять дифференциальным уравнениям

Заменяя здесь величины из равенств (5.19), мы после некоторых преобразований перейдем от уравнений (5.29) к уравнениям

Выражение, стоящее под знаком дифференцирования

является результатом применения оператора Ли отвечающего бесконечно малому преобразованию (5.27) к функции Таким образом, уравнения (5.30) можно короче записать в виде равенств

В теории аналитических функций двух переменных функции и удовлетворяющие уравнениям (5.32), называют бигармоническими. Они играют важную роль в этой теории, так как действительные и мнимые части аналитических функций двух комплексных переменных всегда являются бигармоническими функциями. Нами доказана следующая теорема:

Теорема 4. Для того чтобы бесконечно малое преобразование (5.27), определяло группу движений инвариантной геометрии, необходимо и достаточно, чтобы для этого преобразования выражение являлось бигармонической функцией. Здесь оператор Ли бесконечно малого преобразования (5.27).

Эта теорема позволяет в ряде случаев полностью найти группу движений.

Мы поставим себе целью найти, опираясь на теорему 4, подгруппу устойчивости точки группы движений. Эта подгруппа порождается бесконечно малыми преобразованиями (5.24), удовлетворяющими условиям (5.28) и сверх

того требованиям

В силу условий (5.32)

Здесь произвольная аналитическая функция в области Как мы указывали в § 3 главы И, из тождества вида (5.34) следует, что если точки лежат в достаточно малой окрестности точки то

Дифференцируя это равенство по и затем совмещая точку с точкой мы найдем [учитывая еще условия (5.33)], что

Для определения величины надо продифференцировать равенство затем совместить точку с точкой наконец, принять во внимание условия (5.33). Используя получающийся таким образом результат,

мы сможем заменить равенство (5.36) таким:

Здесь — некоторые постоянные (еще подлежащие определению), которыми мы заменили величины

— минимальная функция области Мы решим уравнения (5.37) относительно величин Такое преобразование уравнений (5.37) в некоторой окрестности точки всегда возможно. В точке дискриминант формы (5.18) отличен от нуля; поэтому тем же свойством обладает определитель системы (5.37) при принадлежности точки к достаточно малой окрестности точки Ввиду аналитичности рассматриваемых функций устанавливаемое таким образом равенство будет иметь место всюду, куда эти функции могут быть аналитически продолжены. Так, мы приходим к следующему предложению:

Теорема 5. Если бесконечно малое преобразование (5.27) определяет подгруппу устойчивости точки то

Здесь — некоторые постоянные величины.

Теперь поставим себе целью найти конечные уравнения подгруппы устойчивости точки Учитывая равенства (5.27) и (5.19), мы сможем переписать уравнения (5.37) так:

или, вводя новые переменные

в следующем виде:

Здесь значения величии в точке

Решение системы (5.41) линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (при условии имеет вид

Величины называются репрезентативными координатами точек области Для них точка служит началом, имеет нулевые координаты.

Итак, нами доказана следующая теорема: Теорема 6. Преобразования подгруппы устойчивости точки группы движений геометрии (5.18) имеют вид

После введения репрезентативных координат с началом в точке эти преобразования становятся линейными.

Вместо введения репрезентативных координат в области мы можем говорить об отображении с помощью равенств (5.40) области на «репрезентативную область» пространства переменных их, Геометрический смысл подобного отображения (для случая, когда существует подгруппа устойчивости точки ясен из теоремы 6: в этой области

преобразования подгруппы устойчивости точки сводятся к однородным линейным преобразованиям.

Отметим, что цель свертывания величин с контравариантными составляющими фундаментального тензора состоит в нормировании функций их легко видеть, что функции (5.40) наряду с условиями

еще удовлетворяют требованиям

Из структуры выражений (5.40) вытекает, что если псевдоконформное отображение

нормированное условиями вида (5.46), переводит область в область пространства переменных точку в точку то

В случае, если отображение (5.40) не удовлетворяет условиям (5.46), то соответствующие репрезентативные области могут быть различны; однако они переходят друг в друга с помощью однородных линейных преобразований.

Наконец, отметим, что, как показывает непосредственный подсчет, для односвязной области плоскости комплексного переменного отображение

[аналогичное отображению (5.40) в случае одного переменного] переводит эту область в круг Таким образом, отображение на репрезентативную область соответствует в общем случае отображению на круг односвязной области плоскости с переводом произвольной точки в начало координат. Из формулы (2.22), определяющей -движения в круге, очевидно, что подгруппа устойчивости начала

координат для этого круга имеет вид

т. е. действительно сводится к однородным линейным отображениям.

В общем случае выражение (5.43) может, конечно, иметь более сложный вид. Картан нашел все возможные типы групп (5.43) и положил их в основу классификации репрезентативных областей (для областей, обладающих подгруппой устойчивости какой-либо своей точки). Отметим еще, что в случае произвольной области область вообще говоря, не является однолистной.