Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Группа движений инвариантной геометрииГруппа движений инвариантной геометрии может быть в общем случае изучена средствами, использованными нами для определения группы
для которых
и группы Ли, ими определяемые. Здесь Исходя из (5.28), пользуясь тем, что
Заменяя здесь величины
Выражение, стоящее под знаком дифференцирования
является результатом применения оператора Ли отвечающего бесконечно малому преобразованию (5.27) к функции
В теории аналитических функций двух переменных функции Теорема 4. Для того чтобы бесконечно малое преобразование (5.27), определяло группу движений инвариантной геометрии, необходимо и достаточно, чтобы для этого преобразования выражение Эта теорема позволяет в ряде случаев полностью найти группу движений. Мы поставим себе целью найти, опираясь на теорему 4, подгруппу устойчивости точки того требованиям
В силу условий (5.32)
Здесь
Дифференцируя это равенство по
Для определения величины мы сможем заменить равенство (5.36) таким:
Здесь — минимальная функция области Теорема 5. Если бесконечно малое преобразование (5.27) определяет подгруппу устойчивости точки
Здесь Теперь поставим себе целью найти конечные уравнения подгруппы устойчивости точки
или, вводя новые переменные
в следующем виде:
Здесь
Решение системы (5.41) линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (при условии
Величины Итак, нами доказана следующая теорема: Теорема 6. Преобразования подгруппы устойчивости точки
После введения репрезентативных координат с началом в точке Вместо введения репрезентативных координат в области преобразования подгруппы устойчивости точки Отметим, что цель свертывания величин
еще удовлетворяют требованиям
Из структуры выражений (5.40) вытекает, что если псевдоконформное отображение
нормированное условиями вида (5.46), переводит область
В случае, если отображение (5.40) не удовлетворяет условиям (5.46), то соответствующие репрезентативные области могут быть различны; однако они переходят друг в друга с помощью однородных линейных преобразований. Наконец, отметим, что, как показывает непосредственный подсчет, для односвязной области
[аналогичное отображению (5.40) в случае одного переменного] переводит эту область координат для этого круга имеет вид
т. е. действительно сводится к однородным линейным отображениям. В общем случае выражение (5.43) может, конечно, иметь более сложный вид. Картан нашел все возможные типы групп (5.43) и положил их в основу классификации репрезентативных областей (для областей, обладающих подгруппой устойчивости какой-либо своей точки). Отметим еще, что в случае произвольной области
|
1 |
Оглавление
|