§ 4. Ядровая и минимальная функции области

В каждой ограниченной области, вообще говоря, может существовать бесконечное число различных замкнутых ортонормированных систем. Однако оказывается, что ядра всех таких систем совпадают между собой. Это обстоятельство выражает следующая теорема:

Теорема 6. Если замкнутая ортонормированная система функций, то ядровая функция этой системы

равна обратной величине минимума на множестве допустимых функций, состоящем из всех функций для которых

Здесь аффикс некоторой произвольной точки области

Доказательство. В силу теоремы 3

где Положим и определим число так, чтобы

Тогда

Если допустимая функция, то

Тогда согласно (1.21)

Очевидно, что мы получим минимальное значение если возьмем все А, равными нулю. Отсюда следует наше утверждение.

По ходу доказательства настоящей теоремы также выяснилось, что существует одна и только одна функция сообщающая минимум в классе функций удовлетворяющих условию она находится [согласно (1.43) и тому, что все ] по формуле

Отсюда видно, что и функция единственным образом определяется областью

Определение ядровая функция всех замкнутых ортонормированных систем в области называется ядровой функцией области Иногда мы будем ее обозначать символом

Определение 7. Функция сообщающая минимальное значение (равное для функций, обладающих в области конечной нормой и обращающихся в точке в единицу, называется минимальной функцией области для точки

Очевидно, что каждой точке области соответствует своя минимальная функция Связь между ядровой и минимальной функциями области указывается равенством (1.45).

Остановимся еще на геометрическом смысле минимальной и ядровой функций области. Квадрат нормы функции

— интеграл очевидно, является площадью (вообще говоря, многолистной) области, возникающей из при ее отображении с помощью функции (точки ). Таким образом, среди функций отображающих область на области с конечной площадью и удовлетворяющих условию функция отображает эту область на область наименьшей площади.

Минимальная функция области оказывается производной от функции, производящей это экстремальное (в смысле площади получающейся области) отображение.

Отметим, что указанная наименьшая площадь равна величине, обратной значению ядровой функции области в точке

В случае, если область односвязна, то, как показывается в теории конформных отображений, функция отображает эту область на круг с центром в точке (в нее переходит точка Так как площадь этого круга равна -—, его радиус должен равняться Обычно в теории конформных отображений доказывают существование единственной регулярной функции взаимно однозначно отображающей односвязную область плоскости на единичный круг подчиненной условиям (здесь произвольная точка области ). Из предыдущего вытекает, что в этом случае

Примеры. 1) Пусть круг В нем, как мы видели выше, множество функций определенных равенствами (1.7), оказывается замкнутой ортонормированной системой. Поэтому для круга

2) Пусть кольцо В нем, как мы видели, замкнутую ортонормированную систему образует множество функций определенных равенствами (1.6). Поэтому для кольца

Полагая

мы получим, что

Суммирование этого ряда позволяет выразить через эллиптические функции Якоби. Оказывается, что

Здесь действительный период, причем