§ 3. Существование замкнутых систем

Теперь мы обратимся к доказательству основного предложения излагаемой теории.

Теорема 5. В каждой ограниченной области существует замкнутая ортонормированная система функций. Доказательство.

I. Пусть точка множество функций для которых

Очевидно, что множество не пусто, так как содержит функцию (Здесь мы пользуемся ограниченностью области

Мы рассмотрим далее вариационную задачу: будем искать в множестве функцию, сообщающую минимум интегралу

Пусть А — нижняя граница квадрата нормы для функций и пусть

— последовательность функций, принадлежащих к для которой Тогда нормы ограничены в своей совокупности; отсюда следует, что во всякой области взятой так, что ограничены в своей совокупности и Как известно, в этом случае множество функций является нормальным семейством, и из последовательности может быть выделена подпоследовательность равномерно сходящаяся во всякой области взятой так, что Пусть Очевидно, что и

Тогда и С другой стороны, по определению числа

Итак, и функция является решением поставленной выше вариационной задачи.

II. Покажем, что функция ортогональна ко всем функциям удовлетворяющим условиям

Действительно, при сделанных предположениях функции принадлежат к для всех постоянных с, в частности при

Но

Так как А — нижняя граница нормы для всех функций то последнее равенство возможно только в том случае, когда У нас произвольная функция из таким образом, наше утверждение доказано.

III. Покажем, что рассматриваемая вариационная задача имеет единственное решение. Действительно, если ее условиям удовлетворяют две функции то по доказанному в пункте

Тогда Согласно лемме к теореме 1 отсюда следует, что Положим

Мы покажем, что замкнутая ортонормированная система. Ее ортонормированность является следствием наших предыдущих рассмотрений; нам надо только показать ее замкнутость.

Пусть -некоторая функция класса Далее положим Коэффициенты № здесь подобраны так, что

Возможность такого подбора величин легко проверяется непосредственно. Благодаря ортонормированности функций

На основании вывода, сделанного нами в пункте II нашего рассуждения, (при Отсюда

Рассмотрим ряд Этот ряд равномерно сходится в области всякий раз, когда Пусть Очевидно, что производные всех порядков от функций равны между собой при Но тогда во всех точках области

Итак, для любой функции оказывается где Отсюда следует (согласно теореме 4), что — замкнутая система.

Замечание. Отметим, что в настоящей теореме предположение об ограниченности области может быть заменено более слабым требованием. Однако для наших целей совершенно достаточно разобранного случая.