§ 6. Параллельность Лобачевского

Для упрощения вычислений мы будем рассматривать в настоящем параграфе инвариантную геометрию в верхней полуплоскости. Пусть некоторая -прямая, —точка верхней полуплоскости, не лежащая на Прежде всего мы покажем, что через точку всегда проходит одна и только одна -прямая перпендикулярная к -прямой

Для этого подберем -движение (2.25), переводящее -прямую в положительную полуось у. Если концевые точки -прямой, то нужное нам -движение определится равенством

С его помощью мы сведем поставленную задачу к ее частному случаю, когда положительная полуось у и задается условиями

Если координаты точки [после преобразования (2.31)], то проходящая через нее -прямая

пересекается с в точке

под углом а, где

Условие единственным образом определяет параметр а:

(у нас Таким образом, мы показали, что через каждую точку верхней полуплоскости, лежащую вне -прямой проходит одна и только одна -прямая перпендикулярная (рис. 7).

Рис. 7.

Вернемся снова к исходному произвольному расположению -прямой и точки в верхней полуплоскости. Пусть -прямая, перпендикулярная к -прямой и проходящая через точку Исследуем, когда -прямая, проходящая через точку и отличная от пересекается с а когда нет. С помощью подходящего -движения совместим -прямую с положительной полуосью у. Тогда -прямая определится условиями

точка будет иметь координаты ( где пучок -прямых проходящих через точку будет задаваться

условиями

Здесь где угол между -прямыми и (рис. 8). Из (2.36) и (2.37) видно, что точка пересечения -прямых имеет координаты

Поэтому для того, чтобы -прямые действительно пересекались, должен быть

Мы назовем расстоянием Лобачевского, кратко -расстоянием от некоторой точки односвязной области до какой-то -прямой этой области, -расстояние от точки до точки пересечения -прямой, перпендикулярной к ней и проходящей через точку

Рис. 8.

Очевидно, что -расстояние обращается в нуль в том и только в том случае, если точка лежит на -прямой Обозначим через -расстояние от точки до -прямой Легко видеть, что в этом случае

Поэтому условию (2.39) можно придать вид

Отсюда следует, что -прямые (2.37), отвечающие значениям параметра А:

(мы назовем их соответственно отделяют Л-пря-мые пересекающиеся с от -прямых не имеющих общих точек с -прямой В силу аксиомы -прямая пересекающаяся с -прямой имеет с ней только одну точку пересечения (см.

Отметим еще, что полуокружности, представляющие в верхней полуплоскости -прямые и как и полуокружности, представляющие там -прямые и имеют общими (соответствующие) концы на абсолюте (в этих концевых точках они, очевидно, касаются друг друга).

Рассмотрим угол между -прямой и -прямой Очевидно, что это — острый угол, зависящий [согласно (2.42)] только от Мы обозначим его через Из (2.42) следует, что

или

В формулу (2.44) входят только величины, определенные, исходя из инвариантной метрики (2.1) в рассматриваемой области. Поэтому соотношение (2.44) останется в силе, если мы с помощью -движения придадим точке -прямой произвольное положение в верхней полуплоскости или с помощью конформного отображения перейдем к другой односвязной области.

Мы резюмируем установленные факты в виде следующей теоремы:

Теорема 6. Пусть -прямая в некоторой односвязной области -точка области отстоящая от на -расстоянии -прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к Тогда

1) все -прямые, проходящие через и составляющие с -прямой острый угол, меньший чем пересекаются в пределах области -прямой

2) все -прямые, проходящие через точку и составляющие с -прямой острый угол, больший или равный не имеют (в пределах области общих точек с -прямой

Эта теорема полностью содержит утверждение аксиомы параллельности геометрии Лобачевского. Последняя применительно к нашим условиям формулируется так:

Л) Существуют такие -прямая а и точка не лежащая на этой -прямойу что через точку проходит не менее двух -прямых, не пересекающих -прямую а.

Итак, мы проверили выполнение в инвариантной геометрии для односвязной области гильбертовых аксиом всех пяти групп, определяющих плоскую геометрию Лобачевского. Тем самым мы доказали, что геометрия, порождаемая метрикой (2.1) в односвязной области, сводится к плоской геометрии Лобачевского.

Отметим, что впервые этот факт был обнаружен А. Пуанкаре и сыграл большую роль в развитии геометрии.

Угол —называется углом параллельности при точке по отношению к -прямой Выражение (2.44) для угла

было в свое время получено Н. И. Лобачевским и составляет одну из важнейших формул его геометрии.

Мы будем говорить, что -прямые и параллельны по Лобачевскому (кратко — -параллельны) Л-прямой Мы предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что свойство -прямой быть -параллельной Л-прямой.

Рис. 10.

Г сохраняется при помещении точки участвующей в наших предыдущих рассмотрениях, в любую точку (или соответственно Если мы в этих рассуждениях поменяем роли -прямых (или соответственно и то найдем, что и наоборот, -прямая -параллельна Л-прямой (или соответственно -прямой Таким образом, -параллельность — всегда взаимное свойство двух -прямых.

На рис. 10 изображены -прямые и проходящие через некоторую точку -параллельные некоторой -прямой для верхней полуплоскости (при произвольном расположении ; на рис. 11 — в круге

Рис. 11.

Как мы уже указывали выше, если две -параллельные Л-прямые в верхней полуплоскости, то они имеют общий «конец» — точку действительной оси, в которой касаются друг друга и оканчиваются представляющие их полуокружности. Благодаря свойствам дробно-линейных отображений то же самое имеет место для -параллельных Л-прямых в любом круге плоскости (в частности, полуплоскости).

Направление на -прямой у от лежащей на ней точки к общему концу -прямых мы будем называть направлением в сторону -параллельности

В случае произвольной односвязной области (граница которой, вообще говоря, может и не быть кривой Жордана) -прямые могут не иметь концевых точек. Однако и здесь можно установить направление в сторону -параллельности путем конформного отображения этой области на какой-нибудь круг.

Пользуясь этим понятием, мы можем сформулировать, почти очевидное в наших условиях предложение, выражающее транзитивность свойства Л-параллельности:

Две -прямые, Л-параллельные третьей в одном и том же направлении, -параллельны между собой в том же самом направлении.

Все -прямые, Л-параллельные одной -прямой в том же самом направлении, образуют пучок -парал-лельных -прямых. В круге Л-пря-мые такого пучка изображаются отрезками окружностей, ортогональных к граничной окружности (абсолюту), имеющих на ней общую концевую точку и касающихся в ней друга друга. Подобный пучок изображен на рис. 12.

Рис. 12.

Ниже (в § 1 главы III) будет установлен еще один интересный факт:

Любые две пары -параллельных Л-прямых -конгруентны между собой.

Мы оставляем читателю проверку следующего предложения:

Теорема -расстояние от переменной точки одной из -параллельных Л-прямых до другой стремится к нулю, когда точка перемещается в сторону параллельности и неограниченно возрастает при перемещении точки в противоположном направлении.

В заключение мы остановимся на некоторых свойствах так называемых расходящихся -прямых. Две -прямые называются расходящимися, если они не параллельны и не пересекаются друг с другом. Возвращаясь к рассмотрениям начала настоящего параграфа, мы можем сказать, что все прямые

для которых [см. (2.41)]

расходятся с -прямой

Пусть две расходящиеся -прямые. Рассмотрим -расстояния между точками и Очевидно, что множество чисел, являющихся такими -расстояниями, имеет неотрицательную нижнюю грань. Легко установить, что эта нижняя грань всегда положительна и достигается тогда, когда совпадают с точками пересечения -прямых с единственной -прямой перпендикулярной к ним обоим. При этом минимум рассматриваемых -расстояний естественно равен -длине отрезка между этими точками. При удалении точки по от точки ее расстояние до -прямой неограниченно возрастает (соответственно для точки

Итак, -расстояние от точек -прямой до некоторой другой -прямой, расходящейся с первой, всегда изменяется от некоторой положительной величины до бесконечности; выше мы видели, что -расстояния от точек -прямой до любой ей -параллельной Л-прямой меняются от нуля до бесконечности. Легко видеть, что тем же свойством обладают -расстояния и до любой -прямой, пересекающейся с данной.

Таким образом, геометрическое место точек, находящихся на некотором постоянном -расстоянии от данной -прямой, не может быть снова -прямой.

Отметим еще, что две -прямые, перпендикулярные к третьей, всегда расходятся и что для двух данных -прямых можно только в том случае найти третью, перпендикулярную к ним обеим, если они расходятся.