§ 2. Замкнутые системы функций

Пусть ортонормированная система функций в области любая аналитическая в этой области функция, для которой Мы образуем для функции величины

называемые коэффициентами Фурье этой функции относительно ортонормированной системы Если произвольные комплексные числа, то легко видеть, что

Из этого равенства следует:

1) Величина достигает минимума, когда все В этом смысле является наилучшим приближением к функции

2) Всегда имеет место неравенство Бесселя

Теперь может быть доказана следующая теорема:

Теорема 2. Ряд сходится абсолютно и равномерно в области если

Доказательство. В силу неравенства Буняковского, неравенства (1.18) и определения 4

Отсюда вытекает абсолютная сходимость рассматриваемого ряда.

Для того чтобы установить его равномерную сходимость в области снова применим неравенство Буняковского. Мы найдем, что

Отсюда ввиду равномерной сходимости ряда (1.8) в области следует наше второе утверждение.

Определение 5. Ортонормированная система функций называется замкнутой в области если для всякой функции регулярной в области и удовлетворяющей условию оказывается [взамен (1.18)]

Соотношение (1.21) называется равенством Парсеваля.

Из (1.17) следует, что для замкнутой системы функций и произвольной регулярной в области функции удовлетворяющей условиям и будет В этом случае теорема 2 может быть дополнена следующим предложением:

Теорема 3. Если замкнутая ортонормированная система функций, величины (1.16), то

Доказательство. Пусть точка Тогда в силу леммы к теореме 1

Здесь наименьшее расстояние между границами областей круг радиуса с центром в точке 2. Очевидно, что

Отметим, что последнее из неравенств (1.23) следует из (1.17). Мы уже указывали, что в нашем случае Поэтому из (1.23) вытекает утверждение нашей теоремы.

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что система ортонормированных функций в кольце не может являться замкнутой. В противном случае всякую регулярную и ограниченную в этом кольце по норме функцию например, можно было бы там представить рядом вида Это, очевидно, невозможно, так как последний ряд будет в наших условиях сходиться к функции, регулярной во всем круге между тем как функции, регулярные и ограниченные по норме в кольце, могут иметь особенности при например, функция у.

Точно так же устанавливается, что система функций не замкнута в кольце Наоборот, оказывается, что гипотеза о замкнутости системы в кольце и системы в круге не противоречит настоящей теореме.

Мы докажем теперь теорему, в известном смысле обратную предыдущей.

Теорема 4. Если ортонормированная система функций в области и каждую ограниченную по норме, регулярную в этой области функцию можно представить в виде

где последний ряд равномерно сходится в любой области удовлетворяющей условию то система функций замкнутая. Здесь предполагается

Замечание. Последнее требование будет заведомо [в силу (1.18)] выполнено при т. е. если — коэффициенты Фурье функции

Доказательство. Покажем сначала, что в наших условиях ряд (1.24) будет «сходиться к функции в смысле нормы», т. е. что

Пусть

Очевидно, что Поэтому

Отсюда следует, что и

Но благодаря сходимости ряда Поэтому

Теперь установим, что

Действительно, при

Итак, Тогда из (1.25) и (1.17) следует, что в нашем случае

Этим наша теорема доказана.

Из нее, в частности, следует, что система ортонормированных функций в кольце является замкнутой. Действительно, всякая функция, регулярная и ограниченная по норме в этом кольце, может быть там представлена рядом Лорана

Здесь определяются равенствами (1.7), Ряд (1.29) равномерно сходится во всяком внутреннем кольце где Легко показать, пользуясь ортогональностью степеней в кольце и правом почленного интегрирования ряда (1.29), что

Устремляя затем мы найдем, что — коэффициенты Фурье функции относительно системы Отсюда вытекает наше утверждение.

Аналогичным образом можно показать, исходя из возможности разложения функции регулярной в круге в ряд Тейлора, что ортонормированная система будет замкнутой в круге

Замечание. Методом, использованным для доказательства теоремы 4, можно показать, что если то величину можно находить почленным интегрированием. Ниже мы используем это обстоятельство.