§ 3. Группа движений Лобачевского

Мы поставим себе цель найти все конформные отображения односвязной области

сохраняющие инвариантную метрику (2.1), установленную в области Такие отображения мы будем далее называть движениями Лобачевского, кратко — -движениями инвариантной геометрии. Заметим, что таким же образом определяются движения геометрии (1.57) и в общем случае (многосвязной) области.

Мы не требуем сейчас совпадения образа области при отображении (2.12) с областью нам достаточно, чтобы этот образ пересекался с некоторой области; мы далее берем точку так, чтобы точка С попадала бы в названное пересечение. Впрочем, для дальнейшего было бы достаточно предположить, что точка С попадает в такую часть плоскости, куда функция может быть аналитически продолжена из области (как функция действительных переменных х, у). Однако мы требуем (в соответствии со смыслом, который мы придаем термину «конформное отображение», чтобы отображение (2.12) было взаимно однозначным, а функция регулярной в

Условие сохранения метрики (2.1), установленной в области выразится равенством

Подчеркнем различие условий (1.56) и (2.13). В первом из них шла речь о равенстве вычисленных относительно соответствующих друг другу при отображении областей (области D и области возникающей из в результате отображения), в то время как в обеих сторонах условия (2.13) стоят составленные для области

Не теряя чего-либо в общности, мы можем предположить, что область круг Тогда согласно (2.2) условие (2.13) заменится следующим:

Пусть фиксированная точка такова, что и С Тогда ввиду аналитичности функции из (2.14) будет следовать, что при

или

Здесь некоторые пока нам не известные постоянные. Отсюда видно, что в круге

где и — некоторые пока нам неизвестные постоянные.

Для их определения мы подставим в (2.14) С из (2.17). В результате этой подстановки мы должны, если С — искомая функция, придти к тождеству; поэтому приравняем

коэффициенты при подобных членах в обеих сторонах полученного равенства; это даст нам, что

Кроме того, должно быть в противном случае преобразование (2.17) будет всем точкам области ставить в соответствие только одну точку С. Из уравнений (2.18) следует, что

откуда (учитывая еще, что у нас

По условию мы должны иметь возможность аналитически продолжить функцию на весь круг Поэтому в наших условиях из последнего неравенства вытекает, что В силу второго уравнения (2.18)

где некоторое надлежащим образом выбранное целое число. Имея все это в виду, мы, положив

(у нас, таким образом, получим вместо (2.17)

Функция (2.22) удовлетворяет всем поставленным условиям и является решением поставленной задачи. Мы нашли выражение функции С в круге но оно в результате аналитического продолжения распространяется на весь круг

Равенство (2.22) определяет множество -движений в круге Как мы видим, оно зависит от трех действительных параметров.

Это множество -движений образует группу. Последнее означает:

а) В результате суперпозиции (последовательного применения) -движений мы снова получаем некоторое -движение Это обстоятельство мы символически запишем соотношением

б) Для суперпозиций -движений имеет место ассоциативный закон, т. е.

Здесь любые -движения.

в) Множество -движений содержит тождественное преобразование.

г) Множество -движений состоит из попарно взаимно обратных преобразований (дающих в результате суперпозиции тождественное преобразование).

Фактическую проверку наличия этих свойств у множества -движений мы оставляем читателю. Заметим, что этими же четырьмя свойствами обладает все множество дробно-линейных преобразований (2.17), зависящее от трех комплексных или, что то же самое, шести действительных параметров. Таким образом, трехпараметрическая группа -движений в круге оказывается подгруппой общей шестипараметрической группы дробно-линейных преобразований (2.17).

Мы не требовали выше, чтобы движения (2.12) отображали область на себя. Однако это имеет место: наличие указанного свойства у отображений (2.22) легко проверяется непосредственно.

Мы объединим итоги наших рассмотрений в следующей теореме:

Теорема 3. Совокупность -движений составляет группу, зависящую от трех действительных параметров. Каждое из -движений отображает область на себя. В случае, если область круг то группа -движений определяется равенством (2.22). Для любого круга она является подгруппой общей группы дробно-линейных отображений.

Из формулы (2.22) можно легко получить явное выражение группы -движений в произвольной односвязной области

Для этого достаточно применить к переменным и С преобразование, конформно отображающее круг на область Например, положив в (2.22)

мы после некоторых вычислений получим, что

Здесь - произвольные, действительные параметры, удовлетворяющие лишь условию Они выражаются через и 6; (2.25) — трехпараметрическая группа (поскольку она существенно зависит только от отношений параметров

Теперь мы рассмотрим еще одно важное свойство Л-дви-жений. Оно выражается следующей теоремой:

Теорема 4. Группа -движений транзитивна относительно линейных элементов.

Под линейным элементом мы подразумеваем совокупность точки и заданного в этой точке направления. Таким образом, теорема 4 утверждает, что если два каких-то линейных элемента в односвязной области, то существует -движение, переводящее в

Достаточно показать, что это предложение имеет место для какой-то одной односвязной области, например для круга При этом можно ограничиться доказательством возможности перевода произвольного линейного элемента I в линейный элемент состоящий из точки и направления положительной действительной полуоси, и обратно. Переход от к может быть осуществлен путем перевода в линейный элемент и затем перехода от

Пусть линейный элемент состоит из точки и направления вектора Очевидно, что линейный элемент переводится в -движением (2.22), для которого линейный элемент переводится в -движением (2.22), для которого Этим теорема 4 доказана.

Дальнейшее рассмотрение показывает, что к теореме 4 можно добавить такое следствие:

Следствие. Существует одно и только одно -движение, переводящее данную -полупрямую в другую -полу-прямую

Это вытекает из доказанной теоремы и результата предыдущего параграфа, гласящего, что через каждую точку односвязной области по каждому направлению проходит одна и только одна -прямая.

Мы заключим этот параграф определением -конгруент-ности; в его основу мы положим группу -движений.

Определение. Множество точек в круге называется конгруентным по Лобачевскому, кратко Л-кон-груентным другому множеству точек того же круга, если существует -движение, переводящее множество или в или в множество состоящее из точек круга симметричных с точками относительно действительной оси.

В связи с этим определением напомним, что в евклидовой плоскости для получения всех фигур, конгруентных данной, кроме вращений и параллельных перемещений, необходимо воспользоваться еще симметрированием (зеркальным отражением в какой-нибудь прямой). В нашем случае для получения всех фигур, конгруентных данной, следует к ней применить, кроме -движений (2.22), еще преобразования

Это — конформные отображения второго рода; они составляют непрерывное семейство преобразований (но не группу), зависящее от трех параметров. Мы будем их называть -движениями второго рода. Термином -движение первого рода [для отображений (2.22)] мы обычно не пользуемся.

Два множества точек некоторой односвязной области считаются -конгруентными друг другу, если Л-кон-груентны их образы, получающиеся в круге в результате конформного отображения. -конгруентность множеств мы будем записывать соотношением

Благодаря тому, что множество -движений составляет группу, очевидно, что -конгруентность обладает свойствами рефлексивности (т. е. взаимности (т. е. если то и транзитивности (т. е. если то и

Следует подчеркнуть, что в определении -конгруентности (и соответственно в определении -движения второго рода) вместо множества (состоящего из точек, симметричных точкам множества относительно действительной оси) можно взять множество состоящее из точек, симметричных точкам относительно любой другой -прямой

Пусть точечное множество симметрично точечному множеству относительно -прямой -движение, переводящее в диаметр круга лежащий на действительной оси. Тогда благодаря тому, что дробно-линейное отображение переводит симметричные точки снова в симметричные, (мы обозначаем через образ точечного множества при некотором преобразовании А, знак означает совпадение множеств). Очевидно, что где дробно-линейное преобразование с коэффициентами, сопряженными коэффициентам -движения Из формулы (2.22) видно, что снова -движение.

Исходя из равенства мы найдем, что

Так как -движения составляют группу, то преобразование есть -движение, и, таким образом, переход от к совершается -движением. Если некоторое множество переводится в множество -движением, то оно может быть переведено (другим) -движением в множество и наоборот.

Пользуясь понятием -конгруентности, можно присоединить к теореме 4 еще следующее следствие:

Если и два -коигруентных отрезка Л-пря-мых, причем точки не совпадают (соответственно) с точками то существует одно и только одно -движение (2.22), переводящее точку А в точку Аточку В в точку (при этом весь отрезок оказывается образом отрезка А В).