§ 8. Линии постоянной кривизны Лобачевского

Геодезическая кривизна достаточно гладкой линии в метрике

определяется формулой

где

В случае метрики (2.1) в односвязной области мы будем называть эту величину кривизной Лобачевского, кратко — -кривизной линии Для верхней полуплоскости форма (2.1) заменится формой (2.3), и мы найдем, что Л-кривизна линии

Для получения (2.54) надо положить в и воспользоваться формулами в конце сноски на стр. 35.

Формула (2.54) не охватывает линий Отдельное вычисление [в котором мы, пользуясь формулой (2.53), полагаем в ней ] показывает, что для них

Наша цель — найти все линии постоянной -кривизны. Мы проведем необходимые вычисления для случая верхней полуплоскости. В этом случае линии постоянной -кривизны, отличные от линий будут совпадать (в пределах верхней полуплоскости) с интегральными кривыми дифференциального уравнения

Здесь

Мы положим в (2.55)

Тогда

и дифференциальное уравнение (2.55) заменится уравнением

Далее следует рассмотреть две возможности: случай, когда (т. е. - постоянная величина), и случай, когда В первом случае вместо (2.58) мы получим уравнение

Тогда согласно (2.56) здесь Отсюда благодаря (2.56)

или

где

Во втором случае вместо (2.58) мы можем написать, что

или [пользуясь равенством (2.55)]

где постоянное интегрирования.

Мы положили здесь Определяя из и подставляя его значение в уравнение

мы легко получим в результате интегрирования, что в нашем случае

Из (2.63) и (2.65) находим, что

Таким образом, совокупность линий постоянной -кривизны в верхней полуплоскости состоит из кривых (или частей этих кривых, лежащих в верхней полуплоскости) и (2.66). Уравнения (2.61) и дополнительном условии исчерпывают все полупрямые, лежащие в верхней полуплоскости. Мы, включая прямые в число окружностей плоскости таким образом, можем констатировать, что линии постоянной -кривизны в верхней полуплоскости — это отрезки окружностей или целые окружности, лежащие в верхней полуплоскости. Ввиду известных свойств дробно-линейных отображений, тот же результат, очевидно, верен и для любого круга плоскости Итак, получена следующая теорема:

Теорема 10. Совокупность линий постоянной -кривизны в любом круге совпадает с совокупностью окружностей и отрезков окружностей, лежащих в этом круге.

В соответствии с числом концевых точек у кривых постоянной -кривизны, мы должны их разбить на три класса:

1) Кривые постоянной -кривизны, имеющие две концевые точки. Такие кривые называются гиперциклами. Отметим, что к их числу принадлежат -прямые (рис. 17).

2) Кривые постоянной -кривизны, имеющие одну концевую точку (в ней они касаются абсолюта, если он достаточно гладок, например является аналитической кривой).

Рис. 17.

Рис. 18.

Рис. 19.

Такие кривые называются орициклами (рис. 18).

3) Кривые постоянной -кривизны, не имеющие концевых точек. Мы будем называть последние кривые циклами или (по причине, которая выяснится ниже) окружностями Лобачевского, кратко -окружностями (рис. 19).

Эти три типа линий постоянной -кривизны различаются и по значению, которое на них имеет -кривизна

Для гиперциклов, принадлежащих к числу отрезков окружностей (2.66), из соотношений видно, что

где а — острый или прямой угол между линией (2.66) и действительной осью в точке их пересечения. Тот же результат мы легко получим и для полупрямых (2.61); они все являются гиперциклами.

Случай приводит нас к гиперциклам, ортогональным к действительной оси, т. е. к Л-прямым; для них согласно (2.67) оказывается равным нулю, как того и следовало ожидать.

Совокупность орициклов состоит из прямых и окружностей (2.66), касающихся действительной оси. Для последних следовательно, Выше мы уже указывали на то, что и для линий

Таким образом, -кривйзна любого орицикла равна

Совокупность -окружностей сводится к линиям (2.66), целиком лежащим в верхней полуплоскости. В этом случае и поэтому

Мы объединим эти факты в следующем предложении. Теорема -кривизна гиперцикла удовлетворяет неравенству -кривизна орицикла всегда равна -кривизна -окружности удовлетворяет неравенству

Для инвариантной геометрии в круге -кривизна гиперцикла где а — острый угол, образуемый этим гиперциклом с абсолютом.

Отметим, что и вторая часть теоремы 11 (сформулированная нами для круга) верна для любой односвязной области, ограниченной достаточно гладкой линией Жордана (например, аналитической кривой).