§ 3. Оценки при приближении к границе области

Метод вариационных задач применяется к вычислению предельных значений на границе области или к оценке роста в случае неограниченного возрастания величин, связанных с инвариантной метрикой. Подобные вопросы рассматривались рядом математиков. Чтобы познакомить читателя с применяемыми здесь приемами и дать представление о характере получающихся тут результатов, мы сначала остановимся на доказательстве одной теоремы, принадлежащей П. П. Куфареву. Затем мы укажем на некоторые следствия из этой теоремы.

Пусть точка, принадлежащая границе некоторой области Мы предполагаем, что в какой-то окрестности точки эта граница является аналитической кривой (итак, и делит окрестность на две односвязные части, из которых одна — назовем ее принадлежит, а другая не принадлежит области Мы поместим начало координат в точку пустим положительную полуось абсцисс по внутренней нормали к кривой в точке Обозначим еще через кривизну кривой в точке считая ее положительной, если кривая обращена в точке своей вогнутостью внутрь области и

отрицательной — в противоположном случае. Тогда имеет место следующая теорема:

Теорема 6. Величина

остается ограниченной при стремлении точки к точке по лучу

где .

Доказательство этой теоремы мы разобьем на два этапа: сначала рассмотрим случай односвязной области, а затем случай произвольной области. Итак, предположим сейчас, что область односвязна. Пусть

(где функция, отображающая область на круг

Так как аналитическая кривая, то функцию (4.47) можно аналитически продолжить через дугу и представить в окрестности точки степенным рядом

Здесь так как (потому, что при переходе от точки к точке направления векторов не изменяются).

Как известно, кривая в окрестности точки может быть задана уравнением

где длина дуги кривой отсчитываемая от точки в надлежащем направлении. Подставляя ряд (4.50) в ряд (4.49),

мы придадим уравнению окружности в окрестности точки вид

Вычисляя отсюда кривизну окружности в точке и учитывая, что она равна единице, мы получим тождество

откуда

Теперь обратимся к рассмотрению функции Легко найти, пользуясь формулой (1.53), что

Отсюда опять в силу формулы (1.53)

Мы найдем, подставляя это значение в выражение (4.45), что

Здесь величины не ниже 6-го порядка малости относительно при стремлении точки к точке по лучу некоторый многочлен от величин Так как благодаря (4.53)

то из равенства (4.56) вытекает, что при стремлении точки к точке по лучу

Этим теорема 6 доказана для односвязной области

Обратимся теперь к общему случаю. Мы построим односвязные области так, чтобы, во-первых,

и, во-вторых, чтобы эти области пересекались с окрестностью точки по той же области как и первоначальная область Таким образом, дуга принадлежит к границе всех областей

Тогда по теореме 10 главы I в точках

и поэтому там

Отсюда благодаря нашему результату (4.58) вытекает, что при стремлении точки к точке по лучу

Итак, теорема 6 доказана.

Опираясь на теорему 6, можно определить предел, к которому стремится гауссова кривизна инвариантной геометрии при приближении точки к граничной точке по лучу Здесь имеет место следующая теорема:

Теорема 7. При стремлении точки к граничной точке по лучу

Здесь гауссова кривизна в точке инвариантной геометрии (1.57) для области

Доказательство. Прежде всего напомним, что в случае односвязной области

Поэтому в области и

и

С другой стороны, благодаря тому, что величина

является решением рассмотренной в § 11 главы II вариационной задачи, в области

Деля все члены неравенства (4.68) на квадраты надлежащих членов неравенства (4.60) и пользуясь тем, что в силу формулы (2.4) гауссова кривизна инвариантной геометрии (1.57) определяется равенством

мы найдем, что в области

Отсюда, используя формулы (4.45), (4.65) и (4.66), мы на основании теоремы 6 заключим, что действительно при стремлении точки к точке по лучу имеет место равенство (4.63).

Таким образом, инвариантная геометрия (1.57) для произвольной (в смысле связности) области вблизи ее границы мало

отличается от плоской геометрии Лобачевского (к которой эта геометрия сводится всюду в случае односвязной области).

Метод вариационных задач применим к изучению поведения вблизи границы области и других величин, связанных с ядровой функцией, в частности гауссовой кривизны инвариантной геометрии (2.99). Легко видеть, что эта кривизна в случае односвязной области, благодаря равенствам (2.4) и (4.64) равна —2. В общем случае она равна

Чтобы оценить величину (4.71) вблизи границы области, нужно выразить ее через решения вариационных задач типа той, с помощью которой определяется функция и затем составить неравенства, аналогичные неравенствам (4.70). Для этой цели необходимо, кроме решения вариационной задачи § 11 главы II [величины (4.67)], еще минимальное значение для функций, регулярных в области и подчиненных условиям Здесь некоторая произвольная, фиксированная точка области Что касается величин ), с помощью которых таким образом оценивается кривизна (4.71), то их поведение вблизи границы попрежнему определяется [благодаря равенству (4.64)] теоремой 6.

Мы оставляем фактическое проведение необходимых вычислений читателю. Получаемый таким образом результат интересен также тем, что допускает [в отличие от соотношения (4.63)] обобщение на случай области пространства многих комплексных переменных (см. § 2 следующей главы).