§ 4. Случаи бицилиндра и шара

Как мы указывали выше, в ряде случаев теорема 4 позволяет полностью найти группу движений. Не останавливаясь на промежуточных вычислениях, мы приведем здесь только их окончательные результаты для бицилиндра и шара.

Оказывается, что в случае бицилиндра (5.8) группа движений имеет вид

и, таким образом, сводится к -движениям в кругах Эта группа зависит от шести (действительных) параметров. Легко видеть, что группа (5.51) транзитивна относительно точек бицилиндра, но не относительно линейных элементов, состоящих из точек и проходящих через них аналитических плоскостей.

В случае шара (5.10) группа движений определяется равенствами

где коэффициенты удовлетворяют соотношениям

Эта группа зависит от восьми (действительных) параметров и транзитивна относительно лилейных элементов, состоящих из точек и проходящих через них аналитических плоскостей.

Можно доказать, что бицилиндр и шар (и, конечно, их образы при псевдоконформных отображениях) являются единственными областями пространства переменных с транзитивной относительно точек группой движения инвариантной геометрии (5.18).

Теперь обратимся к определению расстояния в римановой метрике (5.18). между двумя точками бицилиндра и шара. Такое «инвариантное расстояние» т. е. длина геодезической линии, соединяющей точку (которая далее предполагается фиксированной) с точкой (которая далее предполагается переменной), удовлетворяет дифференциальному уравнению

Здесь V — первый дифференциальный оператор Бельтрами. Для метрики (5.18) уравнение (5.54) имеет вид 2

Заметим еще, что функция однозначна в некоторой малой окрестности точки Проекциями характеристических линий дифференциального уравнения (5.54) на пространство переменных служат геодезические линии инвариантной геометрии (5.18). Наша задача — определить, исходя из уравнения (5.55), значение функции вдоль этой проекции характеристики, учитывая еще начальное условие

Сначала мы рассмотрим бицилиндр (5.8). Подобрав подходящее преобразование группы (5.51), мы всегда можем перевести точку в начало координат. Тогда точка перейдет в точку В с координатами

(мы опускаем не имеющие для нас значения множители и Далее мы будем определять, исходя из уравнения (5.55),

инвариантное расстояние в бицилиндре (5.8) от начала координат — точки до произвольной точки В Пользуясь равенством (5.7), мы придадим уравнению (5.55) вид

Его интегрирование (с учетом дополнительных условий) даст нам, что искомое инвариантное расстояние

Мы опускаем промежуточные вычисления.

В случае шара (5.10) уравнение (5.55) благодаря равенству (5.11) имеет вид

Мы определим инвариантное расстояние от начала координат до произвольной точки Интегрирование уравнения (5.59) (с учетом дополнительных условий) даст нам, что искомое инвариантное расстояние

Мы опять опускаем промежуточные вычисления. Для того чтобы определить инвариантное расстояние между двумя произвольными точками шара (5,10), следует воспользоваться соответствующим преобразованием группы движений (5.52).

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)