ГЛАВА III. ГРУППА ДВИЖЕНИЙ ИНВАРИАНТНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ

Эта глава посвящена группе движений Лобачевского, в частности изучению ее так называемых собственно разрывных подгрупп. Последние составляют отправной пункт теории автоморфных функций, которой посвящена в настоящей серии книга Ж. Адамара [8].

§ 1. Классификация движений Лобачевского

Установим, к каким типам дробно-линейных отображений принадлежат преобразования, составляющие группу -движений. Для этого надо найти неподвижные точки преобразований

т. е. решить уравнение

Отсюда видно, что эти неподвижные точки имеют аффиксы

Если

Это — параболическое преобразование. Его единственная неподвижная точка лежит на абсолюте — на окружности

Если то после некоторых вычислений равенство (3.1) может быть заменено соотношением

Здесь

где Далее надо различать два случая:

1) (или иначе Тогда К — действительное, положительное число. Последнее обусловлено тем, что в наших условиях знаки числителя и знаменателя дроби (3.6) совпадают со знаком

2) . Тогда где некоторый действительный параметр.

В первом случае мы получаем гиперболическое преобразование. Как видно из (3.3), тут т. е. неподвижные точки лежат на абсолюте — окружности Во втором случае мы получаем эллиптическое преобразование.

Тут, как видно из (3.3), Неподвижные точки преобразования (3.1) оказываются симметричными друг другу относительно абсолюта (при этом точка а лежит в круге 1, точка вне него).

Отсюда, в частности, следует, что -движение не может быть дробно-линейным преобразованием локсодромического типа; само собой разумеется, что такой вывод был неизбежен

так как локсодромическое преобразование не сохраняет ни одного круга плоскости.

Теперь найдем траектории семейств гиперболических и эллиптических преобразований (3.5) при непрерывном изменении параметра

Известно, что при гиперболическом преобразовании точки плоскости перемещаются по дугам окружностей, соединяющим неподвижные точки, т. е. в нашем случае траекториями семейства гиперболических преобразований (3.5) при изменении К от до оказываются гиперциклы с концами в точках (см. рис. 22 на стр. 76). В этот пучок гиперциклов входит одна -прямая у (оканчивающаяся в тех же точках При гиперболическом преобразовании (3.5) точки этой -прямой перемещаются по ней самой. Определим -длину отрезков, на которые смещаются точки -прямой у при гиперболическом преобразовании (3.5) (считая величину положительной, если смещение происходит в сторону точки и отрицательной, если оно происходит в сторону точки а). -длины этих смещений, очевидно, одинаковы для всех точек так как -движение не изменяет -расстояний между точками. Непосредственный подсчет дает, что

Таким образом, гиперболическое -движение (3.5) можно записать в следующем «каноническом» виде (мы полагаем

Мы будем называть -движение (3.7) сдвигом Лобачевского, кратко — -сдвигом вдоль -прямой на -длину

Наглядно -сдвиг следует себе представлять как одновременное и одинаковое перемещение всех -прямых, перпендикулярных к -прямой Число служит мерой этого перемещения.

Известно, что при эллиптическом преобразовании точки плоскости перемещаются по окружностям, ортогональным к окружностям, соединяющим неподвижные точки. В случае эллиптического преобразования значением

окружности, соединяющие точки а и (симметричные относительно окружности являются -прямыми круга ортогональные к ним окружности (в пределах круга -окружностями. Таким образом, траекториями семейства эллиптических преобразований (3.5) при изменении от до 71 оказываются -окружности с -центром в точке а (см. рис. 28 на стр. 80; там надо положить

Полагая в придадим этой формуле «канонический» для эллиптического случая вид

Мы будем называть -движение (3.8) вращением Лобачевского, кратко — -вращением (поворотом) вокруг точки а на угол (где — Оно поворачивает на этот угол все -полупрямые, выходящие из точки а. Заметим еще, что из формулы (3.8) непосредственно видно, что -расстояния от точки а до точек одинаковы.

Теперь рассмотрим параболический случай. Единственная неподвижная точка а параболического -движения лежит на окружности Перемещение точек плоскости происходит по окружностям, проходящим через точку а, имеющим в ней общую касательную; эти окружности, как и круги, ими ограниченные, сохраняются при перемещении. Так как принадлежит к числу последних, то ясно, что в нашем случае траекториями являются орициклы, касающиеся окружности в точке (см. рис. 24 на стр. 77).

Пользуясь тем, что в рассматриваемом случае мы после некоторых вычислений представим параболические -движения с неподвижной точкой в следующем «каноническом» виде:

где Мы будем называть подобные -движения предельными вращениями Лобачевского, кратко — предельными -вращениями.

Предельное -вращение (3.9) сохраняет в целом пучок -параллельных Л-прямых с концом в точке а, но переводит каждую из них в новое положение. Особенно наглядно можно представить предельное -вращение, отвечающее точке в верхней полуплоскости. В этом случае формула (3.9) заменится соотношением

где действительное число. -движение сохраняет орициклы с вершиной в точке (это — прямые, параллельные оси абсцисс, лежащие в верхней полуплоскости).

Рис. 30.

-прямые, имеющие концевую точку (это — полупрямые, параллельные оси ординат; они и параллельны и -параллельны друг другу), сдвигаются на евклидову длину (в сторону если сторону — если рис. 30).

Следует подчеркнуть, что величина в случае Л-дви-жения (3.9) [или в случае (3.10)] не имеет какого-либо инвариантного значения с точки зрения геометрии (2.1). Под этим мы понимаем следующее: если какое-нибудь произвольное -движение, то -движения попрежнему являются соответственно -сдвигом, Л-враще-нкем и предельным -вращением (но с другими неподвижными точками, чем Однако, в то время как при переходе от или от к параметр К не изменяется, параметру -движения можно при фиксированном путем надлежащего подбора придать любое значение.

Например, в случае предельного -вращения (3.10) такого результата можно достичь с помощью -сдвига

Тогда, полагая в мы получим вместо предельное -вращение

Очевидно, что при данном параметр может иметь, любое продолжительное значение.

Наши последние объяснения можно изложить в геометрических терминах. Каждое предельное -вращение (3.10) переводит -прямую в -прямую и полностью характеризуется этим фактом среди Л-движений этого семейства. Однако все пары -параллельных Л-прямых -конгруентны друг другу.

Это, очевидно, достаточно показать для двух пар и 70, рассматриваемого семейства -параллелей с концевой точкой (здесь произвольные положительные действительные числа), так как с ними можно совместить надлежащими -движениями любые две пары -параллелей. Но перевод пары -параллелей в пару -параллелей как раз и осуществляется -сдвигом (3.11) с

Этим наше утверждение доказано.

Наш вывод можно в несколько более общей форме изложить следующим образом: каковы бы ни были предельные -вращения и имеющие после приведения к форме (3.10) параметры одного и того же знака, всегда можно найти такое -движение что (чем устанавливается эквивалентность всех подобных предельных -враще-ний с точки зрения инвариантной геометрии).

Мы объединим наши результаты в следующей теореме: Теорема 1. Всякое -движение (3.1) инвариантной геометрии является при дробно-линейным преобразованием гиперболического типа -сдвигом), при дробно-линейным преобразованием эллиптического типа -вращением), при —

дробно-линейным преобразованием параболического типа (предельным -вращением).

Всякий -сдвиг оставляет неподвижными две точки абсолюта и может быть представлен в канонической форме (3.7). Там - Л-длина отрезков, на которые он сдвигает точки -прямой, имеющей точки своими концами. Траекториями семейства -сдвигов (3.7) (где меняется от до служат гиперциклы с концами в точках и

Всякое -вращение оставляет неподвижной некоторую точку а круга и симметричную с ней точку лежащую вне круга Оно может быть представлено в канонической форме (3.8). Здесь —угол поворота направлений в точке а (у нас всегда — Траекториями семейства -вращений (3.8) при изменении о от до служат -окружности с -центром в точке а.

Всякое предельное -вращение оставляет неподвижной одну точку абсолюта и может быть представлено в канонической форме (3.9). Траекториями семейства предельных -вращений (3.9) служат орициклы, имеющие а своей концевой точкой. Каковы бы ни были предельные -вращения имеющие после приведения к форме (3.10) параметры I одного и того же знака, всегда существует такое -движение что (другими словами, все подобные предельные -вращения эквивалентны друг другу с точки зрения инвариантной геометрии).

Другую характеристику -движений доставляет нам следующая теорема:

Теорема 2. Каждое -движение может быть заменено двумя последовательно выполняемыми инверсиями относительно Л-прямых: расходящихся в случае -сдвига, пересекающихся для -вращения и параллельных, если оно является предельным -вращением.

Обратно, суперпозиция двух инверсий относительно -прямых дает: -сдвиг, если данные -прямые расходящиеся; -вращение, если они пересекаются; предельное -вращение, если они -параллельны.

Доказательство. Мы начнем с рассмотрения -сдви-гов. Их удобнее всего рассматривать в (верхней) полуплоскости. При суперпозиции с -движением инверсия относительно -прямой снова заменяется инверсией относительно какой-то, вообще говоря, другой -прямой. Поэтому мы можем заменить данный -сдвиг другим, имеющим неподвижные точки Этот новый -сдвиг определяется уравнением

которое, очевидно, может быть заменено соотношениями

где Соотношения (3.14) определяют инверсии относительно расходящихся -прямых Так как две любые расходящиеся -прямые могут быть переведены подходящим -движением в -прямые (это -движение подбирается так, чтобы оно переводило -прямую, перпендикулярную к данным расходящимся -прямым, в положительную полуось ординат), то этим установлена справедливость и обратного положения.

-вращение удобнее рассматривать в круге Там мы можем всегда заменить его (для нашей цели) -враще-нием, имеющим неподвижную точку (и лежащую вне круга неподвижную точку Это -вращение определяется уравнением

которое может быть заменено соотношениями

где Соотношения (3.16) определяют инверсии (симметрии) относительно -прямых

Так как любые две пересекающиеся -прямые могут быть переведены подходящим -движением в -прямые

(это -движение подбирается так, чтобы оно переводило точку пересечения данных -прямых в точку то этим установлена справедливость и обратного положения.

Предельные -вращения мы будем рассматривать в верхней полуплоскости, совмещая неподвижную точку а с точкой Таким образом мы придем к предельным -вращениям (3.10). Уравнение (3.10) может быть заменено инверсиями (симметриями)

где Соотношения (3.17) определяют инверсии относительно -параллельных Л-прямых Отсюда также следует, что суперпозиция двух инверсий относительно любых параллельных -прямых дает предельное -вращение.