Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА III. ГРУППА ДВИЖЕНИЙ ИНВАРИАНТНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИЭта глава посвящена группе движений Лобачевского, в частности изучению ее так называемых собственно разрывных подгрупп. Последние составляют отправной пункт теории автоморфных функций, которой посвящена в настоящей серии книга Ж. Адамара [8]. § 1. Классификация движений ЛобачевскогоУстановим, к каким типам дробно-линейных отображений принадлежат преобразования, составляющие группу -движений. Для этого надо найти неподвижные точки преобразований
т. е. решить уравнение
Отсюда видно, что эти неподвижные точки имеют аффиксы
Если
Это — параболическое преобразование. Его единственная неподвижная точка лежит на абсолюте — на окружности Если то после некоторых вычислений равенство (3.1) может быть заменено соотношением
Здесь
где Далее надо различать два случая: 1) (или иначе Тогда К — действительное, положительное число. Последнее обусловлено тем, что в наших условиях знаки числителя и знаменателя дроби (3.6) совпадают со знаком 2) . Тогда где некоторый действительный параметр. В первом случае мы получаем гиперболическое преобразование. Как видно из (3.3), тут т. е. неподвижные точки лежат на абсолюте — окружности Во втором случае мы получаем эллиптическое преобразование. Тут, как видно из (3.3), Неподвижные точки преобразования (3.1) оказываются симметричными друг другу относительно абсолюта (при этом точка а лежит в круге 1, точка вне него). Отсюда, в частности, следует, что -движение не может быть дробно-линейным преобразованием локсодромического типа; само собой разумеется, что такой вывод был неизбежен так как локсодромическое преобразование не сохраняет ни одного круга плоскости. Теперь найдем траектории семейств гиперболических и эллиптических преобразований (3.5) при непрерывном изменении параметра Известно, что при гиперболическом преобразовании точки плоскости перемещаются по дугам окружностей, соединяющим неподвижные точки, т. е. в нашем случае траекториями семейства гиперболических преобразований (3.5) при изменении К от до оказываются гиперциклы с концами в точках (см. рис. 22 на стр. 76). В этот пучок гиперциклов входит одна -прямая у (оканчивающаяся в тех же точках При гиперболическом преобразовании (3.5) точки этой -прямой перемещаются по ней самой. Определим -длину отрезков, на которые смещаются точки -прямой у при гиперболическом преобразовании (3.5) (считая величину положительной, если смещение происходит в сторону точки и отрицательной, если оно происходит в сторону точки а). -длины этих смещений, очевидно, одинаковы для всех точек так как -движение не изменяет -расстояний между точками. Непосредственный подсчет дает, что Таким образом, гиперболическое -движение (3.5) можно записать в следующем «каноническом» виде (мы полагаем
Мы будем называть -движение (3.7) сдвигом Лобачевского, кратко — -сдвигом вдоль -прямой на -длину Наглядно -сдвиг следует себе представлять как одновременное и одинаковое перемещение всех -прямых, перпендикулярных к -прямой Число служит мерой этого перемещения. Известно, что при эллиптическом преобразовании точки плоскости перемещаются по окружностям, ортогональным к окружностям, соединяющим неподвижные точки. В случае эллиптического преобразования значением окружности, соединяющие точки а и (симметричные относительно окружности являются -прямыми круга ортогональные к ним окружности (в пределах круга -окружностями. Таким образом, траекториями семейства эллиптических преобразований (3.5) при изменении от до 71 оказываются -окружности с -центром в точке а (см. рис. 28 на стр. 80; там надо положить Полагая в придадим этой формуле «канонический» для эллиптического случая вид
Мы будем называть -движение (3.8) вращением Лобачевского, кратко — -вращением (поворотом) вокруг точки а на угол (где — Оно поворачивает на этот угол все -полупрямые, выходящие из точки а. Заметим еще, что из формулы (3.8) непосредственно видно, что -расстояния от точки а до точек одинаковы. Теперь рассмотрим параболический случай. Единственная неподвижная точка а параболического -движения лежит на окружности Перемещение точек плоскости происходит по окружностям, проходящим через точку а, имеющим в ней общую касательную; эти окружности, как и круги, ими ограниченные, сохраняются при перемещении. Так как принадлежит к числу последних, то ясно, что в нашем случае траекториями являются орициклы, касающиеся окружности в точке (см. рис. 24 на стр. 77). Пользуясь тем, что в рассматриваемом случае мы после некоторых вычислений представим параболические -движения с неподвижной точкой в следующем «каноническом» виде:
где Мы будем называть подобные -движения предельными вращениями Лобачевского, кратко — предельными -вращениями. Предельное -вращение (3.9) сохраняет в целом пучок -параллельных Л-прямых с концом в точке а, но переводит каждую из них в новое положение. Особенно наглядно можно представить предельное -вращение, отвечающее точке в верхней полуплоскости. В этом случае формула (3.9) заменится соотношением
где действительное число. -движение сохраняет орициклы с вершиной в точке (это — прямые, параллельные оси абсцисс, лежащие в верхней полуплоскости).
Рис. 30. -прямые, имеющие концевую точку (это — полупрямые, параллельные оси ординат; они и параллельны и -параллельны друг другу), сдвигаются на евклидову длину (в сторону если сторону — если рис. 30). Следует подчеркнуть, что величина в случае Л-дви-жения (3.9) [или в случае (3.10)] не имеет какого-либо инвариантного значения с точки зрения геометрии (2.1). Под этим мы понимаем следующее: если какое-нибудь произвольное -движение, то -движения попрежнему являются соответственно -сдвигом, Л-враще-нкем и предельным -вращением (но с другими неподвижными точками, чем Однако, в то время как при переходе от или от к параметр К не изменяется, параметру -движения можно при фиксированном путем надлежащего подбора придать любое значение. Например, в случае предельного -вращения (3.10) такого результата можно достичь с помощью -сдвига
Тогда, полагая в мы получим вместо предельное -вращение
Очевидно, что при данном параметр может иметь, любое продолжительное значение. Наши последние объяснения можно изложить в геометрических терминах. Каждое предельное -вращение (3.10) переводит -прямую в -прямую и полностью характеризуется этим фактом среди Л-движений этого семейства. Однако все пары -параллельных Л-прямых -конгруентны друг другу. Это, очевидно, достаточно показать для двух пар и 70, рассматриваемого семейства -параллелей с концевой точкой (здесь произвольные положительные действительные числа), так как с ними можно совместить надлежащими -движениями любые две пары -параллелей. Но перевод пары -параллелей в пару -параллелей как раз и осуществляется -сдвигом (3.11) с Этим наше утверждение доказано. Наш вывод можно в несколько более общей форме изложить следующим образом: каковы бы ни были предельные -вращения и имеющие после приведения к форме (3.10) параметры одного и того же знака, всегда можно найти такое -движение что (чем устанавливается эквивалентность всех подобных предельных -враще-ний с точки зрения инвариантной геометрии). Мы объединим наши результаты в следующей теореме: Теорема 1. Всякое -движение (3.1) инвариантной геометрии является при дробно-линейным преобразованием гиперболического типа -сдвигом), при дробно-линейным преобразованием эллиптического типа -вращением), при — дробно-линейным преобразованием параболического типа (предельным -вращением). Всякий -сдвиг оставляет неподвижными две точки абсолюта и может быть представлен в канонической форме (3.7). Там - Л-длина отрезков, на которые он сдвигает точки -прямой, имеющей точки своими концами. Траекториями семейства -сдвигов (3.7) (где меняется от до служат гиперциклы с концами в точках и Всякое -вращение оставляет неподвижной некоторую точку а круга и симметричную с ней точку лежащую вне круга Оно может быть представлено в канонической форме (3.8). Здесь —угол поворота направлений в точке а (у нас всегда — Траекториями семейства -вращений (3.8) при изменении о от до служат -окружности с -центром в точке а. Всякое предельное -вращение оставляет неподвижной одну точку абсолюта и может быть представлено в канонической форме (3.9). Траекториями семейства предельных -вращений (3.9) служат орициклы, имеющие а своей концевой точкой. Каковы бы ни были предельные -вращения имеющие после приведения к форме (3.10) параметры I одного и того же знака, всегда существует такое -движение что (другими словами, все подобные предельные -вращения эквивалентны друг другу с точки зрения инвариантной геометрии). Другую характеристику -движений доставляет нам следующая теорема: Теорема 2. Каждое -движение может быть заменено двумя последовательно выполняемыми инверсиями относительно Л-прямых: расходящихся в случае -сдвига, пересекающихся для -вращения и параллельных, если оно является предельным -вращением. Обратно, суперпозиция двух инверсий относительно -прямых дает: -сдвиг, если данные -прямые расходящиеся; -вращение, если они пересекаются; предельное -вращение, если они -параллельны. Доказательство. Мы начнем с рассмотрения -сдви-гов. Их удобнее всего рассматривать в (верхней) полуплоскости. При суперпозиции с -движением инверсия относительно -прямой снова заменяется инверсией относительно какой-то, вообще говоря, другой -прямой. Поэтому мы можем заменить данный -сдвиг другим, имеющим неподвижные точки Этот новый -сдвиг определяется уравнением
которое, очевидно, может быть заменено соотношениями
где Соотношения (3.14) определяют инверсии относительно расходящихся -прямых Так как две любые расходящиеся -прямые могут быть переведены подходящим -движением в -прямые (это -движение подбирается так, чтобы оно переводило -прямую, перпендикулярную к данным расходящимся -прямым, в положительную полуось ординат), то этим установлена справедливость и обратного положения. -вращение удобнее рассматривать в круге Там мы можем всегда заменить его (для нашей цели) -враще-нием, имеющим неподвижную точку (и лежащую вне круга неподвижную точку Это -вращение определяется уравнением
которое может быть заменено соотношениями
где Соотношения (3.16) определяют инверсии (симметрии) относительно -прямых Так как любые две пересекающиеся -прямые могут быть переведены подходящим -движением в -прямые (это -движение подбирается так, чтобы оно переводило точку пересечения данных -прямых в точку то этим установлена справедливость и обратного положения. Предельные -вращения мы будем рассматривать в верхней полуплоскости, совмещая неподвижную точку а с точкой Таким образом мы придем к предельным -вращениям (3.10). Уравнение (3.10) может быть заменено инверсиями (симметриями)
где Соотношения (3.17) определяют инверсии относительно -параллельных Л-прямых Отсюда также следует, что суперпозиция двух инверсий относительно любых параллельных -прямых дает предельное -вращение.
|
1 |
Оглавление
|