§ 5. Аксиомы конгруентности и непрерывности

Мы должны показать, что в нашем случае имеют место предложения, выражаемые следующими аксиомами конгруентности:

K1) Если две точки -прямой точка на той же -прямой или на другой -прямой то всегда можно найти по данную сторону от точки на -прямой а или, соответственно, а одну и только одну такую точку что

Эта аксиома следует из предложения, доказанного в начале предыдущего параграфа. Точка находится на данной полупрямой а, выходящей из точки по условию

K2) Если и отрезки -прямых и то и

Аксиома вытекает непосредственно из свойств взаимности и транзитивности -конгруентности.

К3) Пусть и два отрезка -прямой а без общих внутренних точек; пусть далее два отрезка на той же или на другой -прямой тоже не имеющих общих внутренних точек. Если при этом то всегда и

Эта аксиома вытекает из предложения, доказанного в начале предыдущего параграфа, и из аддитивности -расстояний на -прямой.

Для формулировки остальных аксиом конгруентности удобно условиться о некоторых названиях. Мы назовем углом Лобачевского, кратко -углом, совокупности двух -полупрямых выходящих из одной точки и принадлежащих двум различным -прямым (рис. 6).

Рис. 6.

Таким образом, мы употребляем термин -угол» для обозначения некоторой геометрической фигуры, а не какой-то меры. Точка называется вершиной -угла, -полупрямые а и — его сторонами. Мы обозначим -угол символом или а (мы не устанавливаем различия между ними).

Под -угловой областью мы будем понимать в случае круга -выпуклую область, ограниченную -полупрямыми и частью абсолюта между концами этих -полупрямых (эта область заштрихована на рис. 6). Здесь под областью, выпуклой в смысле Лобачевского, кратко -выпуклой областью, мы понимаем область, всегда содержащую вместе с некоторыми точками и отрезок -прямой Заметим, что одна из областей, ограниченных -полупрямыми и абсолютом, -выпукла, другая нет. Это обстоятельство становится очевидным, если перевести вершину рассматриваемого -угла соответствующим Л-дви-жением в точку -угловые области в других односвязных областях определяются как образы -угловых областей в круге

Мерой (величиной) -угла является угол между векторами, касающимися -полупрямых, образующих этот -угол в его вершине. Легко установить справедливость следующего предложения:

Два -угла -конгруентны друг другу в том и только в том случае, если величины этих -углов между собой равны.

Для проверки этого утверждения надлежит перевести соответствующими -движениями вершины рассматриваемых -углов в точку Тогда эти -углы будут образовываться радиусами круга Фактическое проведение дальнейших рассуждений мы оставляем читателю.

Пусть точки рассматриваемой области, не лежащие на одной -прямой. Совокупность отрезков Л-пря-мых и называется треугольником Лобачевскогог кратко -треугольником, отрезки и его сторонами, точки его вершинами. -угол, образуемый -полупрямыми, выходящими из точки и содержащими точки называется -углом рассматриваемого -треугольника при вершине Мы обозначаем -треугольник с вершинами в точках символом (порядок вершин безразличен).

Теперь обратимся к оставшимся аксиомам конгруентности:

К4) Пусть даны -угол -прямая а и ее полупрямая выходящая из некоторой точки Тогда по каждую сторону от а существует одна и только одна -полупрямая такая, что

Эта аксиома следует из только что доказанного предложения.

К) Если для двух -треугольников и имеют место конгруентности и то имеет место также и конгруентность

Проверку этой аксиомы следует начать с перевода (используя соответствующие -движения) Л-полупрямых, выходящих из точек (и включакндих эти точки), содержащих соответственно точки в радиус

Тогда в силу условий аксиомы должны совпасть между собой образы точек Дальнейшее очевидно.

Теперь обратимся к аксиомам непрерывности. Их можно сформулировать так:

H) Пусть и два каких-то отрезка -прямых; тогда на -прямой АВ существует конечное число точек таких, что отрезки -прямой конгруентны отрезку -прямой и точка В лежит между

Чтобы убедиться в том, что эта аксиома верна, достаточно заметить, что -длина отрезка равна -кратной -длине отрезка Согласно теореме 5, когда точка неограниченно приближается к концу -прямой на абсолюте. Поэтому, начиная с некоторого точка В будет лежать между Аксиома это так называемая аксиома измерения (Архимеда).

В качестве второй аксиомы непрерывности мы возьмем вместо гильбертовой аксиомы линейной полноты так называемую аксиому Кантора.

Н2) Если на -прямой даны две такие последовательности точек что, каковы бы ни были лежит между между и для всех тип, то на этой -прямой существует по крайней мере одна точка лежащая между для всех тип.

Эта аксиома верна в евклидовой геометрии для дуги окружности, являющейся в круге нашей Л-пря-мой. Отношение друг к другу точек -прямой, выражаемое словом «между», имеет в инвариантной геометрии тот же смысл, что и в евклидовой геометрии плоскости Таким образом, аксиома имеет место в рассматриваемом случае.