§ 9. Пучки гиперциклов и орициклов

Будем называть совокупность гиперциклов некоторого круга, оканчивающихся в двух фиксированных точках абсолюта, пучком гиперциклов. Мы считаем принадлежащей к пучку гиперциклов и -прямую, оканчивающуюся в этих точках абсолюта.

Пучком орициклов мы будем называть совокупность этих линий, касающихся в некоторой точке абсолюта.

Образы этих линий при конформных отображениях определяют пучки гиперциклов или орициклов в произвольной односвязной области.

Важное свойство этих пучков устанавливает следующая теорема:

Теорема -расстояние от точек одной линии пучка гиперциклов или орициклов до другой линии этого пучка постоянно.

Здесь под -расстоянием от точки до линии понимается

Доказательство этой теоремы мы будем вести для случая верхней полуплоскости. Рассмотрим там пучок гиперциклов. Применив надлежащее -движение, мы переместим одну концевую точку этого пучка в точку другую — в точку Тогда гиперциклы пучка изобразятся полупрямыми

выходящими из начала координат и идущими в верхней полуплоскости. Здесь где -угол между гиперциклом (2.68) и -прямой в точке Очевидно, что Тогда легко видеть, пользуясь формулой (2.28), что -расстояние от фиксированной точки гиперцикла (для него ) до переменной точки гиперцикла (для него ) достигает минимума вместе с величиной

Здесь — действительная переменная величина. Нам остается искать расстояние точки до кривой

непосредственно видно, что линия (2.70) — окружность радиуса Дентром в точке Таким образом, искомое расстояние равно величине:

Заменяя в величиной (2.71), мы получим выражение для Оно не зависит от (при условии, что что и доказывает теорему 12 для гиперциклов. Мы оставляем читателю проверку ее утверждения для орициклов.

При этом легко видеть, что минимальное значение величины (2.69) достигается только для одного значения Отсюда следует, что на гиперцикле имеется одна и только одна такая точка что

Наконец, отметим симметричность определяемой нами величины — то, что

Здесь фиксированные точки соответственно Это утверждение проверяется тем, что мы после необходимых вычислений получаем для ту же величину (2.74).

Ввиду всего сказанного мы обозначим определяемый нами инвариант символом и назовем его расстоянием Лобачевского, кратко -расстоянием между гиперциклами В результате подстановки величины (2.71) в выражение (2.28) мы приходим к следующему предложению:

Теорема 13.

Эта теорема верна для инвариантной геометрии в круге и любой другой односвязной области с достаточно гладкой границей (например, области, ограниченной аналитической кривой).

Для случая орициклов можно тоже определить величину однако формула (2.74) для них теряет свой смысл. Полагая мы совместим гиперцикл с -прямой

Мы увидим, что все точки гиперцикла находятся на одинаковом расстоянии от -прямой Отсюда (учитывая еще, что через каждую точку верхней полуплоскости проходит гиперцикл из нашего пучка) мы получаем такое следствие:

Геометрическое место точек, отстоящих от данной -прямой на -расстоянии состоит из двух гиперциклов, принадлежащих к пучку гиперциклов, содержащему данную -прямую.

В случае круга или другой односвязной области с достаточно гладкой границей (например, области, ограниченной аналитической кривой) эти гиперциклы составляют с данной -прямой в концевых точках угол

Непосредственно видно, что если точки принадлежат соответственно гиперциклам то

Таким образом, -расстояние между гиперциклами равно -длине заключенного между ними отрезка -прямой

(кликните для просмотра скана)

ортогональной к этим гиперциклам. -прямые образуют семейство ортогональных траекторий для гиперциклов (2.68).

Рис. 23.

Отрезки этих траекторий между двумя гиперциклами -конгруентны между собой (рис. 20). На рис. 21 изображен пучок гиперциклов с ортогональными к ним -прямыми в верхней полуплоскости (в произвольном положении), на рис. 22 — в круге

Свойство гиперциклов, выраженное в последнем следствии, дает повод называть эти линии эквадистантами.

Рис. 24.

На рис. 23 и 24 изображены вместе с ортогональными к ним -прямыми пучки орициклов в верхней полуплоскости и круге -длины отрезков этих -прямых, заключенных между двумя орициклами из такого пучка, равны (так же как для гиперциклов) -расстоянию от одного из этих орициклов до другого.